2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形解答題》專項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形解答題》專項(xiàng)測(cè)試卷(含答案)

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.如圖1,兩個(gè)正方形ABCD和CEFG共一個(gè)直角頂點(diǎn)C,連接BG、交于點(diǎn)H,連接BE、

DG、BD、GE.

⑴當(dāng)AB=4,跳'=3時(shí)

①作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中分別取m、DG、BE的中點(diǎn)“、N、P(不要求尺規(guī)作圖)，并直接

寫出跖V和M尸的關(guān)系：;

②若席=6,求此時(shí)DG的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)3G=5,求DG+旗的最小值.

2.閱讀理解：我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四邊形，

如圖1,在四邊形小。中，E,F,G,"分別是邊AR3C,CD,ZM的中點(diǎn)，依次連接各邊中

點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

⑴菱形的中點(diǎn)四邊形的形狀是；

(2汝口圖2,在四邊形中，點(diǎn)”在上且AWD和AMCB為等邊三角形，E,F,G,"分

別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，試判斷四邊形EFGH的形狀并證明.

(3)若四邊形"CD的中點(diǎn)四邊形為正方形，AB+CD的最小值為4,則網(wǎng)＞=.

3.如圖，E,F,G,H分別是四邊形A5CD各邊的中點(diǎn)，順次連接跖，F(xiàn)G,GH,HE.

(1)求證：四邊形"GH是平行四邊形.

⑵當(dāng)四邊形相。的對(duì)角線8D,AC滿足_____時(shí)，四邊形MG〃是正方形.

4.對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形

對(duì)角線AC,加交于點(diǎn)。.

⑴若AO=2,30=3,CO=4,00=5,請(qǐng)求出AB?,BC2,CD2,Z)T的值.

⑵若AB=6,CD=10,求BP+AD。的值.

(3)請(qǐng)根據(jù)(1)(2)題中的信息，寫出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論.

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=6cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度沿4。向

終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以Icm/s的速度沿CB向終點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為r(s).

(1)當(dāng)0</<6時(shí)，判斷四邊形時(shí)蛇的形狀，并說明理由;

(2)當(dāng)。</<6時(shí)，求四邊形BQDP的面積S(cn?)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間《s)的函數(shù)關(guān)系;

⑶四邊形時(shí)。尸可能為菱形嗎？若可能，請(qǐng)求出彳的值；若不可能，請(qǐng)說明理由.

6.如圖，在梯形A2CD中，AD//BC,ZC=ZD=90°,BC=16,CD=12,AD=21.動(dòng)點(diǎn)尸從

點(diǎn)。出發(fā)，沿線段DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，在

線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)Z),。同時(shí)出發(fā),

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)。隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Ms),當(dāng)才為何值時(shí)，以B,

P,。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？

7.(1)如圖1,在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接3E,若BE=BC,過C作CFL族

交BE于點(diǎn)F,求證：△ABE空△FCB.

(2)如圖2,在菱形ASCD中，cosA=g,過C作CE1AB交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過E作印上AD

交于點(diǎn)/，若S菱硼B(yǎng)CD=12時(shí)，則EFBC=.

(3)如圖3,在平行四邊形中，ZA=60°,AB=12,AD=10,點(diǎn)E在CD上，且CE=4,

點(diǎn)F為BC上一點(diǎn),連接用，過E作EGLE尸交平行四邊形ABCZ)的邊AD于點(diǎn)G,若

EDEG=28百時(shí)，請(qǐng)直接寫出AG的長(zhǎng).

8.如圖，在△AED中，AD=10cm,ZAED=90°,延長(zhǎng)AE到點(diǎn)5,使DE=EB=8cm,過點(diǎn)5

作CBLM,CB=2cm,連接CD；點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為Icm/s；

過點(diǎn)N作以桃和跖為鄰邊作矩形DEFG,點(diǎn)M與點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M從點(diǎn)5

沿胡方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,連接MN、MD、MC,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為電)(0</<8).解答

下列問題:

(2)設(shè)四邊形MVG。的面積為S(cm2),求S與彳的函數(shù)關(guān)系式(0</<8)；

⑶當(dāng)點(diǎn)"在NDN尸的角平分線上時(shí)，求才的值；

(4)連接AC,在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻工使直線"N過線段AC的中點(diǎn)。？若存

在，求出力的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

9.已知正方形鉆8邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線AG3。相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作射線0E,5,分別

交AD,AB于點(diǎn)E,F,且

(1)如圖1,當(dāng)OELAD時(shí)，求證：四邊形鉆0尸是正方形;

⑵如圖2,將射線0E，5繞著點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

①在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷線段OE與。尸的數(shù)量關(guān)系，并給出證明;

②四邊形函F的面積為二

(3)如圖3,在四邊形PQMN中，PQ=PN，NQPN=NQMN=9U。，連接PM.若PM=9,請(qǐng)直接

寫出四邊形PQMN的面積.

10.如圖，在四邊形ABCZ）中，AD//BC,1B90?,AD=22cm,AB=8cm,3C=24cm,動(dòng)

點(diǎn)尸從A點(diǎn)開始沿AQ邊以lcm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。開始沿CB邊以3cm/s

的速度向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，P,。分別從A,。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為小).

