2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的變化》專項(xiàng)測(cè)試卷附答案

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的變化》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,E,尸均為格

點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))，請(qǐng)按下列要求作圖，并標(biāo)出相應(yīng)的字母.

圖1圖2

(1)①在圖1中，畫出線段A3關(guān)于直線CD對(duì)稱的線段A耳.連接44-線段AA和直線

的關(guān)系為

②在圖1中，將線段A8向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段人昂,

畫出線段為劣.連接A4、BB2,線段械和線段8當(dāng)?shù)年P(guān)系為；

(2)在圖2中，線段與線段所存在旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系.畫出旋轉(zhuǎn)中心。.

2.探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究，在RtZXABC中,

ZACB=90°,ZABC=45。，AB=M,。為線段A3上一點(diǎn).

圖1圖2圖3

【初步感知】

(1)如圖1,連接CD,將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CE.連接AE,￡>E,求的度

數(shù)；

【深入探究】

(2)如圖2,將AACD沿C。折疊至AECD.射線CO與射線BE交于點(diǎn)?若FE=3EB,

求△CEF的面積；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,BD=BC,連接CO.G為線段AC上一點(diǎn)，作點(diǎn)G關(guān)于直線C。的對(duì)稱點(diǎn)X,

點(diǎn)G繞8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。至點(diǎn)K,連接HK,HB,請(qǐng)問CD和HK存在何種關(guān)系？并說明理

由.

3.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,4).將線段A。向右平移3個(gè)單位，再

向上平移1個(gè)單位后，得到線段所.

⑴直接寫出點(diǎn)E,尸的坐標(biāo):

(2)如圖2,將線段49沿y軸向下平移。(。＞0)個(gè)單位后得到線段BC(點(diǎn)A與點(diǎn)8對(duì)應(yīng)),

過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D若。O=《OC,求a的值；

(3)如圖1,在尤軸上是否存在一■點(diǎn)尸，使得2s△4FP=3%4OF(和SaAOF分另lj表小AAFP和

AAOF的面積)，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.在正方形ABC。中，點(diǎn)E在邊C。上運(yùn)動(dòng)(不與端點(diǎn)重合)，作射線AE,將射線AE繞點(diǎn)

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，交射線CB于點(diǎn)

(1)如圖1,與線段AE始終相等的線段是；

(2)如圖2,連接成交AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作47_1_砂于6,連接DG,試探究點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)

過程中，NEDG的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)tan/CEF=5時(shí)，求整的值.

HCr

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VA5C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(2,4),C(5,3).

⑴平移VABC,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-3,3),請(qǐng)畫出圖形；

(2)將VABC平移到△ABiG的過程可描述為:先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向一

平移個(gè)單位長(zhǎng)度；

(3)若將△AB|G看成是VABC經(jīng)過一次平移得到的，則這一平移的距離是

(4)畫出VABC關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱的圖形△A與G.

6.如圖是由6x5的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在下列給

定的網(wǎng)格中完成畫圖.（要求：每個(gè)作圖輔助線不超過3條）

_一3

⑴在圖1中，畫線段AD,使得451且AD=AB；在AC上畫點(diǎn)E,使得="

⑵直接寫出蕓的值:；在AC上畫點(diǎn)G,使得CG-C4=5C2.

nC

7.如圖1,VABC和△D3C都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.

（1）將沿3C方向平移得到△r?4G，如圖2、圖3所示，則四邊形AB2G是平行四

邊形嗎？證明你的結(jié)論；

⑵在（1）的條件下，若四邊形ABQG為矩形，求B片的值.

8.(1)如圖，正方形ABCD,/是BC上的一點(diǎn)，連接40.點(diǎn)N是AM上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

N作EF1.4W,分別交直線AB,CD于點(diǎn)E,F.求證：AM=EF.

(2)如圖，正方形的邊ABC。，M是BC上的一點(diǎn)，連接AM.過點(diǎn)/作MQLAA/,分

別交正方形的外角“CG平分線于點(diǎn)。.求證：AM=MQ.

