2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：拋物線形問題

拋物線形問題1路徑變軌分析

典例精講

【例】(2024武漢中考)我國發(fā)明了一種新式火箭"火龍出水"，它是二級(jí)火箭的始祖.火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑

形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行.某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)

模擬火箭運(yùn)行過程.如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別

得到拋物線y=ax2+x和直線y=-jx+h其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為9km時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí).

(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km,

①直接寫出a,b的值；

②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低1.35km,求這兩個(gè)位置之間的距離.

(2)直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15km.

典題精練

(2024武漢模擬)紙飛機(jī)是同學(xué)們很喜歡的娛樂項(xiàng)目.紙飛機(jī)的飛行一般會(huì)經(jīng)歷上拋、下降、滑行三個(gè)階段，其

中紙飛機(jī)上拋和下降的飛行路徑可看作是一段拋物線,滑行的路徑是一條線段，滑行距離受紙飛機(jī)滑行比的影響(若

紙飛機(jī)在1米的高度開始滑行，滑行的水平距離為n米，則滑行比為1:n).如圖所示，若小明玩紙飛機(jī)，其起拋

點(diǎn)的高度為1.9m,當(dāng)紙飛機(jī)的最大高度達(dá)到2.8m時(shí)，它飛行的水平距離為3m.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)小明的前方有一堵2.5m高的墻壁，小明至少距離墻壁多遠(yuǎn)，紙飛機(jī)才會(huì)順利飛過墻壁?(不考慮墻壁的厚度)

(3)小明根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)得到其折疊的紙飛機(jī)的滑行比為1:2.5(受空氣阻力的影響，紙飛機(jī)開始滑行的高度不超

過1.4m),紙飛機(jī)開始滑行時(shí)的高度為多少米時(shí)，才能使水平飛行距離為10米?

拋物線形問題2運(yùn)動(dòng)落點(diǎn)求參

典例精講

【例】（2024青山區(qū)）海豚表演是武漢海昌極地海洋公園最吸引人的節(jié)目之一.在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時(shí)，海豚身體（看

成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)行路線可以近似看成拋物線的一部分.如圖，在某次訓(xùn)練中以海豚起跳點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)與海豚

落水點(diǎn)所在的直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，海豚離水面的高度y（單位：m）與距離

起跳點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y=ax2+2x,海豚在跳起過程中碰到（不改變海豚的運(yùn)動(dòng)路徑）

飼養(yǎng)員放在空中的離O點(diǎn)水平距離為3m,離水面高度為4.5m的小球.

（1）求海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是多少m?

（2）求當(dāng)海豚離水面的高度是費(fèi)a時(shí)，距起跳點(diǎn)O的水平距離是多少m?

（3）在海豚起跳點(diǎn)與落水點(diǎn)之間漂浮著一個(gè)截面長CD=6m,高DE=4m的長方體泡沫箱，若海豚能夠順利跳

過泡沫箱（不碰到），求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n的取值范圍.

FE

CDx/m

圖1圖2

典題精練

（2024漢陽區(qū)）某班在元旦聯(lián)歡會(huì)上進(jìn)行投擲小球游戲.通過實(shí)驗(yàn)收集了小明同學(xué)拋出的小球高度h（單位:m）、

距離起點(diǎn)的水平距離x（單位：m）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)如表：

運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）00.51

水平距離x（m）012

高度h（m）1.62.22.4

其中h是關(guān)于x的二次函數(shù)，x是關(guān)于t的一次函數(shù)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）直接寫出h關(guān)于x的函數(shù)解析式和x關(guān)于t的函數(shù)解析式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

（2）求小球被拋出后到達(dá)的最大高度以及所需要的時(shí)間；

⑶如圖所示，水平放置縱截面為矩形ABCD的紙箱，（。4=5m,AB=0.5m,AD=0.6m.當(dāng)小明拋出小球的

同時(shí)，小亮沿著射線BA的方向以v（單位：爪/s）的速度移動(dòng)該紙箱，若小球落在移動(dòng)的CD上（不包括端點(diǎn)C,

拋物線形問題3實(shí)物距離計(jì)算

典例精講

【例】如圖1,有兩根相距10m且等長的立柱AB,CD垂直立于水平地面上，在AB,CD間拉起一根晾衣

繩，其形狀可近似看成拋物線y=^-x2+bx+c,已知繩子最低點(diǎn)距離地面:以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BD為

X軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求立柱AB的長度；

(2)一段時(shí)間后，繩子被神長，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段BD之間與AB相距4m的地方加

上一根立柱MN撐起繩子，這時(shí)立柱左側(cè)的拋物線.6的最低點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)A下降了1m，距立柱MN也是1m，如

圖2所示求MN的長.

典題精練

(2024洪山區(qū))一個(gè)瓷碗的截面圖如圖1所示，碗體DEC呈拋物線狀(碗體厚度不計(jì))，點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn),

碗底高EF=lcm,碗底寬AB=2百cm,當(dāng)瓷碗中裝滿面湯時(shí)，液面寬CD=8bcm,,此時(shí)面湯最大深度EG=6c

m.以F為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線EF為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)直接寫出圖2中拋物線的解析式為；

(2)倒出部分面湯后，其液面下降了1.5cm至線段MN處，試求此時(shí)液面MN的寬度；

(3)將瓷碗繞點(diǎn)B緩緩傾斜倒出部分面湯，如圖3,當(dāng)NABK=30。時(shí)停止，此時(shí)液面CH的寬度為c

m;碗內(nèi)面湯的最大深度是cm.

圖】圖3

拋物線形問題4雙拋物線形路徑求參

典例精講

【例】(2024江漢區(qū))有一臺(tái)乒乓球桌和自動(dòng)發(fā)球機(jī)如圖1所示，其側(cè)面示意圖如圖2,發(fā)球機(jī)出口P到桌

面MN的距離MP=a.現(xiàn)以點(diǎn)M為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，x(dm)表示球與點(diǎn)M之間

的水平距離，y(dm)表示球到桌面的高度.在“直發(fā)式"和"間發(fā)式"兩種模式下，球的運(yùn)動(dòng)軌跡均近似為拋物線,

"直發(fā)式"模式下，球從P處發(fā)出，落到桌面A處，其解析式為y=-高(久-10)2+6；"間發(fā)式"模式下，球從

P處發(fā)出，先落在桌面B處，再從B處彈起落到桌面C處.兩種模式皆在同一高度發(fā)球，PB段拋物線可以看作

是由PA段拋物線向左平移得到.

⑴當(dāng)a=4時(shí).

①求b的值;②求點(diǎn)A,B之間的距離；

已知段拋物線的最大高度為且它的形狀與段拋物線相同.若落點(diǎn)恰好與落點(diǎn)重合，求

(2)BCb/2,PACA

a的值.

典題精練

(2024武昌區(qū))甲，乙兩人訓(xùn)練打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺(tái)的中軸線運(yùn)動(dòng).如圖為從側(cè)面看乒乓球臺(tái)的視圖，

MN為球臺(tái)，EF為球網(wǎng)，點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，MN=274cm,EF=15.25cm,甲從M正上方的A處擊中球完成

發(fā)球，球沿直線撞擊球臺(tái)上的B處再彈起到另一側(cè)的C處，從C處再次彈起到P,乙再接球.以M為原點(diǎn),MN

所在直線為x軸，MA所在直線為y軸，1cm為單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，將乒乓球看成點(diǎn)，兩次彈起的路

徑均為拋物線且形狀不變，BC段拋物線的解析式為月=-擊(x-機(jī))0-爪-120),CP段的解析式為y2=a(x

-k)+k.