⑴當(dāng)才為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形；

⑵當(dāng)彳為何值時(shí)，四邊形尸是平行四邊形；

(3)問：四邊形尸是否可以為菱形？若能，求出此時(shí)的才值；若不能，請(qǐng)說明理由.

11.如圖，在VABC中，ZACB=90°,AB=i5,BC=9,。為VABC的中線.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，

沿線段秒以每秒12個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作尸交折線AC-CB于點(diǎn)

Q.當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)。重合時(shí)，作點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)“，連結(jié)加，以P。、為鄰邊構(gòu)

造PQMN,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒("0).

⑴用含/的代數(shù)式表示線段P2的長(zhǎng)；

(2)連結(jié)NQ,則線段NQ長(zhǎng)度的最小值是；

(3)作直線DN,當(dāng)直線DV平行于VABC的一條邊時(shí)，求f的值；

(4)當(dāng)P3W的一個(gè)內(nèi)角和-A相等時(shí)，直接寫出/的值.

12.如圖，在A3CD中，CD=8cm,BC=16cm,ZA=60°,BD±AB.過點(diǎn)。作DEJ.3C,垂

足為E,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)沿。A方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)5出

發(fā)，以4cm/s的速度沿射線BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P,

。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為熱(。＜，＜8).

⑴當(dāng)PQ//CA時(shí)，求才的值;

⑵連接的，設(shè)四邊形BPDE的面積為S(cm)求S與l之間的函數(shù)關(guān)系式;

⑶當(dāng)點(diǎn)尸關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線。上時(shí)，請(qǐng)直接寫出才的值.

13.在238中，M,N分別是AD,8C的中點(diǎn)，連接AN,CM.

(1)如圖①，求證：四邊形⑷VCM是平行四邊形；

(2汝口圖②，連接MN,DV,若Z/WD=90。，求證：MN=NC；

(3)如圖③，在(2)的條件下，過點(diǎn)。作CELMN于點(diǎn)E,交DN于點(diǎn)P,EP=1,且Nl=/2,

求AN的長(zhǎng).

14.如圖，在VASC中，AB=5,3c=11,VABC的面積為22,AEL5c于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A

出發(fā)，沿折線MYC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在村上的速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，在BC上的速

度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)尸出發(fā)后，且不與點(diǎn)E重合時(shí)，將點(diǎn)E繞尸A的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。

得到點(diǎn)尸，連結(jié)w、PF、PE.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(秒)(r>0).

⑵用含/的代數(shù)式表示四邊形AFPE的面積s.

⑶當(dāng)四邊形AFPE被直線AC分得的兩部分面積之比為1：3時(shí)，求/的值.

(4)當(dāng)直線CF垂直于VA5C的一邊所在的直線時(shí)，直接寫出/的值.

15.在四邊形ABC。中，AD//BC,AB=12cm,AD=8cm,BC=24cm,ZABC=90°,P,。同時(shí)

沿著四邊形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸從點(diǎn)D出發(fā)，以ls/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，

以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(l)CD=cm.

(2)若點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)就停止,點(diǎn)尸也隨之停止運(yùn)動(dòng)，用含方的代數(shù)式表示四邊形尸

的面積S(cn?)；

(3)若其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)回到其出發(fā)點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)年時(shí)，以

點(diǎn)尸、。與點(diǎn)A、B、。、Z)中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

參考答案

1.(1)①作圖見解析，MN=MP,MNLMP.(2)714

(2)5立

【分析】(I)①M(fèi)N=MP,MNLMP,先證明跖V是BDG的中位線，M尸是_5即的中位線，

MN=^BG,MP=^DE,MNBG,MPDE；再證明3CG-OCE(SAS),得至ljBG=OE,

NCGB=NCED,即可推出肱V=MP,再證明DE_L3G,即可得到肱V_LMP；②②由①知：BGLDE,

利用勾股定理得到Ba?+KF+￡)712+HG2=BE。+DG2=BD2+GE2,求出BD2=32,EG2=18,BE2=36,

即可求解；

(2)如圖，分別取3D、DG、GE、DE的中點(diǎn)M、N、。、K,連接MN,NQ,MQ,MK,KQ同

理(1)①可得MN=；2G,NQ=；。及MK=gBE,KQ=；DG,MNBG,NQDE;當(dāng)M&Q三點(diǎn)共線時(shí)，

KQ+MK有最小值，最小值為的長(zhǎng)，即。G+班有最小值，最小值為2MQ的長(zhǎng)，同理(1)

①得8G=DE=5,BGLDE,MN=；BG=：NQ=；DE=：,MNLNQ,利用勾股定理求出加0=孚，

即可解答.

【詳解】(1)解：MN=MP,MN±MP,理由如下:

?點(diǎn)M、N、P分別是3D、DG、況的中點(diǎn)

.MN是:BDG的中位線，是一①辦的中位線

,MN=-BG,MP=-DE,MNBG,MPDE?