(3)如圖，正方形ABC。中，AB=4,M是BC上的一點(diǎn)，，且8M=1，連接AM.點(diǎn)N

是AM上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作分別交直線AB,C。于點(diǎn)E,F.連接ME、AF.求

ME+AF的最小值，并說明理由.

9.【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1,矩形ABCD中，AB=9,BC=12,點(diǎn)尸是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),

過點(diǎn)尸作EF2AD,分別交A。，BC于點(diǎn)E,F,PE=4,AE=3.貝！|：

①PC=；

②PA2+PC2與PB2+PD2的關(guān)系是.

【類比探究】（2）如圖2,點(diǎn)尸是矩形ABC。外一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作EF上AD,分別交AD,BC

反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,￡②中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由;

【拓展延伸】（3）如圖3,在中,ZBAC=90°,尸是Rt^ABC外一點(diǎn)，R4=2,

尸3=5,PC=3,求3C的最小值.

①②③

10.（1）如圖1,在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)叫做格點(diǎn)，VABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在VABC的邊48上找到一點(diǎn)。，連結(jié)CD,使得

△ACD的面積與△BCD的面積之比為3：2,（請(qǐng)用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，并

保留作圖跡）.

（2）如圖2,四邊形ABC。為菱形，60°<ZABC<90%點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，用尺規(guī)作圖

分別在CD邊上找一點(diǎn)G,在8。上找一點(diǎn)F，使￡F+FG最小，（請(qǐng)用圓規(guī)和直尺完成作圖，

并保留作圖跡.）

AD

11.如圖，點(diǎn)。為矩形A3CD的對(duì)稱中心，AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)、E、F、G分別在邊

AB.BC、CO上.點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s,點(diǎn)/從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng)，速度為3cm/s,點(diǎn)G從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s.當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A（即點(diǎn)E

與點(diǎn)A重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，△￡?產(chǎn)關(guān)于直線所的對(duì)稱圖形是

△EB'F,設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/（單位：s）.

⑴四邊形EBFB'（填“能”或“不能”）是正方形;

⑵若“、N分別是所、FG的中點(diǎn)，連接問：當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形是平行

四邊形？

⑶是否存在實(shí)數(shù)上使得點(diǎn)8'與點(diǎn)。重合？若存在，求出/的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12.按要求作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

（1）如圖1,VABC的頂點(diǎn)A、B在。。上，點(diǎn)C在。。內(nèi)，ZACB=90°,僅利用無刻度直尺

在圖中畫0。的內(nèi)接三角形ADE,使△ADEsZ\C3A；

（2）如圖2,在VA2C中，AB=AC,以AB為直徑的0。交邊AC于點(diǎn)。，連接BD,過點(diǎn)C

作CE〃AB.

①請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)8作O。的切線，交CE于點(diǎn)P；

②若BD=5,則跳'的長(zhǎng)度為多少.

參考答案

1.（1）①見解析；直線C￡（垂直平分線段AA；②見解析；AA2=BB2,AA.//BB,.

（2）見解析

【分析】本題考查了軸對(duì)稱作圖，平移作圖，找旋轉(zhuǎn)中心，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（1）①根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)即可得出結(jié)果；②根據(jù)圖形的平移作圖，然后由平移的性質(zhì)

即可求解；

（2）分別作對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，其交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心.

【詳解】（1）①解：如圖1,線段A瓦即為所求的線段.

直線co垂直平分線段AA；

②解：如圖1,線段4坊即為所求的線段.

AA2=BB2,AAj//BB2?

(2)解：如圖2,點(diǎn)。I和點(diǎn)。2即為所求的旋轉(zhuǎn)中心.