(1)當(dāng)球在球網(wǎng)左側(cè)距球網(wǎng)17cm時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，求力的解析式；為

(2)若球從B處彈起至最高點(diǎn)后的下落過程中，球剛好擦過球網(wǎng)EF,視為網(wǎng)球重發(fā)，求m的值；

(3)若球第二次的落點(diǎn)C在球網(wǎng)右側(cè)53cm處，球再次彈起最高為12.5cm,乙的球拍(看作線段GH)在N

的正上方8cm處，GH=15cm..若將球拍向前水平推出n(cm)可接住球(不包括球剛好碰到邊沿點(diǎn)G,H),求出n

的取值范圍.

v/cm

MBECNx/cm

拋物線形問題5路徑距離分析

典例精講

【例】（2024湖北模擬）某次軍訓(xùn)I中，借助小山坡的有利地勢(shì)，優(yōu)秀學(xué)員小華在教官的指導(dǎo)下用手榴彈（模擬

手榴彈）進(jìn)行一次試投：如圖所示，把小華投出的手榴彈的運(yùn)行路線看成一條開口向下的拋物線，拋物線過原點(diǎn)，手

榴彈飛行的最大高度為10米，此時(shí)它的水平飛行距離為20米，山坡OA的坡度為1:5,坡頂A處的水平距離

OB為30米

（1）求這條拋物線的解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）小華投出的手榴彈能否越過坡頂A?請(qǐng)說明理由；

（3）若AC=10米，斜坡AC上趴著幾位“敵軍"同學(xué)，手榴彈落地后會(huì)爆炸，爆炸后距落地點(diǎn)1.5米范圍內(nèi)會(huì)

受波及，問手榴彈落地爆炸后是否會(huì)波及斜坡AC?請(qǐng)說明理由.

典題精練

（2023江岸區(qū)）鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測(cè)球的運(yùn)動(dòng)軌跡.如圖分別為足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測(cè)

畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2）,攻方球員位于點(diǎn)O,守門員位于點(diǎn)A,OA的延長線與球門線交于點(diǎn)B,且點(diǎn)

A,B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線，已知（OB=28m,AB=8m,足球飛行的水平速度為

15m/s,水平距離S（水平距離=水平速度x時(shí)間）與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如表：

s/m912151821

h/m4.24.854.84.2

（1）假如沒有守門員，根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，S=_m;

（2）求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；

（3）守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應(yīng)，當(dāng)守門員位于足球正下方時(shí)，足球離地高度不大于守門員的最大

防守高度視為防守成功.已知守門員背對(duì)足球向球門前進(jìn)過程中最大防守高度為1.8m,若守門員背對(duì)足球向球門前

進(jìn)并成功防守，求此過程守門員的最小速度.

圖1圖2

拋物線形問題6路徑高度分析

典例精講

【例】（2023武漢中考）某課外科技活動(dòng)小組研制了一種航模飛機(jī),通過實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛

行水平距離x（單位：m）、飛行高度y（單位：m）隨飛行時(shí)間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)如表.

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】x與t,y與t之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述.直接寫出x關(guān)于t的函數(shù)解析

式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

飛行時(shí)間t/s02468

飛行水平距離x/m010203040

飛行高度y/m022405464

（2）【問題解決】如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上A處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛該航模飛機(jī).根據(jù)

上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題.

①若發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為0m,求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離；

②在安全線上設(shè)置回收區(qū)域MN,AM=125m,MN=5m.若飛機(jī)落到MN內(nèi)（不包括端點(diǎn)M,N）,求發(fā)射平

臺(tái)相對(duì)于安全線的高度的變化范圍.

水平安全線

AMN

典題精練

(2023東湖高新區(qū))如圖1,BC為地面,AB,AC為一個(gè)小山坡，它的高度OA為10米，坡比都為1:2,在坡頂有

一個(gè)自動(dòng)澆灌裝置(其高度忽略不計(jì))，它噴出的水柱呈拋物線形狀，現(xiàn)只考慮右側(cè)山坡，建立如圖2所示的平面直

角坐標(biāo)系，已知水柱在與OA的水平距離為6米處達(dá)到最高，且距地面的最高距離為13米.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求水柱澆灌的最遠(yuǎn)點(diǎn)G離地面的高度；

(3)如果給澆灌裝置安裝一個(gè)支架，則可以使水柱覆蓋整個(gè)山坡，問澆灌裝置還要升高多少米，才能使水柱覆蓋

整個(gè)山坡？

拋物線形問題7運(yùn)動(dòng)建模

典例精講

【例】（2022武漢中考）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個(gè)小球同向運(yùn)動(dòng)，黑球在A處開始減速，此時(shí)白球