22'

?四邊形"CD和四邊形CEFG都是正方形

.BC=CD.CE=CG,/BCD=/ECG=90°

?ZBCD+/DCG=/ECG+/DCG,艮|JZBCG=ZDCE

?BCG空OC石(SAS)

?BG=DE,ZCGB=ZCED

?MN=MP

*ZCGB=ZCED

.ZCGB+ZGHE=ZCED+ZGCE

.ZGHE=ZGCE

?NGCE=90。

?ZGHE=ZGCE=90°

?DE1BG

*MNBG,MP\DE

?MNIMP；

②由①知：BG1DE

/.ZBHD=ZDHG=ZBHE=ZEHG=90°

BH2+EH2=BE2,DH2+HG-=DG2,BH2+DH2=BD2,HE2+HG2=GE2

BH2+EH2+DH2+HG2=BE2+DG2=BD2+GE2

丁四邊形ABCO和四邊形CEFG都是正方形，AB=4,EF=3

BD-=AB2+AD2=2AB2=32,EG2=EF2+GF2=2EF2=18

*.*BE=6

BE2=36

J36+DG2=32+18

/.￡>G2=14,即OG=V17(負(fù)值舍去)；

(2)解：如圖，分別取此、DG、GE、的中點(diǎn)V、N、。、K,連接MN,NQ,MQ,MK,KQ

同理(1)①可得"N是即G的中位線，NQ是,GED的中位線，是一BED的中位線，KQ

是OEG的中位線

:.MN=gBG,NQ=；DE,MK=；BE,KQ=；DG,MNBG,NQDE；

DG+BE=2KQ+2MK=2{KQ+MK)

,/MK+KQ>MQ

.?.當(dāng)M,K,Q三點(diǎn)共線時(shí)，KQ+MK有最小值，最小值為的長(zhǎng)，即。G+仍有最小值，最

小值為2MQ的長(zhǎng)

同理(1)①得BG=DE=5,BG1DE

/.MN=-BG=-,NQ=-DE=-

2222

,/MNBG,NQDE

/.MN±NQ

MQ=y/MN2+NQ2=平

2M2=5A/2,即DG+BE的最小值為50.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形中點(diǎn)問題的綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，

三角形中位線的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)

用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

2.⑴矩形

(2)四邊形區(qū)七〃為菱形；證明見解析

⑶2后

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)及矩形的判定可得出答案；

(2)連接AC、DB,由等邊三角形的性質(zhì)得出3=ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM,證

\^ZAMC=ADMB,由SAS證明△AMC絲ADMB,得出AC=r>3,由三角形中位線定理得出,

EF=^AC,GH//AC,GH=；AC,HE=^DB,得出E尸〃G〃，EF=GH,證出四邊形瓦<汨是

平行四邊形；再得出EF=HE,即可得出結(jié)論；

(3)連接加交AC于0,連接ON,當(dāng)點(diǎn)。在跖V上(即M、0、N共線)時(shí)，OM+ON

最小，最小值為皿的長(zhǎng)，再證明=即可求得答案.

【詳解】(1)解：如圖

四邊形ABC。是菱形時(shí)，連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形成颯

根據(jù)中位線性質(zhì)得到防〃。氏MN//DB

：.EF//MN

同理可得用/〃FN

，EWVM為平行四邊形

又?:小。是菱形

ACJ.BD,貝|￡M_LMV

?*.即VM為矩形.

故答案為：矩形；

(2)解：四邊形為菱形.理由如下:

連接AC與8D,如圖2所示：

,//1MD和AWCB為等邊三角形

AM=DM,ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM

:.ZAMC=ZDMB

在AMC和DMB中

AM=DM

<ZAMC=ZDMB

CM=BM

AMC^..DMB（SAS）

:.AC=DB

E,F,G,"分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)

是VABC的中位線，GH是ACD的中位線，是△AB。的中位線

.'.EF//AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,HE=-DB

'2'22

:.EF//GH9EF=GH

.?.四邊形EFGH是平行四邊形；

AC=DB

.\EF=HE

二四邊形所為菱形；

（3）解：如圖3,連接8。交AC于。，連接加、ON

當(dāng)點(diǎn)0在跖V上（即"、0、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長(zhǎng)

I.2（QM+0N）的最/卜值=2MV

由性質(zhì)探究知：AC上BD

又.：M,N分別是筋，⑦的中點(diǎn)

AB=2OM,CD=2.ON

2（OM+ON）=AB+CD

9+CD的最小值=2W

,/四邊形EMM是正方形

：.FM=FN,NMFN=90°

.*?MN=y/FM2+FN2=y/2FN

■:N,尸分別是DC,3c的中點(diǎn)

FN=-BD

2

MN=—BD

2

—B￡）x2=4

2

BD=2y/2

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、

菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用前面得出的結(jié)論解

決新問題是解題的關(guān)鍵.

3.⑴見解析

(2)BD±AC,BD=AC

【分析】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和判定，平行四邊形和正方形的判定，解題

的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

(1)連接犯首先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到田〃孫且=GF〃BD,且

GF=；BD,進(jìn)而得到硝〃GF,且團(tuán)=GF,即可證明出四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)連接即，AC,同理可得，HG=^AC,HG//AC,進(jìn)而得到當(dāng)應(yīng)＞=4C時(shí)，EH=HG,

證明出平行四邊形EFGH是菱形，然后由即，AC推理得到EH1HG,進(jìn)而證明出菱形EFGH

是正方形.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接的

丁點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是A0的中點(diǎn)

/.EH//BD,^EH=-1BD

丁點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是。的中點(diǎn)

:.GF〃BD,^,,GF=-1BD

：.EH//GF,且E"=GF

???四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)BDLAC,且3D=AC時(shí)，四邊形的也是正方形.