21

2.(1)ZBAE=90°；(2)—；(3)HK=CD,見解析

【分析】(1)根據(jù)SAS證明AACEaBCD得ZCAE=NB=45°,進(jìn)而可求出/BAE的度數(shù)；

(2)作CTL成交&F于點(diǎn)T,由折疊的性質(zhì)得AC=CE,ZACF=ZECF.求出

/F=NFCT=45°得CT=TF,設(shè)3T=ET=a,則FE=6。，CT=TF=1a,由勾股定理求

出AC=CE=石，然后在RtZ\CE7中利用勾股定理列方程求解即可；

(3)連接BG,DK,CH,延長(zhǎng)CH交于點(diǎn)T,證明ACBG四ADBK(SAS)得

ZBDK=ZACB=90°,CG=DK,由旋轉(zhuǎn)得CG=CH,從而有CH=DK.證明

NCTD=/BDK=90。得CH〃DK,可證四邊形CDK"是平行四邊形，從而HK=HB=CD.

【詳解】解：(1):在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=45°,

：.ZR4C=ZABC=45°,

二AC=BC.

:將CO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CE,

CE=CD,ZDCE=90°,

NDCE=ZACB,

：.ZACE=ZBCD,

???AACE%BCD(SAS),

???ZCAE=ZB=45°9

???/區(qū)4￡=45。+45。=90。；

(2)如圖，作CT_LBF交BF于點(diǎn)T,

???將AACD沿CD折疊至&ECD,

AC=CE,NACF=NECF.

;AC=BC,

：.CE=BC,

：.BT=ET,ZBCT=/ECT,

???ZACF+/ECF+ZBCT+ZECT=90。,

：.ZFCT=-ZACB=45°,

2

：.ZF=ZFCT=45°,

：.CT=TF.

設(shè)BT=ET=a,

?/FE=3EB,

FE=6a,

：.CT=TF=Ja,

??,AC=CE=?AB=E

2

??ci—,

10

S=—CT-EF=—x7ax6a=—；

m2210

(3)如圖，連接BG,DK,CH,延長(zhǎng)C”交AB于點(diǎn)T,

CB

???點(diǎn)G繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。至點(diǎn)K,

：.BG=BK,NG3K=45。，

???ZABC=/GBK=45。,

：.ZCBG=ZDBK,

?:BD=BC,

???△CBG~DBK(SAS),

ZBDK=ZACB=90°,CG=DK.

作點(diǎn)G關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)H,

:?CG=CH,/GCD=/HCD,

：.CH=DK.

VBD=BC,ZABC=45°,

???ZBDC=ZBCD=67.5°,

???Z.GCD=ZHCD=67.5°-45°=22.5°,

???ZC77)=90°,

???/CTD=ZBDK=90。,

J.CH//DK,

?:CH=DK,

???四邊形CDKH是平行四邊形，

：.HK=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì),

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì).

3.⑴點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,5),點(diǎn)尸坐標(biāo)為(3,1)

(2)。的值為g或8

⑶存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1-：,。]或H，o]

【分析】(1)根據(jù)平移方式可求解點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)由題意易得點(diǎn)8坐標(biāo)為(-3,4-a),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-。)，點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,4-。)，然后可

分當(dāng)點(diǎn)。位于y軸正半軸，即4-a>0時(shí)，當(dāng)點(diǎn)。位于y軸負(fù)半軸，即4-a<0時(shí)，進(jìn)而分

類求解即可；

15345

(3)連接AP和FP,由題意易得AO〃￡F,則有％5^=-5^=—,

然后可分當(dāng)點(diǎn)尸位于x軸負(fù)半軸時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P位于無軸正半軸時(shí)，進(jìn)而分類求解即可.

【詳解】(1)解：由題知：平移方式為向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，

???點(diǎn)A進(jìn)行該平移后對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)E,即坐標(biāo)為(-3+3,4+1),點(diǎn)。進(jìn)行該平移后對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)

F,即坐標(biāo)為(0+3,0+1)；

.??點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,5)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(3,1).

