2025年中考數學復習：方程（組）與不等式（組）（含答案）

板塊二方程（組）與不等式（組）

專題突破1一次方程（組）的應用（古代問題）

典例精講

[例1]（2021武漢中考）我國古代數學名著《九章算術》中記載："今有共買物，人出八，盈三；人出七,

不足四，問人數，物價各幾何?"意思是現有幾個人共買一件物品，每人出8錢，多出3錢；每人出7錢，差4錢.

問人數，物價各是多少?若設共有x人，物價是y錢，則下列方程正確的是（）

C=y+4o.*一

A.8(x-3)=7(x+4)B.8x+3=7x-4'8~7

[例2]《孫子算經》中有一道題，原文是："今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之,

不足一尺，木長幾何?"意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩

余1尺，問長木多少尺?如果設長木長X尺、繩長y尺，則可以列方程組是（）

y—x=4.5,x—y=4.5,x—y=4.5,y—x=4.5,

A.fi.B.{i.C.{1.D.{1.

-y—x=1-y—x=1x——y=1x——y=1

2z2J2J2z

典題精練

類型——元一次方程的應用

1.（2024鹽城）中國古代數學著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現有一根竿子和一條

繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多

長?該問題中的竿子長為尺.

類型二二元一次方程組的應用

2.（2024成都）中國古代數學著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：今有共買班，人出半，盈四；人出少半，

不足三.問人數，進價各幾何?其大意是：今有人合伙買進石，每人出共茄，會多出4錢；每人出繳，又差3錢.

問人數，班價各是多少?設人數為x,進價為y，則可列方程組為（）

y=-1X+4,y=-1x—4,1y=-x—4,1y=-x+4,

4{iB.{jC.{：D.{j

y=-%+3y=-%+3y=-x-3y=-x—3

J3z3J3J3

3.（2023紹興）《九章算術》中有一題："今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.問大、小器各容

幾何?”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，總

容量為2斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛?設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組

是（)

4產+5y=3,B?產上好:'5x=y+3,口?產=［晨'

&+y=2U+5y=2lx=5y+2U=5y+3

專題突破2一元二次方程的解法及簡單應用

典例精講

[例1]（2024武漢元調改）解方程：/-6x-4=0.

【例2】（2024武漢元調）《九章算術》第三章“衰分"介紹了比例分配問題，"衰分"是按比例遞減分配的

意思，通常稱遞減的比例為"衰分比".例如：已知A,B,C三人分配獎金的"衰分比”為10%,若A分得獎金1

000元，則B,C所分得獎金分別為900和810.某科研所三位技術人員甲、乙、丙攻關成功，共獲得獎金175萬

元，甲、乙、丙按照一定的"衰分比"分配獎金，若甲分得獎金100萬元，則"衰分比"是.（用百分數表

示）

典題精練

類型一解一元二次方程

1.（2023武漢二調改）解方程：%2-2%-4=0.

類型二傳播問題

2.（2024洪山區(qū)）有一個人患了流感，經過兩輪傳染后，共有36人患了流感.設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人，則下列結論錯誤的是（）

A.1輪后有（x+1）個人患了流感B.第2輪又增加x（x+1）個人患流感

C.依題意可列方程（（X+1）2=36D才安照這樣的傳播速度,三輪后一共會有180人患流感

類型三面積問題

3.（2024東湖高新區(qū)）我國古代數學家楊輝的《田畝比數乘除減法》中記載："直田積八百六十四步，只云闊不

及長一十二步，問闊及長各幾步?"翻譯成數學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步.