理由如下：

如圖所示，連接切>,AC

;由⑴得，EH=；BD

同理可得，HG=|AC,HG//AC

.?.當(dāng)3￡>=AC時(shí)，EH=HG

J平行四邊形EFG〃是菱形

當(dāng)3DLAC時(shí)

*/EH//BD

/.EHLAC

HG//AC

/.EH1HG

J菱形是正方形.

4.(l)AB2=13,8c2=25,CD2=41,AD。=29

(2)136

(3)“垂美"四邊形對(duì)邊的平方和相等

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“垂美”四邊形的定義可得AC再根據(jù)勾股定理即可求解；

(2)根據(jù)“垂美”四邊形的定義可得AC人3D,進(jìn)而得到A0、80?=36,CO2+DO2=100,根

^BC2+AD2=BO-+CO-+DO2+AO2BR

(3)由(1)(2)得到AB2+a>2=8C2+AD2,即可求解.

【詳解】(1)解：四邊形鈾。是“垂美”四邊形，對(duì)角線AC,加交于點(diǎn)。

AAC±BD

AO=2,80=3,CO=4,DO=5

.，.AB2=AO2+BO2=22+32=13,BC2=BO2+OC2=32+42=25,CD2=CO2+DO~=42+52=41,

DA2=AO2+DO2=22+52=29

AB2=13,BC2=25,CD2=41,3=29；

(2)四邊形ABCD是“垂美”四邊形，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。

ACJ.BD

AB=69CD=10

AO2+BO2=AB2=62=36,CO2+DO2=CD2=102=100

BC2+AD2=BO2+CO2+DO2+AO2=36+100=136;

2

(3)由(1)(2)可得：AB^+CD=BC^+AD\即“垂美”四邊形對(duì)邊的平方和相等.

5.(1)四邊形88P是平行四邊形，見解析；

(2)24-4r

⑶可能，

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)可得出仞〃3C,再得出尸〃=時(shí)，即可得出四邊形38尸是平

行四邊形.

(2)得出陽(yáng)=6-，再根據(jù)四邊形的面積代入求解即可.

(3)由菱形的性質(zhì)得出毋=PD,利用勾股定理求出招，再根據(jù)BP=P。代入求出力值即

可.

【詳解】(1)解：四邊形是矩形

AD//BC

丁點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以Icm/s的速度沿AD向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以Icm/s

的速度沿CB向終點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)

，AP=CQ

Z.PD=BQ

，四邊形BQDP是平行四邊形.

（2）解:VBQ=6-t

SBQDP=B0AB=（6-?）x4=24-4r；

（3）解：四邊形8QDP可能為菱形.

???一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

BP=PD

AP=t,AB=4

?*-BP=y/AP2+AB2=J：+42

/./+16=(6-y

解得：f=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題，平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)和菱形

的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用/值表示出各邊是解題的關(guān)鍵

6=午或（時(shí)，以5,P,。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形

【分析】以5P，。為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形有三種情況：當(dāng)尸8=尸。時(shí)，當(dāng)PQ=BQ

時(shí)，當(dāng)=時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)m=尸。時(shí)，作PE,3c于E

P

AD

BEQC

圖1

EQ=^BQ

'：CQ=f

/.BQ=16-t

：.EQ=S-^t

EC=8——Z+^=8+—Z.

22

??2%=8+5%.

解得：f=g.

如圖2,當(dāng)尸Q=8Q時(shí)，作QESAD于E

ZPEQ=ZDEQ=90°

ZC=ZD=90°

NC=ND=ZDEQ=90°

四邊形DEQC是矩形

DE=QC=t

：.PE=t,QE=CD=U,

在RtAPEQ中，由勾股定理，得

PQ=〃+144.

16-t=&2+144

解得：料；

如圖3,當(dāng)=時(shí)，作PEL8C于E

/.BP=BQ=BC-CQ=16-t

*/PD=2t

：.CE=2t

/.BE=16-2t

在Rt3EP中

(16-2/)2+122=(16-Z)2

3〃—321+144=0

A=(-32)2一4*3*144=_7Q4<0

故方程無(wú)解.

綜上所述，或+時(shí)，以'P,。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，

一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是關(guān)鍵.