(2)解:由題知：點(diǎn)B坐標(biāo)為(-3,4-a),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-a),點(diǎn)。坐標(biāo)為(。,4-°),

①當(dāng)點(diǎn)。位于y軸正半軸，即4-〃>0時(shí)，

OD=4—a,OC=a,

:OD=-OC,

2

1

:.4A-a=—a,

2

解得：。=|;

②當(dāng)點(diǎn)。位于y軸負(fù)半軸，即4-a<0時(shí)，

OD=—(4—ci)=a—4,℃=a,

-：OD=-OC,

2

(1

/.a—4=—a,

2

解得：a=8.

Q

綜上，。的值為■!或8.

(3)解：存在，理由如下：連接AP和FP,

,??線段49平移得到線段所，

：.AO//EF,

115

?q~^^AOE=-EO.

-3AOF222

=3X15=45

224

+S"OP-SMOF，

153

-------m,

32

15345

——m=一

224

解得：7M=—1

SAAOP-S^AOF~S/\OFP，

=0.4-”-Ll

222

315

=-m--

22

31545

:.—m--=

224

25

解得：根=3

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為1-則或

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形與坐標(biāo)及平移的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形與坐標(biāo)及平移的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

4.(1)與線段AE始終相等的線段是AF

⑵/EDG的值為45。，是定值，理由見解析

⑶源

13

【分析】此題考查了，解題的關(guān)鍵是.

(1)由正方形的性質(zhì)得到AB=AD,ZADE=ZABC=ZABF=ABAD=90°,然后證明出

△DAE/ABAF(ASA),即可得到AE=AF；

(2)根據(jù)題意證明出點(diǎn)A,D,E,G四點(diǎn)共圓，得到/EDG=/￡XG=45。，進(jìn)而求解即

可；

(3)設(shè)CE=x,則CF=5CE=5x,勾股定理得出砂=JcE?+CF?=生a表示出

BHBF2尤2.

BF=DE=2x,然后證明出得到麗=演=而支=13，進(jìn)而求解即

2

可.

【詳解】(1)與線段AE始終相等的線段是AF,理由如下：

?.?四邊形A3CD是正方形，

AB=AD,ZADE=ZABC=ZABF=NBAD=90。,

'：ZE4F=90°,

/.ZBAE+ZDAE=ZBAE+ZBAF,

ZDAE=ZBAF，

：.△ZME^ABAF(ASA),

AE=AF；

(2)/即G的大小是定值，理由如下：

VAE=AF,ZEAF=90°,

：.ZAFE=ZAEG=45°,

:AG1EF,

Z.ZAGE=ZADE=90°,ZEAG=-ZEAF=45°,

2

...點(diǎn)A,D,E,G四點(diǎn)共圓，圓心為AE的中點(diǎn),

NEDG=NEAG=45。,

即：/EDG的值為45。，是定值；

(3):在Rt/XCEF中，tan/CEF=5,

:?設(shè)CE=x,貝。=5CE=5x,

EF=VCE2+CF2=V26x>

.1V26x

??AG=—E17F1r=------,

22

由(1)可知：ADAE當(dāng)ABAF,

:.BF=DE,

又?；CD=BC,

：.CF=BF+BC=DE+CD=DE+DE+CE=2DE+x,

2DE+x=5x,

BF—DE—2x,

VZFHB=ZAHG,ZFBH=ZAGH,

：.AFHB^AAHG,

.BHBF^^=^1

''HG~GA，即叵13'

2

即：槳的值為也.

HG13

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解

直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

5.(1)見解析

(2)5,下,1；

(3)726；

⑷如圖所示.

【分析】(1)根據(jù)4(2,4),4(-3,3),即可確定平移方式和距離，即可作圖；

(2)根據(jù)4(2,4),4(-3,3),即可確定點(diǎn)的平移方式和距離，繼而確定圖形的平移方式和

距離；

(3)先確定AA即為一次平移的距離，再由勾股定理即可求解；

(4)先作出點(diǎn)A,民C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)4，鳥,6,再順次連接即可.

