2025年中考數(shù)學二輪復習考前預測：三角形（含解析）

2025年中考數(shù)學二輪復習考前預測：三角形

選擇題（共10小題）

1.（2025?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，/2=45°,4。是△ABC的角平分線，DE±AC,垂足

為點E.若DE=2,則BD的長為（）

2.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，ZB=ZC,ZBAC=ZB+15°,ND4c是AABC的外角,

則NZMC的度數(shù)是（）

DAB

A.100°B.105°C.110°D.115°

3.（2025?秦都區(qū)校級一模）如圖，/XABC中，AO平分NA4C,BD二=A￡）=6,DFLAC于F,DF=4,則

AB的長為（）

A

BDC

A.8B.10C.4“D.2V13

4.（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,24。，AE分別是邊BC上的中線和高,

若AE=2,SAABD=Q則的長為（）

A

BDEC

A.A/5B.V3C.1D.JL

2

5.（2025?安徽模擬）如圖，AD是△ABC的中線，是△ABQ的中線，延長8E交AC于點R已知AF

=2,則AC的長為（）

C.10D.12

6.（2025?瀘縣一模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=3,AB=5,。。是Rt^ABC的內(nèi)切圓，則

OO的半徑為（）

C.2D.2^3

7.（2025?楊浦區(qū)一模）對一個三角形進行放縮運動時，下列結(jié)論中正確的是（）

A.各個內(nèi)角的大小始終保持不變

B.各條邊的長度始終保持不變

C.三角形的面積始終保持不變

D.三角形的周長始終保持不變

8.（2025?普陀區(qū)一模）如圖，在四邊形ABC。中，AC為對角線，AB=DC,如果要證得△ABC與△CD4

全等，那么可以添加的條件是（）

B.ZB=ZD

C./B=/ACDD.ZACB=ZCAD=90°

9.（2024?南安市模擬）如圖，在△ABC中，AB=5,BC=6,AC的垂直平分線分別交8C、AC于點。、E,

則的周長為（）

B

D

A.8B.11C.16D.17

10.（2024?溫州二模）尺規(guī)作圖源于古希臘的數(shù)學課題，蘊含著豐富的幾何原理.如圖，在△ABC中，按

如下步驟尺規(guī)作圖：①以點B為圓心，為半徑作弧交邊于點②以點A為圓心，AO為半徑作

弧交AC于點E；③連結(jié)CZ）與DE.若要求NCDE的度數(shù)，則只需知道（）

A./A的度數(shù)B.的度數(shù)

C.NACB的度數(shù)D./ZJCE的度數(shù)

二.填空題（共5小題）

11.（2025?鹿城區(qū)校級一模）如圖，點。、E分別為AB,AC的中點，8/平分NABC交。E于點R若

AB=4,BC=6,貝ljEF=.

12.（2025?十堰校級模擬）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與8。的交點為C,且NA,NB,Z

E保持不變.為了舒適，需調(diào)整的大小，使/EED=110°,則圖中/O應（填“增力口”

13.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZB=70°,AD是BC邊上的中線，E是AC

邊上一點.若DE=DC,則NADE的度數(shù)為

14.（2025?永壽縣校級一模）如圖，在△ABC中，ZBAC=30°,/8AC的平分線AO交8c于點。，點

。在AD上，OA的垂直平分線分別交AC、AB于點E、F,連接OC,若OC=AF=4,則△AOC的面

積為.

15.（2025?晉安區(qū)校級模擬）如圖，動點尸在等邊△ABC的邊AC（不包括端點）上，杷=2a+2，連接

PB,AD±PB于。，以為一邊在AD右側(cè)作等邊△AOE,ED的延長線交BC于F,若NEFC=45°,

貝ijEF=.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖AB=AC,CDLABD,BEVACE,BE與CD相交于點。.

求證：AD=AE.

AA

DA殳E

0

BC

17.（2025?汕頭模擬）如圖，四邊形A8CD中，AB=DC,AB//DC,E,尸是對角線AC上兩點，且AE=

CF.求證：AABE名ACDF.