7.(1)證明見解析；(2)16；(3)6或8

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出4BE+NCB尸=90。,/。用=ZA=90。，進(jìn)而證明NFCB=ZABE

結(jié)合已知條件,即可證明AABE必FCB；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD//BC,AB=BC,根據(jù)已知條件得出==證明

△AFE3EC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)分三種情況討論,①當(dāng)點(diǎn)G在AD邊上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)FE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

連接G尸，過點(diǎn)￡作研，￡＞加于點(diǎn)H,證明EDM^ECF,解HDEH,進(jìn)而得出MG=7,根

據(jù)tanZMEH=tanZWGE,得出HE=HM-HG,建立方程解方程即可求解；②當(dāng)G點(diǎn)在邊上

時(shí)，如圖所示，連接G尸，延長(zhǎng)GE交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)過點(diǎn)G作GN〃AD,則GN〃BC,

四邊形ADVG是平行四邊形，同理證明EN3￡€加，根據(jù)1311/五￡//=1311功得出硝2=".以,

建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)G點(diǎn)在BC邊上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作取，DC于點(diǎn)T,

求得SvBrc=m，TC=gx5括X5=￥，而川%=14有，得出矛盾，則此情況不存在；當(dāng)G點(diǎn)

在C。邊上時(shí)，過G點(diǎn)作G"_LAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,再由勾股定理求AG的長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形A2CD是矩形，則ZA=ZABC=90。

:.ZABE+/CBF=90。

又CFLBC

ZFCB+ZCBF=90°,ZCFB=ZA=90°

:.ZFCB=ZABE

又BC=BE

ABE^,FCB(AAS)；

(2)解：:在菱形ABC。中，cosA=g

:.AD//BC,AB=BC

.\ZCBE=ZA

QCE±AB,ZCEB=90°

BE

cosZCBE=----

CB

BE=BC-cosZCBE=BC-cosA=—BC

3

114

:.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB

333

QEFLAD,CELAB

:.ZAFE=ZBEC=90°

又ZCBE=ZA

:.Z\AFE^Z\BEC

,AEEFAF

"BC~CE~BE

444

：.EFBC=AECE=-ABxCE==-xl2=16

故答案為：16；

(3)解：當(dāng)點(diǎn)6在/10邊上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)FE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接G尸，過

點(diǎn)E作瓦于點(diǎn)a

,-.CD=AB=n

:.DE=DC—EC=12—4=8

QDM//FC

:NEDM^NECF

.EMED_8G

,EF-￡C-4-

.S^MGE_EM_2

SvFEGEF

?二SYMGE=2SVEFG~EF-EG=28A/3

在心OEH中，ZHDE=ZA=60°

貝UEH=*DE=J^x8=45DH=^DE=4

《MG.HE=286

:.MG=14

QG￡_LEF,EH_LMG,NMEH=90°-ZHEG=ZHGE

/.tanZMEH=tanZHGE

八HEHM

Q----=------

HGHE

HE2=HM-HG

設(shè)AG=a,貝|GD=AZ)-AG=10-a

.?.G"=GO+/TO=10-。+4=14-a,=GM-=14-(14一a)=a

(4舟=a(14-a)

解得：a=6或a=8

即AG=6或AG—8

綜上所述，AG的長(zhǎng)為6或8.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性

質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解

題的關(guān)鍵.

8.(1)當(dāng)E在線段“尸的垂直平分線上時(shí)，1的值為5

(2)5與1的函數(shù)關(guān)系式為5=||〃-//+80

(3"的值為:

(4"=匕叵或*i時(shí)，直線MN過線段AC的中點(diǎn)O

【分析】(1)點(diǎn)E在板的垂直平分線上，推出斯=加，由此構(gòu)建方程求解即可；

(2)利用分割法，S=S梯形OGFM-S",可得結(jié)論；

(3)過點(diǎn)M作MTLAD于點(diǎn)T.由角平分線的性質(zhì)得MT=MF,由此構(gòu)建方程求解即可;

(4)過。作于Q,貝ljOQ〃8c〃加，由相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】(1)在血A￡)E中，ZAED^9Q°,AD=10cm,DE=8cm

:.AE=飛AD。-DE?=7102-82=6(cm)

四邊形DMG是矩形

GFDE

.ANAF

"AD~AE

tAF

R即n一二二

1106

解得：”=十

點(diǎn)E在MF的垂直平分線上

:.EF=EM

5

解得：”5

即當(dāng)E在線段陸的垂直平分線上時(shí)，，的值為5;

(2)由(1)可知，AE=6cm,AF=-tcm

3

/.EF=AE-AF=(6-—，)(cm)

EM=EB-BM=(8-r)(cm)

Q

:.FM=EF+EM=(14--r)(cm)

四邊形QEFG是矩形

3

:.ZDEF=90°,GF=DE=8cm,DG=EF=(6--t)cm,DG〃EF

.FN_AN

,^GF~AD

即空」

1810

解得：FN=：t

S=S梯形DGFM_SMNF=g(6_，+14_，］x8_；x(14_+Jxgf=1|/_g+80

即S與/的函數(shù)關(guān)系式為S=H?-g+8。；

(3)過點(diǎn)/作MT,AD于點(diǎn)兀

MTIND,MFINF

-(14-?)=14--f

55

解得：料

即存在某一時(shí)刻f,使點(diǎn)M在NON尸的角平分線上，f的值為g；

(4)存在，理由如下：

如圖2,過。作0。，BE于。

則OQ//BC//NF

由(1)可知，AE=6cm

AB=AE+EB=14(cm)

。是AC的中點(diǎn)

,-.OA=OC=-AC

2

OQ//BC

.,.二AOQsAC5

.OQAQOA

**BC-AB-AC-2

,OQ=^BC=l(cm),AQ=^AB=7(cm)

QM=BQ-BM=(J-Z)(cm)

OQ//NF

:.MOQsMNF

.OQ=QM

,NF~FM

1_1-t

即

55

解得："失叵

即仁巴普或，五時(shí)，直線MN過線段AC的中點(diǎn)0.