【詳解】(1)解：如圖，耳G即為所作:

⑵解：；4(2,4),4(—3,3),

A(2,4)向左平移5個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位至點(diǎn)A(-3,3)，

...將VABC平移到44瓦G的過程可描述為：先向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單

位長(zhǎng)度，

故答案為：5,下，1；

(3)解：由題意得，AA即為一次平移的距離，

由勾股定理得：朋=#+52=而,

故答案為：J丞；

(4)解：如圖，即為所作:

【點(diǎn)睛】本題考查了本題主要考查中心變換和平移變換，及勾股定理，熟知圖形平移的性質(zhì)、

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

6.(1)圖見解析

(2)y,圖見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是系軟

解題的關(guān)鍵：

(1)取格點(diǎn)。，連接A。；AD與格線交于尸，連接即交AC于E即可；

AT

(2)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，求出能的值，如圖，取格點(diǎn)E,格點(diǎn)尸，連接CE,EF,EF

與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)G.

【詳解】(1)解：如圖所示：線段AD,點(diǎn)E即為所求；

由勾股定理,得==JF+42=后，

由作圖可知：黑AF=3

FD1

???AF=-AD=-y/Y7,

44

■.*AB=AD=yfn,ABAD=90°,

3

/.tanZABE=丁AF==,即作圖符合題意；

AB4

（2）解：VAC=V32+42=5>BC=4,

.AC5

如圖，點(diǎn)G即為所求;

由作圖可知：△ACE也△FEH,BC=CE=4；

：.ZHEF=ZACEf

：.ZEGC=ZHEF+ZCAE=ZACE+ZCAE=90°,

：.ZEGC=ZAEC=90°,

■:ZACE=ZECG,

；?AEGCS^AEC,

.CECG

??一,

ACCE

：.CE2=ACCG,

.1.BC2ACCG,即作圖符合題意.

7.(1)四邊形AB2G是平行四邊形，證明見解析

⑵4

【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定以及平移的性

質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)，得到BB|=CG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到AC=B12，

NBBR=ZACCi，從而得到“瓦。產(chǎn)"CG，則AC】=BR,再根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四

邊形是平行四邊形即可證明；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，進(jìn)一步解答即可.

【詳解】⑴解:根據(jù)平移的性質(zhì)，得到叫=CG，

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到AC=8Q,NBBR=ZACG，

**(ABB[D]2△ACC],

/.AC]=BDt,

又AB=CR,

，四邊形ABRG是平行四邊形；

(2)解:如圖，連接2，，AC1,

A

B

V^ABC,ABDC都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形ABRG為矩形，

AC=CD,=BB[=BlCl,止匕時(shí)4，C重合，

.?.陰=4.

8.(1)見解析

(2)見解析

(3)

7

【分析】(1)過點(diǎn)B作3G〃EF交C。于G,交AM于H,先證明四邊形3GFE是平行四邊

形，得BG=EF,再證明△ASM絲ABCG(ASA),得AM=8G,即可得出結(jié)論；

(2)在邊54上截取8E,使BE=BM,連接ME,證明△"以四》WCQ(ASA),即可得出

結(jié)論；

(3)作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)4,作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)身，連接ZM',A'F,BE',ME',

MF,當(dāng)當(dāng)點(diǎn)E、M、F、A',四點(diǎn)共線時(shí)，ME'+MR+A/值最小，最小值等于

"百二雨+血口+女/，當(dāng)點(diǎn)M、F、4共線時(shí)，MR+AF值最小，最小值是=,

所以當(dāng)點(diǎn)E'、M、尸、A,四點(diǎn)共線時(shí)，ME'+A/值最小，即ME+AF值最小，求出此時(shí)ME,

AF的長(zhǎng)即可求解.，

【詳解】(1)證明：過點(diǎn)2作3G〃EF交C。于G,交A"于H,如圖，

???正方形ABC。，

/.ZABC=ZC=90°fAB//CD,AB=BC,

：.ZABG+ZMBG=ZABC=90°,

BG//EF,

???四邊形BGFE是平行四邊形，

:?BG=EF,

9：EFLAM,BG//EF,

???ZAHB=ZANE=90。,

：.ZABG+ZBAM=90°,ZAHB=ZC,

：./BAM=ZMBG,

：.△ABM0/OG（ASA）,

/.AM=BG,

：.AM=EF.