18.（2025?河北模擬）如圖1和圖2,及△ABC和Rt△。所中，NB=/DEF=90°,AB=20,BC=15,

DF=15,DE=12.點D,E分別在AB,AC邊上滑動，點產(chǎn)在。E的右側(cè)，當。廠與AC相交時，交點

記為P.

（1）EP的長為,￡尸的最小值為；

（2）如圖1,當。尸=12時，請證明AP=AD；

(3)如圖2,

①尺規(guī)作圖：過點A做直線。尸的垂線AN,垂足為點N（保留作圖痕跡，不寫作圖過程）;

②若AM垂直平分。E,求AN的長；

（4）直接寫出點A與點尸的最大距離.

20.（2025?山東一模）【情境知識技能】學校數(shù)學興趣小組活動時，小紅給小波出了一道題：

（1）如圖1,在等腰RtZXABC中，AB^AC,/A4c=90°，點、D,E在邊BC上，且NZME=45°,

小紅對小波說：“圖中線段8。、OE和EC有一定的數(shù)量關(guān)系，你知道嗎？”

小波毫不思索的回答道：“太簡單了，把△A3。繞點A逆時針轉(zhuǎn)90°得到△ACR連接ER就能證出

.小紅微笑著點了點頭，并給小波豎起了大拇指.

【解決問題】

①若AB=6&,EC=4,則BD=；

②請你幫助小波證明他的結(jié)論.

【情境理解應用】

(2)小波接著對小紅說：“如圖2,在四邊形ABC。中，/氏4￡>=/28=90度，AB=AD,ZACD^

45°,若AB=5&,BC=6,你知道AC的長嗎？"，小紅會意點了頭.小紅的答案是AC

圖1圖2

2025年中考數(shù)學二輪復習考前預測：三角形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，ZB=45°,AD是△ABC的角平分線，DELAC,垂足

為點E.若DE=2,則BD的長為（)

273C.2D.272

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線;推理能力.

【答案】D

【分析】過點D作DFLAB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DE=2,再由等角對等邊得出DF=BF=2,

由勾股定理即可求解.

【解答】解：過點。作如圖所示:

是△ABC的角平分線，DELAC,DE=2,

:.DF=DE=2,

VZB=45°,

：./BDF=NB=45°,

：.DF=BF=2,

BD=VBF2+DF2=2V2'

故選：D.

【點評】題目主要考查角平分線的性質(zhì)，等角對等邊及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運用這些

知識點是解題關(guān)鍵.

2.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，NB=NC,ZBAC^ZB+15°,NZMC是△ABC的外角,

則/D4C的度數(shù)是（）

A.100°B.105°C.110°D.115°

【考點】三角形的外角性質(zhì).

【專題】三角形；運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求出N8,即可解答.

【解答】解：是△A8C的外角，

：.ZDAC=ZB+ZC,

VZB+ZC=180°-ABAC,

:/B=NC,ZBAC=ZB+\5°,

AZB+ZC=180°-ZB-15°,

.?.3/8=165°,

：.ZB^55°,

：.ZDAC=2X55°=110°,

故選：C.

【點評】本題考查三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?秦都區(qū)校級一模）如圖，TXABC中，AD平分/54C,BD=AD=6,DF1ACF,。尸=4,則

AB的長為（）

C.4“D.2^13

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】c

【分析】過點。作于E,則由角平分線的性質(zhì)可得。舊=DF=4,由三線合一定理得到A5=2AE,

利用勾股定理求出AE=VAD2-DE2=2\/5j貝1「而二2皿二4代.

【解答】解：如圖所示，過點。作。于E,

平分NBA。，DF±AC,DELAB,

:?DE=DF=4,

'：BD=AD=6,

：.AB=2AEf

在RtAADE中，由勾股定理得杷={AD2-DE2=2^5，

.??AB=2AE=4V5，

故選：c.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵

是掌握角平分線性質(zhì)定理.

4.（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD,AE分別是邊BC上的中線和高,

【考點】直角三角形斜邊上的中線；三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形面積公式求出BD=泥,再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求

解即可.

【解答】解：是△ABC中邊上的高，SAABD=Q

，SAABD=LXBDXAE=爬,

2

\'AE=2,

:.BD=&,

,：AD是RtAABC中BC邊上的中線，

:.DC=BD=AD=疵,

故選：A.