若設寬為x步，則可列出方程（）

A.x（x-6）=864B.x（x-12）=864C.x（x+6）=864D.x（x+12）=864

類型四增長率問題

4.（2023武漢二調）某品牌手機原來每部售價為1999元，經過連續(xù)兩次降價后，該手機每部售價為1360元，

設平均每次降價的百分率為x,根據題意，所列方程正確的是（）

A1999/=1360B.1999（l-x2）=1360

C.1999（1-%）2=1360D.1999（l-2x）=1360

類型五圍欄問題

5.（2024武漢模擬）用一段長度為24m的籬笆圍成一個矩形菜地，能圍成菜地的面積不可能是（）

A.25m2B.31m2C.36m2D.38m2

專題突破3根的判別式及根與系數的關系

典例精講

[例1]（2024武珞路）若a+b+3c=0,則關于x的方程ax2+bx+c=0（a豐0）的根的情況是

[例2]（2024樂山）若關于x的一元二次方程/+2x+p=。的兩根為Xi,X2,且-+-=3,則p的值為

X1*X2

[例3]（2024廣安）若關于x的一元二次方程（m+I）%2-2%+1=。有兩個不相等的實數根，則m的取

值范圍是L

典題精練

類型一判斷一元二次方程根的情況

1.（2024武昌區(qū)）下列方程有兩個相等實數根的是（）

71.7x2-%-1=0B.9x2=4（3x-l）C.%2+7x+15=00.2x2-V3x-2=0

類型二求參數的值或取值范圍

2.若關于X的方程x2+2V3x+m=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是

3.（2024湖北元調）若關于x的方程（m+2）%2-3%+1=0有兩個實數根，則m的取值范圍是

4.（2024宿遷）規(guī)定:對于任意實數a,b,c,有[a,b]*c=ac+b,其中等式的右邊是通常的乘法和加法運算，例如:[2,3]

★l=2xl+3=5若關于x的方程[x,x+l]*（mx）=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是:

類型三利用根與系數的關系求值

5.（2024眉山）已知方程/+%-2=0的兩根分別為Xi,X2,則:+己的值為.

6.（2024煙臺）若方程2%2-4%-1=0的兩根分別為m,n,則3m2-4m+n2的值為二

類型四根的判別式及根與系數的關系的綜合運用

7.（2024漢陽區(qū)）若關于x的一元二次方程%2-（a2-3a-10）%+a=0的兩根互為相反數，則該方程的兩根

之積為.

專題突破4分式方程的解法及簡單應用

典例精講

[例1]（2024武漢中考）分式方程￡=霆的解是一

[例2]（2024自貢）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動.已知七（3）班甲組同學

平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同.求甲，乙

兩組同學平均每小時各包多少個粽子？

典題精練

類型一分式方程的解

1.（2021武漢四調）方程+=若-2的解是

X—1LX—z--------------------------

2.（2024齊齊哈爾）如果關于x的分式方程!—黑=o的解是負數，那么m的取值范圍是（）

A.m<lS.m/0B.m<lC.m>lD.m<l且mw-1

3.（2024達州）若關于x的方程W=1無解，則k的值為.

x—2x—2—

類型二解分式方程

4.（2024包頭）解方程:三-2=三.

類型三分式方程的應用

5.（2024揚州）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B型機器每天多處理4

0噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數相等.B型機器每天處理多少

噸垃圾？

專題突破5一元一次不等式（組）的解法

典例精講

z+3>1,①

【例】（2024武漢中考）求不等式組一…的整數解.

2x—②

典題精練

類型一不等式的基本性質

1.（2024上海）如果x>y,那么下列不等式正確的是（）

A.x+5<y+5B.x-5<y-5C.5x>5yD.-5x>-5y

類型二不等式（組）的解集在數軸上表示

3%—2V2x/T)

2.(2024赤峰)解不等式組｛'時，不等式①和不等式②的解集在數軸上表示正確的是()

2(%+1)2—1②

類型三解一元一次不等式(組)

3.(2023武漢中考)解不等式組;：請按下列步驟完成解答.

(1)解不等式①彳導;

(2)解不等式②彳導;

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

(4)原不等式組的解集是.

3久一4<2,②

4.(2023武漢四調)解不等式組｛請按下列步驟完成解答：

2x+2Nx.②

(I)解不等式①彳導；

(n)解不等式②彳導；

IIIIIII

-3-2-10123

(印)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

(IV)原不等式組的解集是.