在黑球前面70cm處.小聰測(cè)量黑球減速后的運(yùn)動(dòng)速度v（單位：cm/s）、運(yùn)動(dòng)距離y（單位：cm）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位:

（1）直接寫出v關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)黑球減速后運(yùn)動(dòng)距離為64cm時(shí)，求它此時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度；

（3）若白球一直以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，問黑球在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)不會(huì)碰到白球?請(qǐng)說明理由.

黑球白球

OO

A

典題精練

（2024東西湖區(qū)）如圖1,一名輪滑選手從加速坡道的A處下滑至點(diǎn)B處獲得最大速度，然后沿水平滑道BC

滑行直至停止.該選手在水平滑道BC上滑行的距離y（單位：m）與滑行時(shí)間x（單位：s）滿足二次函數(shù)關(guān)系，測(cè)得相關(guān)

數(shù)據(jù)如下表所示：

滑行時(shí)間X/S01234

滑行距離y/m019.53855.572

Q）求水平滑道上的滑行距離y與x滿足的二次函數(shù)解析式；

（2）該選手在水平滑道BC上滑行多遠(yuǎn)才停止？

（3）如圖2,為控制選手滑行距離，現(xiàn)在水平滑道上設(shè)置了護(hù)欄DE,DE^\BC,BD=72私為安全起見，選手必

須從點(diǎn)B開始使用鞋后跟的剎車進(jìn)行制動(dòng)，剎車制動(dòng)能力為每秒減少滑行距離n（單位：m）,請(qǐng)直接寫出n的取值

范圍.

拋物線形問題1路徑變軌分析

典例精講

【例】(2024武漢中考)我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖.火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如

拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行.某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬

火箭運(yùn)行過程.如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得

到拋物線y=a/+"口直線y--|x+b.其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為9km時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí).

(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km,

①直接寫出a,b的值；

②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低L35km,求這兩個(gè)位置之間的距離.

(2)直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15km.

解:⑴①由81a+9=3.6,解得a=一卷.由3.6=后x9+瓦解得b=8.1;

②由①得y=~^+x=+^(0<%<9),.\火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)是?km.

1515\Z/44

由-1.35=一+/+x.解得上1=12>9(舍去),x2=3.

由2.4=-3x+8.1,解彳導(dǎo)x=11.4.11.4-3=8.4

答：這兩個(gè)位置之間的距離為8.4km；

⑵當(dāng)x=9時(shí),y=81a+9把(9,81a+9)代入y=—"+b得x9+b=81a+9,

b=81a+y,.,.y=—1%+81a+孑，當(dāng)x=15時(shí),y=6+81a>0,解得a>

一5<a<0時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15km.

典題精練

（2024武漢模擬）紙飛機(jī)是同學(xué)們很喜歡的娛樂項(xiàng)目紙飛機(jī)的飛行一般會(huì)經(jīng)歷上拋、下降、滑行三個(gè)階段，其中

紙飛機(jī)上拋和下降的飛行路徑可看作是一段拋物線，滑行的路徑是一條線段,滑行距離受紙飛機(jī)滑行比的影響（若紙

飛機(jī)在1米的高度開始滑行，滑行的水平距離為n米，則滑行比為1：n）如圖所示，若小明玩紙飛機(jī)，其起拋點(diǎn)的

高度為1.9m,當(dāng)紙飛機(jī)的最大高度達(dá)到2.8m時(shí)，它飛行的水平距離為3m.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）小明的前方有一堵2.5m高的墻壁，小明至少距離墻壁多遠(yuǎn)，紙飛機(jī)才會(huì)順利飛過墻壁?（不考慮墻壁的厚度）

⑶小明根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)得到其折疊的紙飛機(jī)的滑行比為1:2.5（受空氣阻力的影響，紙飛機(jī)開始滑行的高度不超

過1.4m）,紙飛機(jī)開始滑行時(shí)的高度為多少米時(shí)，才能使水平飛行距離為10米？

\y

解：⑴丫=一20—3尸+2.8;_

（2）令y=2.5,則一白（%—3尸+2.8=2.5,_____________,

10O\JV

%1=3+V3,x2=3—V3.