【點評】此題主要考查了三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形

斜邊上中線的性質(zhì).

5.（2025?安徽模擬）如圖，是△ABC的中線，8E是△A3。的中線，延長BE交AC于點R已知AF

=2,則AC的長為（）

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】A

【分析】過點。作QG〃AC交8F于點G,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NEDG=NE4尸，/DGE=NAFE.證

明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OG=AF=2,由。G〃AB可證再根

據(jù)是△ABC的中線，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可得CT=2OG=4,即可求解

【解答】解：如圖，過點。作。G〃AC交8尸于點G,

則NEOG=NEAF,ZDGE=ZAFE.

:BE是LABD的中線，

：.AE=DE,

/.AAEF沿ADEG,

:.DG=AF=2.

'."DG//AF,

:.叢BGDs叢BFC,

???GD~BD,

CFBC

：AD是△ABC的中線,

：.2BD=BC,

：.CF=2DG=4,

.?.AC=AF+CP=2+4=6.

故選：A.

【點評】該題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定等

知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

6.（2025?瀘縣一模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,是Rt^ABC的內(nèi)切圓，則

QO的半徑為（）

A.1B.A/3C.2D.2>/3

【考點】勾股定理；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，設(shè)O。的半徑為r,再根據(jù)三角形的面積公式將三角形ABC的面

積分成△4。3+/\4?。+2\8。（7得出方程求解即可.

【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC,

B.

久’

.、

AC

在中，ZC=90°,AC=3,AB=5,

?■?BC=VAB2-AC2=4-

設(shè)OO的半徑為r,

貝USAABC=fBC'AC=-^（AB+BC+AC）T=6'

即1（5+4+3）T=6,

2

r=1,

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，熟記勾股定理，三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?楊浦區(qū)一模）對一個三角形進行放縮運動時，下列結(jié)論中正確的是（）

A.各個內(nèi)角的大小始終保持不變

B.各條邊的長度始終保持不變

C.三角形的面積始終保持不變

D.三角形的周長始終保持不變

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的面積.

【專題】三角形；幾何直觀.

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的對應角相等、對應邊成比例的性質(zhì)來判斷.

【解答】解：一個三角形進行放縮運動，各個內(nèi)角的大小始終保持不變，故A符合題意；

一個三角形進行放縮運動，各條邊的長度也進行變化，故B選項不符合題意；

一個三角形進行放縮運動，各條邊的長度也進行變化，面積也進行變化，故C選項不符合題意；

一個三角形進行放縮運動，各條邊的長度也進行變化，周長也進行變化，故。選項不符合題意，

故選：A.

【點評】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來判斷.

8.（2025?普陀區(qū)一模）如圖，在四邊形ABC。中，AC為對角線，AB=DC,如果要證得△ABC與△CD4

全等，那么可以添加的條件是（)

B./B=/D

C./B=/ACDD.ZACB^ZCAD^9Q°

【考點】全等三角形的判定.

【專題】三角形；圖形的全等；幾何直觀；推理能力.

【答案】D

【分析】對于選項A，根據(jù)AO〃BC得/AC2=NCA。，由于AB=OC,AC^CA,不

符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項8,由于AB=OC,AC=CA,/B=

不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項C,由于AC=C4,

N8=/AC。不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項。，根據(jù)/AC8=/

CAD=90°得△ABC和△CD4均為直角三角形，由于AB=DC,AC^CA符合全等三角形的判定條件，

進而可對該選項進行判斷，綜上所述即可得出答案.

【解答】解：對于選項A,

,JAD//BC,

：.ZACB=ZCAD,

根據(jù)A8=OC,AC=CA,ZACB^ZCAD,不能判定△ABC與△CZM全等,

故選項A不符合題意；

對于選項B,

根據(jù)A8=OC,AC=CA,ZB=ZD,不能判定△ABC與△CD4全等，

故選項B不符合題意；

對于選項C,

根據(jù)AB=DC,AC=CA,ZB=ZACD,不能判定△ABC與△CZM全等，

故選項C不符合題意；

對于選項D,

VZACB=ZCAD=9Q°,

：.AABC和△CZM均為直角三角形,

在RtAABC和RtACDA中,

[AB=DC,

（AC=CA'

.?.RtAABC^RtACDA（HL）,

故選。符合題意，

故選：D.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的

關(guān)鍵.