(2)證明：在邊BA上截取使3石=連接腔，如圖,

???正方形ABCD,

AZABC=ZC=90°,AB=BC,

：.ZAMB-i-ZBAM=90°

,:BE=BM

：.ZBEM=ZBME=4509AB-BE=BC-BM,即AE=CM,

ZAEM=180。一ZBEM=135°

C。是正方形的外角NQCG平分線,

ZDCQ=45°

：.ZMCQ=135°

.??ZAEM=ZMCQ

?：MQLAM

：.ZAMQ=90°

：.ZAMB+ZCMQ=90°

：./BAM=NCMQ

：.△AEM%MCQ(ASA)

：.AM=MQ

(3)作點(diǎn)A關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)A,作點(diǎn)E關(guān)于3。的對(duì)稱點(diǎn)連接。T,Ab，BE',ME',

???正方形A5CO,

AAD=AB=4,BC//AD,CD//AB,ZABC=ZADC=90°9

???點(diǎn)A關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)4,

???點(diǎn)A、D、A二點(diǎn)共線，A^F—AF?DA=AD=4,

???A4'=8,

???點(diǎn)E關(guān)于5C的對(duì)稱點(diǎn)后，點(diǎn)5、E、E三點(diǎn)共線，MEr=ME,BE=BE,

???當(dāng)點(diǎn)F、M、F、A,四點(diǎn)共線時(shí)，ME+M/+A產(chǎn)值最小，最小值等于

AE=EM+MF+A!F,

當(dāng)點(diǎn)"、F、A共線時(shí)，"F+AF值最小，最小值是AM=AN+MF,

???當(dāng)點(diǎn)E、M.F、A,四點(diǎn)共線時(shí)，ME+A產(chǎn)值最小，即MW+AF值最小,

BC//AD,

^BME^AA!Ef,

.BE'BM

**AT-AA7,

設(shè)BE'=BE=x,貝!|A￡'=AB+3E'=4+x,

.x=1

4+x8

,_4

??X=-f

7

432

BE=—,AEr=4+x=—,

77

ME=NBM°+BE?=

?/CD//AB

.DFA'D

'*AE7-A?

DF_4

7

DF=—

7

4屈

AF=JAD?+DF2=

?皿V6547655765

..ME+AAJF7=---+-----=-----

777

即ME+AF的最小值為之叵.

7

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，利用軸對(duì)稱

求最短路徑問題，兩點(diǎn)之間線段最短，相似三角形的判定與性質(zhì).本題屬正方形與全等三角

形、相似三角形綜合題目，難度較大.熟練掌握相關(guān)知識(shí)的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

9.(1)①而@P^+PC2=PB2+PD2;(2)成立，理由見解析(3)>/30-2

【分析】本題主要考查矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握矩形的

判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定證明四邊形ABEE和四邊形DC正都是矩形，求出各個(gè)線段

的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可得到答案；

②由PA?+PC2=131,PB2+PD2=131即可得到結(jié)論；

(2)證明四邊形ABEE和四邊形ZXTE都是矩形，利用勾股定理進(jìn)行證明即可得到結(jié)論；

(3)作？M_LC4交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作交9的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,作CT_LA?

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,連接AT、PT,證明四邊形A5MW和四邊形C7NM都是矩形，根據(jù)

矩形的性質(zhì)定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（1）①如圖1：,四邊形ABCD是矩形，AB=9,BC=12,