2%—1<3,②

5.(2024武漢三調)求滿足不等式組｛的整數解.

3%+1>2久②

板塊二方程（組）與不等式（組）

專題突破1一次方程（組）的應用（古代問題）

典例精講

［例1］（2021武漢中考）我國古代數學名著《九章算術》中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，

不足四，問人數，物價各幾何?”意思是現有幾個人共買一件物品，每人出8錢，多出3錢；每人出7錢，差4錢.

問人數，物價各是多少?若設共有x人，物價是y錢，則下列方程正確的是（D）

y-3__y+4y+3y-4

A.8(x-3)=7(x+4)B.8x+3=7x-4D.---=----

8~787

［例2］《孫子算經》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不

足一尺，木長幾何?”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1

尺，問長木多少尺?如果設長木長x尺、繩長y尺，則可以列方程組是（D）

y—x=4.5,x—y=4,5,x—y=4.5,y—x=4.5,

A.fi.B.{i.C.{1.D.［1

v-y—%=1v-y—%=1x——y=11％——y=41

2Z2Z

類型——元一次方程的應用

1.（2024鹽城）中國古代數學著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現有一根竿子和一條繩

索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長?

該問題中的竿子長為15尺.

類型二二元一次方程組的應用

2.（2024成都）中國古代數學著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：今有共買璉，人出半，盈四，?人出少半，

不足三.問人數，進價各幾何?其大意是：今有人合伙買璉石，每人出繳，會多出4錢；每人出繳，又差3錢.問

人數，進價各是多少?設人數為x,進價為y,則可列方程組為（B）

y=-x+4,y=-x—4,y=-x—4,y=-x+4,

4{ioB.{iC.{:D.{:

y=-x+3y=-x+3y=-%—3y=-%—3

J3J33J3

3.（2023紹興）《九章算術》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.問大、小器各容

幾何?”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛（斛：古代容量單位）；大容器1個，小容器5個，總容

量為2斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛?設大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列方程組是（

B）

{產+5y=3,5x+y=3,5x=y+3,5x=y+2,

1+y=2'^x+5y=2-=5y+2-=5y+3

專題突破2一元二次方程的解法及簡單應用

典例精講

【例1】（2024武漢元調改）解方程：式2—6乂-4=0.

解：x2—6x=4,.'.x2-6x+9=4+9,；.（x-3）2=13,

x—3—或x—3=—\/T3,x1—3+V13,x2="3—V13.

[例2]（2024武漢元調）《九章算術》第三章“衰分，介紹了比例分配問題，"衰分'是按比例遞減分配的意思，

通常稱遞減的比例為“衰分比”.例如：已知A,B,C三人分配獎金的“衰分比”為10%,若A分得獎金1000元，則

B,C所分得獎金分別為900和810.某科研所三位技術人員甲、乙、丙攻關成功,共獲得獎金175萬元，甲、乙、

丙按照一定的“衰分比”分配獎金，若甲分得獎金100萬元，則“衰分比”是50%.（用百分數表示）

典題精練

類型一解一元二次方程

1.（2023武漢二調改）解方程：/—2%-4=0.

解:原方程變形為/一2x=4,二/_2%+1=4+1,（x-I）2=5

x—1—4或x—1——V5,???=1+V5,x2—1—V5.

類型二傳播問題

2.（2024洪山區(qū)）有一個人患了流感，經過兩輪傳染后,共有36人患了流感.設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人，則下列結論錯誤的是（D）

A.1輪后有（x+1）個人患了流感B.第2輪又增加x（x+l）個人患流感

C.依題意可列方程（x+I）2=36D.按照這樣的傳播速度，三輪后一共會有180人患流感

類型三面積問題

3.（2024東湖高新區(qū)）我國古代數學家楊輝的《田畝比數乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及

長一十二步，問闊及長各幾步?”翻譯成數學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步.若設

寬為X步，則可列出方程(D)