9.（2024?南安市模擬）如圖，在△ABC中，AB=5,BC=6,AC的垂直平分線分別交8C、AC于點。、E,

則△A3。的周長為（）

A.8B.11C.16D.17

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到ZM=OC,根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：???￡）￡是線段AC的垂直平分線，

：.DA=DC,

：.AABD的周長=AB+8D+AO=A8+3Z）+OC=AB+BC=11,

故選：B.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距

離相等是解題的關(guān)鍵.

10.（2024?溫州二模）尺規(guī)作圖源于古希臘的數(shù)學課題，蘊含著豐富的幾何原理.如圖，在AABC中，按

如下步驟尺規(guī)作圖：①以點B為圓心，BC為半徑作弧交邊于點。；②以點A為圓心，為半徑作

弧交AC于點E；③連結(jié)C。與DE.若要求NCDE的度數(shù)，則只需知道（）

A./A的度數(shù)B.NB的度數(shù)

C.NAC2的度數(shù)D.NOCK的度數(shù)

【考點】三角形內(nèi)角和定理.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】C

【分析】由作圖得到BD=BC,AD=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/BZ)C=NBC。，/ADE=/AED,

在△AOE和△BOC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別求出NA、的度數(shù)，繼而求出NA+NB的度數(shù)，從

可求出/COE與的關(guān)系，即可得出答案.

【解答】解：由題意得，BD=BC,AD=AE,

:./BDC=/BCD,/ADE=/AED,

在△AOE中，ZA+ZADE+ZAED=180°,

即NA=180°-2AADE,

在△B￡)C中，ZB+ZBDC+ZBCD^180°,

即NB=180°-2ZBDC,

：.ZA+ZB=180°-2ZAD￡+180°-2ZBDC=360°-2CZADE+ZBDC),

VZAZ)E+ZBDC=180°-ZCDE,

：.ZA+ZB=360°-2(180°-/CDE)=2NCDE,

在△ABC中，ZA+ZB=180°-ZACB,

A2ZCDE=180°-ZACB,

即/CDE=90。-1ZACB-

若要求NCOE的度數(shù)，則只需知道NAC8的度數(shù)，

故選：C.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

二.填空題(共5小題)

11.(2025?鹿城區(qū)校級一模)如圖，點。、E分別為A8,AC的中點，BF平分/ABC交DE于點、F,若

1

【考點】三角形中位線定理.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE=』BC=3,DE//BC,根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得

2

至1]NDBF=/DFB,得到DF=BD=2,計算即可.

【解答】解：：點。、￡分別為AB,AC的中點，AB=4,

是△ABC的中位線，BD=1AB=2,

2

：.DE=1BC=3,DE//BC,

2

：.ZDFB=ZFBC,

平分/ABC,

：.ZDFB=ZFBC,

：.ZDBF=ZDFB,

:.DF=BD=2,

：.EF=DE-DF=3-2=1,

故答案為：1.

【點評】本題主要考查三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

12.（2025?十堰校級模擬）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與2。的交點為C,且NA,ZB,Z

E保持不變.為了舒適，需調(diào)整的大小，使/E/Z?=110°,則圖中ND應減少（填“增加”

或“減少”）10度.

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì).

【專題】三角形；運算能力.

【答案】減少；10.

【分析】連接CF,并延長至點在△A3C中，利用三角形內(nèi)角和定理，可得出NAC8的度數(shù)，結(jié)合

對頂角相等，可得出NOCE的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)，可得出/EFM=

ZECF+ZE,二者相加后，可求出的度數(shù)，再結(jié)合的原度數(shù)，即可求出結(jié)論.

【解答】解：連接CR并延長至點M,如圖所示.

在△ABC中，ZA=50°,ZB=60°,

AZACB=180°-ZA-ZB=180°-50°-60°=70°,

：.ZDCE^ZACB^1Q°.