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)與四邊形綜合題，考查了考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、梯形

面積公式以及三角形面積公式等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)

建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.(1)見解析

⑵①=證明見解析；②;

⑶3

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明四邊形AE。9是矩形，再得比=即可解決問題；

(2)①證明AEOMBF(XASA),可得OE=O尸即可；

②先根據(jù)正方形的性質(zhì)得以=08=。。，ZAOB=ZBOC=90°,則NOBE==45。，

Z.OCF=ZOBF=45°,所以ZOBE=ZOCF,由OE_LOb得Z.EOF=90°,貝ljZBOE=ZCOF=90°-NBOF,

即可證明ABOE四△COP,于是得3E=b,根據(jù)四邊形OE4F的面積=入4。3的面積=：正方

形"CD的面積，即可解決問題；

(3)延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使GQ=MN,連接尸G,證明"GQWPMN(SAS),可得PG=PM,

ZGPQ=ZMPN,所以△PGM為等腰直角三角形，所以四邊形PQ"N的面積=等腰直角三角

形尸GM的面積，進(jìn)而可以解決問題.

【詳解】(1)證明：二?四邊形"CD是正方形

ZZMB=90°,NZMC=45°

VOELOF,OELAD

：.Z.DAB=ZOEA=ZEOF=90°

；?四邊形AEOF是矩形

,/ZZMC=45°

/.OE=AE

二?四邊形AEOb是正方形;

(2)解:①。石=。尸

證明：:四邊形錨8是正方形

/.OA=OB,ZEAO=ZFBO=45°

ZEOF=ZAOB=90°

ZEOA^ZFOB

：.AEO^BFOCASA)

?\OE=OF-

②;四邊形ABCD是正方形

AC=BD,AC±BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD

22

OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=90°

：./OBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°

ZOBE=ZOCF

「OELOF

/.ZEOF=90。

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF

...BOEASA)

的面積=COP的面積

???四邊形OE4F的面積的面積=：正方形A5CD的面積=：xl=；；

(3)解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使GQ=MN,連接PG

,/ZQPN=ZQMN=90°

/.NPQM+NN=180。

,/ZPQM+ZPQG=180°

/.ZPQG=ZN

?/PQ=PN

/.PGQWPMNQSAS)

/.PG=PM,ZGPQ=ZMPN

/.ZGPM=ZGPQ+ZQPM=/MPN+ZQPM=90°

???△PGM為等腰直角三角形

PM=9

四邊形PQMN的面積=等腰直角三角形尸GM的面積:㈤=黑

【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)求出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

10.(1"=6s

(2)告

(3)不能，見解析

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判

定與性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵.

(1)在四邊形AB。中，AD//BC,1B90?,可得當(dāng)"=8Q時(shí)，四邊形ABQP是矩形，即

可得到方程”24-解此方程即可得到最后答案；

(2)在四邊形神8中，AD//BC,當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形加8是平行四邊形，列方程解

方程即可；

(3)由四邊形尸QC。是菱形，則四邊形尸是平行四邊形，根據(jù)(2)中求解的答案,

分析看此時(shí)能否為菱形，求出⑦工即，即可得到尸QCD不可能為菱形.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：AP=tcm,CQ=3rcm

.?AB=8cm,AD=22cm,BC=24cm

DP=(22-Z)cm,5Q=(24-34cm

二?在四邊形ABC。中，AD//BC,IB90?

.?.當(dāng)AP=8Q時(shí)，四邊形ABQP是矩形

.?./■=24-3/解得t=6

.?.當(dāng)/=6s時(shí)，四邊形A3。尸是矩形；

(2)當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形尸QC。是平行四邊形

...22T=3r解得：

，當(dāng)，=?s時(shí)，四邊形尸QCO是平行四邊形；

(3)若四邊形尸是菱形，則四邊形尸是平行四邊形，根據(jù)(2)得，”與

/.PD=22—t=——33.

2

過點(diǎn)。作DRSC于點(diǎn)R

?*.四邊形是矩形

BR=AD=22

CR=2,DR=AB=8,CD=JcN+DR?=2而*PD

???四邊形尸尸Qcn不可能是菱形.

11.⑴當(dāng)ovrwg時(shí)，PQ=9t,當(dāng)g<W時(shí),PQ=20-16t

(2)9

(3)|■秒或2秒

(4)1秒或微秒

【分析】(I)根據(jù)勾股定理得4。=/仙2-比2=12,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得tanA=1

tanB=|,cosA=1,cosB=|,過點(diǎn)C作CK,AB于點(diǎn)K,得%=；A"CK=；AC8C,求得

"=空子專，AIACJK-T，根據(jù)題意得AP=12t，BP=AB-AP=15-12t,然后分兩

種情況：①當(dāng)owg時(shí)，點(diǎn)。在AC上；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)。在2C上，分別解答即可；

(2)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)得出點(diǎn)。為慳的中點(diǎn)，NQ=2DQ,當(dāng)OQUC時(shí),