...小明至少距離墻壁（（3-百）米時(shí)，紙飛機(jī)才會(huì)順利飛過墻壁；

（3）設(shè)紙飛機(jī)開始滑行時(shí)的高度為h米時(shí)，水平飛行距離為10米，則滑行的水平距離為2.5h米，故飛機(jī)開始

滑行時(shí)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為（10-2.5h,h）,將其代入拋物線解析式，

彳導(dǎo)——（10—2.5/i—3尸+2.8=h,

整理得25h2-100h+84=0,.\h=2,8或h=1.2,

Vh<1.4,.\h=1.2米

答：紙飛機(jī)開始滑行時(shí)的高度為L2米時(shí)紙飛機(jī)的飛行距離為10米.

拋物線形問題2運(yùn)動(dòng)落點(diǎn)求參

典例精講

【例】（2024青山區(qū)）海豚表演是武漢海昌極地海洋公園最吸引人的節(jié)目之一.在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時(shí)，海豚身體（看

成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)行路線可以近似看成拋物線的一部分.如圖，在某次訓(xùn)練中以海豚起跳點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)與海豚

落水點(diǎn)所在的直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，海豚離水面的高度y（單位：m）與距離

起跳點(diǎn)O的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y=a/+2居海豚在跳起過程中碰到（不改變海豚的運(yùn)動(dòng)路徑）

飼養(yǎng)員放在空中的離O點(diǎn)水平距離為3m,離水面高度為4.5m的小球.

⑴求海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是多少m?

⑵求當(dāng)海豚離水面的高度是gm時(shí)，距起跳點(diǎn)O的水平距離是多少m?

（3）在海豚起跳點(diǎn)與落水點(diǎn)之間漂浮著一個(gè)截面長CD=6m,高DE=4m的長方體泡沫箱，若海豚能夠順利跳過

泡沫箱(不碰到)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n的取值范圍.

2

解:⑴把(3,4.5)代入y=ax+2xf

得4.5=9a+2x3.解得a=-1,

???y=_：汽2+2%=—1(%—6)2+6,

ffll圖2

???海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是6m；

2

（2）由—，（久—6）+6=號(hào)解得Xj=8,%2=4.

答：此時(shí)海豚距起跳點(diǎn)0的水平距離是8m或4m；

⑶若海豚恰好接觸到泡沫箱邊緣，則點(diǎn)F或點(diǎn)E在拋物線上，

2

令y=4,貝!]--x+2x=4魂牟得％i=6—2V3,X2=6+2y/3.

當(dāng)點(diǎn)F在拋物線上時(shí)，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)n為12-2百;當(dāng)點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)n為（6+2次.

/.n的取值范圍是12—2^3<71<6+2A/3.

典題精練

（2024漢陽區(qū)）某班在元旦聯(lián)歡會(huì)上進(jìn)行投擲小球游戲.通過實(shí)驗(yàn)，收集了小明同學(xué)拋出的小球高度h（單位：m）、

距離起點(diǎn)的水平距離x（單位：m）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)如表：

運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）00.51

水平距離X（m）012

高度h（m）1.62.22.4

其中h是關(guān)于x的二次函數(shù)，x是關(guān)于t的一次函數(shù)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）直接寫出h關(guān)于x的函數(shù)解析式和x關(guān)于t的函數(shù)解析式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

（2）求小球被拋出后到達(dá)的最大高度以及所需要的時(shí)間；

⑶如圖所示，水平放置縱截面為矩形ABCD的紙箱，（。4=3m,AB=O.Sm,AD=0.6m.當(dāng)小明拋出小球的

同時(shí)，小亮沿著射線BA的方向以v（單位：m/s）的速度移動(dòng)該紙箱，若小球落在移動(dòng)的CD上（不包括端點(diǎn)C,D）,

直接寫出v的取值范圍.