'：/DFM=ZDCF+ZD,/EFM=ZECF+ZE,

：./EFD=ZDCF+ZECF+ZD+ZE=ZDCE+ZD+ZE,

即110°=70°+ZD+3O0,

：.ZD=10°,

：.20°-10°=10°,

...圖中NO應減少（填“增加”或“減少”）10度.

故答案為：減少；10.

50,

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)各角之間的關(guān)系，找出NEPD與

之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,NB=70°,是BC邊上的中線，E是AC

邊上一點.若DE=DC,則NADE的度數(shù)為50°.

A

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形的角平分線、中線和高.

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】50°.

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到/B=/C=70°,由三角形內(nèi)角和定理求出NBAC=40°,由等腰

三角形的性質(zhì)推出/D4C=L/54C=20°,NQEC=NC=70°,由三角形的外角性質(zhì)即可求出/AOE

2

的度數(shù).

【解答】解：???A8=AC,

：.ZB=ZC=10Q,

AZBAC=180°-70°義2=40°,

是3c邊的中線，

平分/BAC,

AZDAC=1ZBAC=2O°,

2

,:DE=DC,

：.ZDEC=ZC=10°,

ZADE=/DEC-ZZ）AC=50°.

故答案為：50°.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線、角平分線和高線，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì).

14.（2025?永壽縣校級一模）如圖，在△ABC中，ZBAC=30°,/8AC的平分線交BC于點。，點

。在AO上，04的垂直平分線分別交AC、A8于點￡、F,連接OC,若OC=AF=4,則△AOC的面

積為—4+4、巧

C

O

AB

F'

【考點】勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義；三角形的面積；線段垂直平分線的性質(zhì)；含

30度角的直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】4+473.

【分析】連接OE、。凡作OHLAC于點X.由E尸垂直平分。4可得AE=OE,AF=OF,結(jié)合AD平

分/3AC可知四邊形AEOF是菱形，則AE=OE=AP=OC=4,CH=HE.由菱形的性質(zhì)及NBAC=30°

可得/CEO=30°,貝3H*)E=2，則CE=2HE=4?，進而可求面積.

【解答】解：如圖，連接OE、OF,作?！癓AC于點H.

H

：￡產(chǎn)垂直平分。1,

：.AE=OE,AF=OF,

：.ZEAO^ZEOA,

平分N54C,

：.ZEAO=ZFAO,

：.ZFAO=ZEOA,

：.OE//AF,

同理可證明AE//OF,

???四邊形AEOF是平行四邊形，

?：AE=OE,

???四邊形AEOF是菱形，

'.AE—OE=AF=OC=4,

OH±ACf

:?CH=HE.

VZBAC=30°,OE//AF,

：.ZCEO=3Q°,

OH=1-OE=AX4=2,

22

；?EH=V0E^0H^=2V3'

，CE=2HE=4我，

???AC=AEKE=4+W§，

SAA0C-|AC-0H=4+4V3-

所以△AOC的面積為4+4、巧.

故答案為：4+4V3-

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，30度角直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形面積，熟知相關(guān)知識點，正確作出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

15.（2025?晉安區(qū)校級模擬）如圖，動點P在等邊△ABC的邊AC（不包括端點）上，AB=2我+2，連接

PB,ADLPB于以為一邊在AD右側(cè)作等邊△ADE,ED的延長線交BC于F,若NEFC=45°,

則EF=_76+2>/2_.

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；全等三角形的判定與性

質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】V6+272

【分析】分別連接A尸，EC,作CG〃BD,交所的延長線于G,利用等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形

的判定與性質(zhì)得到NAEC=/AD3=90°,CE=BD；證明/也Z\CG凡貝!JBF=FC,作CHIEF

于點人證明△EHC是等腰直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求得結(jié)論.

【解答】解：如圖，分別連接AREC,作CG〃BD,交跖的延長線于G,

A

4-

G

△ABC和△ADE是等邊三角形，

：.AB=ACfAD=AE,ZBAC=60°,ZDAE=60°,ZAED=60°,

：.ZBAD=ZEAC.

在△A3。和AACE中，

'AB二AC

,ZBAD=ZCAE，

AD=AE

AABD^AACE(SAS),

ZADB=ZAEC,BD=CE,

9

：AD±PBf

：.ZAZ)B=90°,

ZAEC=90°.