線段小的長(zhǎng)度為最小值，此時(shí)線段陷的長(zhǎng)度取得最小值，證明一得

^e=|BC=P即可得解；

(3)分兩種情況：①當(dāng)四〃3(7時(shí)；②當(dāng)DN〃AC時(shí)，分別求解即可；

(4)分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)尸在線段AD上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)尸在線段DK上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)P在線段2

上時(shí)，分別求解即可；

【詳解】（1）解：'?在VABC中，ZACB=90°,AB=15,BC=9

?*.AC=VAB2-BC2=V152-92=12

?BC93八AC124AC124BC93

?.tanA4=--=一=一,tanB=--=一=一,cosAA=--=一=一,cosBn==——=—

AC124BC93AB155AB155

過點(diǎn)C作CKLAB于點(diǎn)K

,/S..?=-ABCK=-ACBC

ZAA￡>rC22

??ACBC12x936

??GA=---------=------=——

AB155

/.AK=Y/AC2-CK2=

丁點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒12個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為/秒"。)

/.AP=12t,BP=AB-AP=15-l2t

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合時(shí)，，=?12=g(秒)

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，y15+12=；(秒)

?/PQJ.AB

①當(dāng)0wg時(shí)，點(diǎn)。在AC上，則PQ=APtanA=12tx^=9t

B

0c

②當(dāng)g<tv，時(shí)，點(diǎn)。在BC上，貝ljPQ=2PtanB=(15-⑵)xg=20-⑹

B

AN----------------達(dá)C

綜上所述，當(dāng)時(shí)，PQ=9t,當(dāng)時(shí)，PQ=2O-I6t;

(2):CD為VABC的中線，45=15

???點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)

.，.AD=BD=-AB=—

22

丁點(diǎn)尸和點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱

???點(diǎn)。為9的中點(diǎn)

,/四邊形「。蛇為平行四邊形

.?.NQ與加互相平分，且交點(diǎn)為NQ與w的中點(diǎn)

???點(diǎn)。為NQ的中點(diǎn)

NQ=2DQ

當(dāng)OQLAC時(shí)，線段DQ的長(zhǎng)度為最小值，此時(shí)線段陷的長(zhǎng)度取得最小值

由Z)Q_LAC,ZACB=90°

DQ//BC

；.ZADQ=ZABC,ZAQD=ZACB

_ADQsABC

?DQAD\

BC_AB-2

119

DQ=-BC=-x9=-

222

9

NQ=2DQ=2x-=9

線段NQ長(zhǎng)度的最小值是9

(3)①當(dāng)ON〃蛇時(shí)

/.ZADQ=ZABC,ZAQD=ZACB

，ADQsABC

?DQAD_1

**BC-AB-2

?119

??DQ=-BC=-x9=-

222

VPQ-LAB,IPZQPD=90°

.9Q3?7

..PD=DQ,cos/PDQ=—cosB=2x—=」

22510

z=y^12=|（秒）;

②當(dāng)DN〃AC時(shí)

NBDQ=NBAC,ZBDQ=ZBCA

；.△BDQs^BAC

?DQBD\

?*AC-AB-2

?，?O0=；AC=；xl2=6

?424

??PD=DQ-cosZ.PDQ=6cosA=6x—=一

1524123

AP=AD+PD=—+—=

25lo-

?12341/工/、\

一=而+12,（秒）；

綜上所述，當(dāng)f為，秒或1秒時(shí)，直線。N平行于VABC的一條邊;

（4）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)

二?四邊形PQMN為平行四邊形，PQ±AB

/.PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

ZPQM<90°,即ZPQM為銳角

當(dāng)ZPQM=NA時(shí)

327

貝I]PM=tanZPQM=PQtanA=9tx^==~t

丁點(diǎn)。為P”的中點(diǎn)

PD=-PM=-x—t=—t

2248

15?7

/.—=AD=AP+PD=12t+—t

28

解得：'=方；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段DK上時(shí)

;四邊形尸QMN為平行四邊形，PQLAB

/.PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

ZPQM<90°,即NPQM為銳角

當(dāng)ZPQM=NA時(shí)

327

則PM=PQtanZPQM=PQtanA=9tx-=—t

丁點(diǎn)。為9的中點(diǎn)

112727

/.PD=-PM—t=

2248

1527

.\-=AD=AP-PD=12t——t

28

解得一

此時(shí)點(diǎn)尸不在線段DK上，不符合題意;

③當(dāng)點(diǎn)尸在線段仍上時(shí)

丁四邊形PQMN為平行四邊形，PQ±AB

PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

AZPQM<90°,即NPQM為銳角

當(dāng)ZPQM=NA時(shí)

327

則PM=PQtanZPQM=PQtanA=9tx-=—t

丁點(diǎn)。為9的中點(diǎn)

112727

/.PD=-PM—t=

2248

1527

.\-=AD=AP-PD=12t——t

28

解得：f=;

綜上所述，當(dāng)/為/秒或II秒時(shí)，PQMN的一個(gè)內(nèi)角和/A相等.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，銳

角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了分類討論的思

想.解題關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義及相似三角形的判定與性質(zhì).