解：（1）由題意，設(shè)二次函數(shù)為h=ax2+bx+c,又結(jié)合表格數(shù)據(jù)可得,

fc=l.6,a=-0.2,

■\a+b+c=2.2,

<b=0.8,：.h=-0.2X2+0.8X+1.6.

[4a+2b+c=2.4[c=l.6,

又設(shè)一次函數(shù)為x=kt+n,

.6=0，.\k=2,

U0.5*+n=l/,U=0；/.一次函數(shù)解析式為X=2t；

(2)由題意，:h=-0.2x2+0.8x+1.6=-0.2(x-2)2+2.4,

又-0.2<0,當(dāng)x=2時(shí),h的最大值為2.4m.

將x=2代入x=2廠得t=l.???小球被拋出后1s達(dá)到最高點(diǎn),且最大高度為2.4m;

(3)由題意,0.6=-0.2%2+0.8%+16解得x=5或x=-l(舍去).

VOA=5,此時(shí)小球剛好落在CD上.又x=2t,:.2t=5.At=2.5.

，?,小球落在移動(dòng)的CD上,，移動(dòng)的距離<AB=0.5,???移動(dòng)的最大速度v=AB：2.5=0.2(m/s).

0<v<0.2m/s.

拋物線形問題3實(shí)物距離計(jì)算

典例精講

【例】如圖1,有兩根相距10m且等長的立柱AB,CD垂直立于水平地面上，在AB,CD間拉起一根晾衣

繩，其形狀可近似看成拋物線y=^-x2+bx+c,已知繩子最低點(diǎn)距離地面:皿以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BD為

NU4

X軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

⑴求立柱AB的長度；

⑵一段時(shí)間后，繩子被神長，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段BD之間與AB相距4m的地方加

上一根立柱MN撐起繩子這時(shí)立柱左側(cè)的拋物線Fi也是1m，如圖2

所示，求MN的長.Dx

解:(1)由題意，得y=/0-5)2+：=如2一1+3,令x=0得至I」y=3,.1.AB=3m;

(2)設(shè)拋物線Fi的解析式為y=a(x—3)2+2很3=a(0—3)2+2,解得a=*

[y=[(x-3尸+2,當(dāng)x=4時(shí),y=-^-,MN=￡m.

典題精練

(2024洪山區(qū))一個(gè)瓷碗的截面圖如圖1所示，碗體DEC呈拋物線狀(碗體厚度不計(jì)),點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn),

碗底高EF=lcm,碗底寬AB=2百m,當(dāng)瓷碗中裝滿面湯時(shí)，液面寬CD=8V5cm,此時(shí)面湯最大深度EG=6cm以F

為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線EF為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)直接寫出圖2中拋物線的解析式為y=：/+1；

(2)倒出部分面湯后，其液面下降了1.5cm至線段MN處，試求此時(shí)液面MN的寬度；

(3)將瓷碗繞點(diǎn)B緩緩傾斜倒出部分面湯，如圖3,當(dāng)/ABK=30。時(shí)停止，此時(shí)液面CH的寬度為|—

_2_cm；碗內(nèi)面湯的最大深度是______1_____________________________________Lcm.

DGC

AFBAF\B

圖1圖2圖3

解:⑴由題意知:F(0,0),E(0,l),C(4V3,7),D(-4V3,7),

???可設(shè)拋物線的解析式為y=a/+1,則7=a(4g)2+1,解得。="拋物線的解析式為y=*+1;

(2)，?,液面下降了1.5cm,???此時(shí)液面距碗底距離為7-1.5=5.5(cm),BPy=5.5,當(dāng)y=5.5時(shí)+1=5.5,解得=

O

~6,X2=6,...液面MN的寬度為12cm;y]

⑶如圖，以F為原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)CH與y軸交于點(diǎn)s,則KS

=CK-tan30°=4V3X—=4,；.S(0,3),，可求得直線CH的解析式為y=—x+3,-x2+1x

+3,由CH=2.設(shè)P/+1)為CH下方拋物線上一

點(diǎn)過點(diǎn)P作PMLCH于點(diǎn)M,PQ〃y軸交CH于點(diǎn)Q則Qt+3),PQ=果+3-對(duì)一i=一如+f匕

\3/3oo3

+2,

2

由SAPHC=Ex*PM=X4,+W)?(—爭+2)得PM=—W)+手S竽,二碗內(nèi)面湯的

最大深度為竽on.