VZAED=ZADE=60°,

，/CED=/PDE=NFDB=/AEC-NAED=90°-60°=30°,

?.*CG//BD,

：.ZG=ZFDB=30°,

：.ZG=ZCEG=30°,

：.CG=CE,

：.BD=CG.

在△5。尸和△CG廠中，

2BDF=NG

<NBFD=/CFG，

BD=CG

:?△BDFmACGF(AAS),

：.BF=FC,

9

：AB=ACf

，點F為BC中點,

J.AF1BC,CF^BF^1.BC=^AB=A(2?+2)=73+1,

222

作CHLEF于點H,如圖，

VZ￡FC=45°,

AFHC是等腰直角三角形，

，F(xiàn)H=CH半CF*(V3+1)霽+(,

9：ZCEH=3Q°,

:.CE=2CH=2X(近+叵=&+&,

22

HEWCE2-CH2=呼+*，

???EF=FH+HE坐點+呼考鵬+2^2'

所以￡尸的長為a+272.

故答案為：76+272.

【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,

直角三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理準確找出圖中的全等三角形是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖4B=AC,CDLABD,BELACE,BE與CD相交于點O.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；圖形的全等；幾何直觀；推理能力.

【答案】證明見解答過程.

【分析】根據(jù)CD_LAB,BELAC^ZAEB=ZADC=90°,進而可依據(jù)"AAS”判定4485和△AC。

全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】證明：：COLAB于。，BELAC于E,

：.ZAEB^ZADC^90°,

在△ABE和△AC。中，

，ZAEB=ZADC=90°

?ZA=ZA，

AB=AC

AAABE^AACD(A4S),

：.AE^AD,

即AD=AE.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)

鍵.

17.(2025?汕頭模擬)如圖，四邊形ABCD中，AB=DC,AB//DC,E,尸是對角線AC上兩點，且A￡=

CF.求證：AABE咨4CDF.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力.

【答案】證明見解析.

【分析】由平行線的性質(zhì)得/氏4￡=/。。尸，再由SAS證明△ABE之△(?￡)廠即可.

【解答】證明：

：.ZBAE=ZDCF,

在△ABE和△CDF中，

rAB=CD

<NBAE=/DCF，

AE=CF

:.LABEq4CDF(SAS).

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方

法是解題的關(guān)鍵.

18.(2025?河北模擬)如圖1和圖2,Rt^ABC和RtZXOEF中，ZB=ZDEF=90°,AB=2Q,BC=15,

DF=15,DE=12.點、D,E分別在AB,AC邊上滑動，點/在。E的右側(cè)，當QP與AC相交時，交點

記為P.

(1)所的長為9,EP的最小值為—迤_；

(2)如圖1,當OP=12時，請證明AP=A。；

(3)如圖2,

①尺規(guī)作圖：過點A做直線。尸的垂線AN,垂足為點N(保留作圖痕跡，不寫作圖過程);

②若AM垂直平分OE,求AN的長；

(4)直接寫出點A與點尸的最大距離.

圖1

【考點】三角形綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】(1)9；36

5

(2)見解析；

(3)①見解析；

②AN的長為18；

(4)10+5V13.

【分析】(1)利用勾股定理求出所的長，再由垂線段最短得到當￡尸工。尸時，砂有最小值，即可解

答；

(2)先證明△ABC得到再推出即可得出結(jié)論；

(3)①按照要求用尺規(guī)作圖作出直線DF的垂線AN即可；

②延長即交AN延長線于點G,先利用全等三角形A4S判定定理推出絲△⑷VD,得到AM^AN,

再利用△?D￡FS2\￡)NG求出MG、NG的長，最后利用△DGNs/\AGM求出AM的長即可；

(4)作的外接圓，記圓心為。，作OPLOE交。E于點尸，連接。A、OE、OD,利用外接圓的

性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求出圓的半徑，再作交。尸延長線于〃，連接。尸，利用矩形的性質(zhì)

和勾股定理求出OF的長，最后利用兩點之間線段最短性質(zhì)即可求出點A與點F的最大距離.