12.(1)|

(2)S=4gf+246(O</<8)

(3)2或6

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定可知：PD=CQ,列方程可解答；

(2)根據(jù)梯形面積公式可解答；

(3)分兩種情況討論，由軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】(1)解：四邊形"8是平行四邊形

.-.AD//BC

當(dāng)PQ〃。時(shí)，四邊形加耍是平行四邊形

PD=CQ

2t—16—4/

8

..t=-?

3，

(2)解：?四邊形”8是平行四邊形

.\ZBCD=ZA=60°

DE1BC

:./DEC=90。

.../CDE=30。

CE=—CD=—x8=4

22

:.DE=M-U=4指

PD//BC

.?.S=；?D^?(OP+5E)=gx4A^x(2%+16—4)=4?+24g(0</<8)；

(3)解：四邊形ABC。是平行四邊形

:.AB//CD

.-.ZA+ZAr)C=180°

,\ZADC=120°

如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸的對(duì)稱點(diǎn)在線段CD上時(shí)

.\ZADQ=ZQDC=60°

是等邊三角形

,.CD=CQ=8

「.8=16—4，

.?/=2；

如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸的對(duì)稱點(diǎn)在線段。的延長(zhǎng)線上時(shí)

圖3

:.NPDP=60°

點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)在線段。的延長(zhǎng)線上

/.ZCDQ=|ZPDPf=30°

/BCD=ZCDQ+ZCQD

:.ZCDQ=ZCQD=30°

.\CD=CQ=8

80=16+8=24

.?4=24

.'.t=6

綜上，/的值是2或6.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊

三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

13.（1）詳見解析

⑵詳見解析

⑶AN=26

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合"，N分別是AD,BC的中點(diǎn)，即可證明；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合N分別是的中點(diǎn)即

可證明；

（3）先判定四邊形CDW是平行四邊形，再判斷其為菱形，利用菱形的性質(zhì)，判斷一MNC

為等邊三角形，從而求得Nl=N2=/A〃VD=30。，在RtAPEN中，利用特殊角，求出EN,進(jìn)

而求出線段期的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：???四邊形好。是平行四邊形

/.AD=BC,AD//BC

,.'M,N分別是AO,3C的中點(diǎn)

AM=CN,AM〃CN

.??四邊形ANCM是平行四邊形；

（2）證明：?.?ZAA?=90。，M,N分別是的中點(diǎn)

/.MN=-AD=MD,CN=-BC=-AD,MD=-AD=-BC

22222

MD=CN

：.MN=NC；

(3)解：VMD=^AD=^BC=CN,MD//CN

，四邊形肱VC。是平行四邊形

由(2)知MN=NC

???四邊形MNCD是菱形

/.ZNMC=ZDMC,DN±MC,ZDNM=ZDNC

"：Zl+ZDMC=Zl+ZNMC=Z2+ZENC=90°

/.ZNMC=NMNC

：.MN=CN=MC

?0?AMCN是等邊三角形

ZMND=N2=/l=30。

在RtNEP中

EP=1

NP=2EP=2

?*.NE￡NP-EP=6

MN=MC=2拒

...四邊形，CN是平行四邊形

AN=MC=2\/3.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定與性

質(zhì)、直角三角形的斜邊中線與斜邊的關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)和判定，利用直角三角

形中30。的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是求解的關(guān)鍵.

14.(1)4

⑵(0</<1)

-8r+20(l<r<-)

Q”二

513

8r-20(-<r<—)

22

(3"=:或f=|

/八(

(4)f=不8_或p,"不23或―Xr=w13

【分析】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用；解題關(guān)鍵

是正確畫出圖形，分不同情況解三角形.

（1）利用面積法即可求出VABC的高AE

（2）根據(jù)點(diǎn)尸在不同線段的運(yùn)動(dòng)的圖形，分三種不同情況求解即可

（3）由AC與四邊形相交分割的圖形分類討論進(jìn)行求解即可；

（4）根據(jù)點(diǎn)尸的位置不同以及可能成直角的圖形分別求解.

【詳解】（1）解：???區(qū)=11,VABC的面積為22,AELBC,SNABC^BC-AE

AE=（22x2）-ll=4

故答案為4；

(2)VAE±BC,AB=5,AE=4

/.BE=3

：.CE=BC—BE=ll-3=8

AC=y]AE2+EC2=A/42+82=4亞

SAABE=；BE.AE=：X3X4=6

???點(diǎn)尸到達(dá)5點(diǎn)時(shí)間=g=l（秒）

點(diǎn)尸到達(dá)E點(diǎn)時(shí)間=i+/T（秒）

點(diǎn)尸到達(dá)C點(diǎn)時(shí)間=1+（=]（秒）

①當(dāng)尸在上（不含點(diǎn)A、B）運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)如圖1-1

F

:將點(diǎn)石繞PA的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到點(diǎn)尸

/.OA=OP,OF=OE

，四邊形AS平是平行四邊形

FP=AE=4,FP//AE

ZJFPA=ZBAE

BF3

/.sinZFPA=sinZBAE=——=—

AB5

3

?&?AG=APsinZFPA=5tx-=3t

:?SAEPF=FPAG=1Z

②當(dāng)尸在的上(含點(diǎn)