A.x(x-6)=864B.x(x-12)=864C.x(x+6)=864D.x(x+12)=864

類型四增長率問題

4.(2023武漢二調)某品牌手機原來每部售價為1999元，經過連續(xù)兩次降價后，該手機每部售價為1360元，設

平均每次降價的百分率為x,根據題意，所列方程正確的是(C)

A.1999X2=13601999(1-%2)=1360

C.1999(1-x)2=13600.1999(1-2x)=1360

類型五圍欄問題

5.(2024武漢模擬)用一段長度為24m的籬笆圍成一個矩形菜地，能圍成菜地的面積不可能是(D)

A.25m2B.31m2C.36m2D.38m2

解：設矩形的一邊長為xm,面積為SnP,則相鄰邊長為(12-x)m，依題意，得S=x(12-x)--x2+12x,：.

x2-12x+S=0,A=(-12)2-4S>0,S/36.故選D.

專題突破3根的判別式及根與系數的關系

典例精講

【例1】(2024武珞路)若a+b+3c=0,則關于x的方程ax2+bx+c=0(a*0)的根的情況是有兩個不相等的

實數根.

2+=

[例2](2024樂山)若關于x的一元二次方程x+2x+p=。的兩根為Xi,x2，且~^3,則P的值

為―-

[例3](2024廣安)若關于x的一元二次方程(m+1)/-2x+1=。有兩個不相等的實數根，則m的取值

范圍是m<0且m*-1.

典題精練

類型一判斷一元二次方程根的情況

1.(2024武昌區(qū))下列方程有兩個相等實數根的是(B)

A.7x2—x—1=0B.9x2-4(3x—1)C.x2+7x+15=0D.2x2—y/3x—2=0

類型二求參數的值或取值范圍

2.若關于x的方程%2+2V3x+m=。有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是m<3.

3.（2024湖北元調）若關于x的方程（m+2）x2-3%+1=0有兩個實數根，則m的取值范圍是m<^S.n#-

4

2.

4.（2024宿遷）規(guī)定:對于任意實數a,b,c,^[a,b]*c=ac+b,其中等式的右邊是通常的乘法和加法運算，例如:[2,3次1

=2xl+3=5.若關于x的方程[[x,x+l]*（mx）=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是m：且m，0

4

類型三利用根與系數的關系求值

5.（2024眉山）已知方程/+%-2=0的兩根分別為Xi,X2,貝！12++的值為

6.（2024煙臺）若方程2久2一4刀-1=0的兩根分別為m,n,則3加一折+I的值為

類型四根的判別式及根與系數的關系的綜合運用

7.（2024漢陽區(qū)）若關于x的一元二次方程%2-（a2-3a-10）%+a=。的兩根互為相反數，則該方程的兩根之

積為-2.

專題突破4分式方程的解法及簡單應用

典例精講

【例1】（2024武漢中考）分式方程￡=”的解是x=-3.

【例2】（2024自貢）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動.已知七⑶班甲組同學平

均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同.求甲，乙兩組

同學平均每小時各包多少個粽子？

解：設乙組同學平均每小時包x個粽子，則甲組同學平均每小時包（x+20）個粽子，根據題意，得盤=?，解

得x=80,

經檢驗,x=80是原方程的解.且符合題意,x+20=100.

答：甲組同學平均每小時包100個粽子，乙組同學平均每小時包80個粽子。

典題精練

類型一分式方程的解

1.（2021武漢四調）方程七=三-2的解是x=1.

x—12x—26

2.（2024齊齊哈爾）如果關于x的分式方程工-去=0的解是負數，那么m的取值范圍是（A）

Xx+1

A.m<l且m#0B.m<lC.m>lD.m<l且m?--l

3.（2024達州）若關于x的方程告一把9=1無解，則k的值為2或-1.

x—2x—2

類型二解分式方程

4.（2024包頭）解方程：三|-2=喜.

解:去分母彳導x-2-2（x-4）=x,解