【解答】(1)解：在Rt△。跖中，由勾股定理得：DE1+EF2=DF2,

???EF=7DF2-DE2=V152-122=9，

:當。尸與AC相交時，交點記為P,

由垂線段最短得，當尸時，￡尸有最小值，

此時EP為△OEF的高，

..11

?SADEF=y-DE-EF=2--DF-EP'

?_DE'EF12X936

??frp=--------=-----------=-----?

DF155

故答案為：9；36；

5

(2)證明：；AB=20,BC^15,DE=12,EF=9,

?EF9^3DE_12,3

,?而YTAB

???E-F=--D-E，

BCAB

又；/DEF=/B=90°,

.'.△DEF^AABC,

:./EDF=NBAC,

又,：4EPD=4DPA,

：./\PDE^/\PAD,

DE

DPD

APADr

ADE

一D

APp

\'DP=n,DE=n,

:.DP=DE,

?ADDE,

??==I，

APDP

：.AP=AD.

(3)解：①如圖2,垂線AN即為所求;

c

圖2

②如圖，延長ED交AN延長線于點G,

圖3

：AM垂直平分。E,

?1?EM=MD=yDE=6>ZAMD=90°-AE=AD,

由作圖可得，AN±DF,

：.ZAND=90°,

VZMAN+ZAND+ZMDN+ZAMD=36Q°,

AZMAN+ZMDN=360°-2X90°=180°,

VZEDF+ZMDN=1S0°,

ZMAN+ZMDN=ZEDF+ZMDN,

:.NMAN=/EDF,

由（2）中的結(jié)論有，NEDF=NBAC,

：.NBAC=/MAN,

即ZEAM+ZMAD=NDAN+NMAD,

/.ZEAM=/DAN,

在△AME和△AND中，

，ZAME=ZAND=90°

，ZEAM=ZDAN，

AE=AD

:.LAME沿LAND(A4S),

：.AM^AN,DN=EM=6,

■:/DNG=/DEF=90°,ZEDF=ZNDG,

:ADEFsMDNG,

???EF=DF=DE二12=?')，

NGDGDN6

1q115

，NG或EFj，DG專DF言，

MG=MB+BG=6+^-

"：ZDNG=ZAMG=9Q°,ZDGN=ZAGM,

：.ADGNS^AGM,

旦

.DNNGsn-§--2_

??----=-----，曰J______，

AMMG.27

2

解得：AM=18,

，AN=AM=18,

...AN的長為18；

(4)解：點A與點產(chǎn)的最大距離為10+5理由如下：

作△AOK的外接圓，記圓心為O,作OPLOE交DE于點P,連接。4、OE、OD,

：.OA=OD=OE,ZDAE^ZDOE)

OP工DE,

?'?DP=EP=-1-DE=6>。尸平分

?'?ZEOP=yZDOE=ZDAE>

又?；/OPE=NABC=90°,

：./\OPE^/\ABC,

?OPEPpnOP6

ABBC2015

解得：OP=8,

在直角三角形OPE中，由勾股定理得：0后=70「2+旌2地2+62=10,即圓。的半徑為10，

作切_LOP交。尸延長線于X,連接。/，則/8=90°,

又,：/DEF=9G,ZEPH=90°,

，四邊形EFHP是矩形，

：.FH=EP=6,PH=EF=9,

：.OH=OP+PH=8+9=17,

在Rt△。尸H中，由勾股定理得：OFWFH2+OM=462+172=5①？

由兩點之間線段最短性質(zhì)得，AF^OA+OF,

??.AF<10+5V13.

?1.點A與點F的最大距離為10+5713.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、尺規(guī)作圖、三角形的外接圓、勾股

定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點，學會添加適當?shù)妮o助線構(gòu)

造相似三角形，利用勾股定理求線段長度，利用三角形外接圓的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵，本題屬于幾

何綜合題，適合幾何知識儲備較強，有能力解決幾何難題的學生.

19.（2025?黃石一模）己知：如圖，AD,BC相交于點O,>AD=BC,NC=ND=90°.求證：CO=

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)乩證明Rt^ABC電RtABAD,利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.

【解答】證明：：/Q=/C=90°,

AABC和△BA。都是RtA,

在RtAABC和RtABAD中，

[AD=BC,

lAB=