:.AD=BC=12,

NBAD=ZABC=ZADC=ZBCD=90。,

,過點(diǎn)尸作分別交AD,3C于點(diǎn)E,F,

:.ZAEF=ZDEF=90°,

二四邊形ABFE和四邊形DCFE都是矩形，

.-.EF=AB=9,BF=AE=3,

ZAEF=ZDEF=90°,

:.CF=DE=AD-AE=12-3=9,

-：PE=4,

PA=7AE2+PE2=>/32+42=5，

PD=-JDE2+PE2=V92+42=>/97，

■.■PF=EF-PE=9-4=5,

PB=>JBF2+PF2=A/32+52=734，

PC=y/CF2+PF2=792+52=7106，

故答案為：J106；

@PA2+PC2=52+(V106)2=131,

PB2+PD2=(取A+(V97)2=131,

?，-PA2+PC2=PB2+PD1,

故答案為：P^+PC2=PB2+PD2;

(2)成立，理由如下：

V四邊形ABC。是矩形，

ZBAD=ZABC=ZDC=ZBCD=90°,

:.ZEAB=ZFBA=9O°,

,??過點(diǎn)尸作EF上AD,分別交AD,BC反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F,

.'.ZE=90°,

，四邊形MEE和四邊形DCEE都是矩形，

:.AE=BF,DE=CF,

PD2=DE2+PE2=CF2-PE2,

PA1=AE2+PE2=BF2+PE2，

:.PDr-P^=CF--BF2,

?：PC2=CF2+PF2,PB2=BE2+PF2,

PC2-PB2=CF2-BF2,

:.PC2-PB2=PD2-PA1,

PA2+PC2=PB2+PD2;

(3)作尸MLS交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則/PMC=90。，

PC2=PM2+CM2,P^=PM2+AM2,

作BN，PM交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,作CT交NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,連接AT、PT,

-.?ZBAC=90°,

:.ZBAM=90°,

ZAMN=ZN=ZCTN=90°,

二四邊形ABMW和四邊形CZN做都是矩形，

:.TN=CM,BN=AM,

PT2=PN2+TN2=PN2+CM2,

PB2=PN2+BN2=PN2+AM2,

PT2-PC2=PN2-PM2,

PB2-PA2=PN2-PM2,

PT2-PC2=PB2-,

'''PA=2,PB—5,PC=3,

PT=VPB2+PC2-B42=^52+32-22=而，

■.■TA+PA>FT,

:.TA+2>y/30,

:.TA>y/30-2,

■.■AB//MN,

，四邊形ABTC是矩形,

:.TA=BC,

:.BC>y/30-2,

.?.3C的最小值為屈-2.

10.（1）見解析；

（2）見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、尺規(guī)作圖、垂線段最短.

⑴連接QP交AB于點(diǎn)D,可得AADQSABDP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知黑=哭=］，

BL）BP2

根據(jù)三角形的面積公式可得SAACD：S-BCD=3：2；

（2）利用尺規(guī)作圖作應(yīng)）交于點(diǎn)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知FM=EF,利用尺規(guī)

作圖過點(diǎn)M作MGLCD交CD于點(diǎn)G,交8。于點(diǎn)歹，根據(jù)垂線段最短可知F70+MG最小,

等量代換可知此時(shí)EF+FG最小.

【詳解】解：如下圖所示，連接QP交于點(diǎn)。,

■.-AQWBP,

:.AADQS.BDP,

,一。_3

"BD~BP~2f

…-AABCD-J?4

（2）如下圖所示,

利用尺規(guī)作圖作EM，5￡＞交AB于點(diǎn)

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知FM=EF,

利用尺規(guī)作圖過點(diǎn)M作MGLCD交CD于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)、F,

根據(jù)垂線段最短可知F70+MG最小，

連接砂、FG,

貝i]EF+bG=FM+MG,

此時(shí)EF+FG最小.

【分析】（1）由題意得班二即，則四邊形￡BEB'不能是正方形；

（2）連接EG,證明四邊形BCEG是矩形，求得MN=1EG=ggC,推出當(dāng)=B尸時(shí),

四邊形是平行四邊形，據(jù)此求解即可；

（3）由對(duì)稱的性質(zhì)知E尸是線段的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)8'與點(diǎn)。重合時(shí)，

BH=B，H=W利用等積法求解即可.

【詳解】（1）解