拋物線形問題4雙拋物線形路徑求參

典例精講

【例】(2024江漢區(qū))有一臺(tái)乒乓球桌和自動(dòng)發(fā)球機(jī)如圖1所示，其側(cè)面示意圖如圖2,發(fā)球機(jī)出口P到桌面

MN的距離MP=a.現(xiàn)以點(diǎn)M為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，x(dm)表示球與點(diǎn)M之間的水

平距離，y(dm)表示球到桌面的高度.在“直發(fā)式”和“間發(fā)式”兩種模式下，球的運(yùn)動(dòng)軌跡均近似為拋物線，“直發(fā)式”

模式下，球從P處發(fā)出，落到桌面A處，其解析式為y=-^(x-10)2+6;“間發(fā)式”模式下，球從P處發(fā)出，

先落在桌面B處，再從B處彈起落到桌面C處.兩種模式皆在同一高度發(fā)球，PB段拋物線可以看作是由PA段拋

物線向左平移得到.

⑴當(dāng)a=4時(shí).

①求b的值;②求點(diǎn)A,B之間的距離：

⑵已知BC段拋物線的最大高度為M,且它的形狀與PA段拋物線相同.若落點(diǎn)C恰好與落點(diǎn)A重合，求

a的值.

解:⑴①由題意，知P(0,4),4=-蒙0-10)2+瓦解得b=6;

②由o二一表-io)2+6,解得%=10+10由(舍負(fù)),4(10+10V3-0).

又由題意可得“間發(fā)式”模式的解析式為y=-^(%-10+m)2+

該拋物線經(jīng)過P(0,4),4=-2(0-10+小產(chǎn)+6.解得m=20.

答:點(diǎn)A,B之間的距離為20dm;

(2)：拋物線y=—表?！?0)2+b的對(duì)稱軸是直線x=10.

.?.點(diǎn)P(0,a)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為Q(20,a).AAB=PQ=20.

設(shè)C(m,0),貝UBC段拋物線的解析式為y=-^(x-m+10)2+

0=-^(m-m+10)2+多解得b=4把P(O,a)代入y=-^(x-10)2+4,

得u=-----(0-10)2+4—2,a—2.

典題精練

（2024武昌區(qū)）甲，乙兩人訓(xùn)練打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺(tái)的中軸線運(yùn)動(dòng).如圖為從側(cè)面看乒乓球臺(tái)的視圖，M

N為球臺(tái)，EF為球網(wǎng)，點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，MN=274cm,EF=15.25c犯甲從M正上方的A處擊中球完成發(fā)

球，球沿直線撞擊球臺(tái)上的B處再彈起到另一側(cè)的C處，從C處再次彈起到P,乙再接球.以M為原點(diǎn),MN所

在直線為x軸，MA所在直線為y軸，1cm為單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，將乒乓球看成點(diǎn)，兩次彈起的路徑均

為拋物線且形狀不變，BC段拋物線的解析式為為=-擊（久-m）（x-m-120）,CP段的解析式為％=膜”

—+k.

（1）當(dāng)球在球網(wǎng)左側(cè)距球網(wǎng)17cm時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，求yi的解析式；

⑵若球從B處彈起至最高點(diǎn)后的下落過程中，球剛好擦過球網(wǎng)EF,視為網(wǎng)球重發(fā)，求m的值；

⑶若球第二次的落點(diǎn)C在球網(wǎng)右側(cè)53cm處，球再次彈起最高為12.5cm,乙的球拍（看作線段GH）在N的正

上方8cm處，GH=15cm.若將球拍向前水平推出n（cm）可接住球（不包括球剛好碰到邊沿點(diǎn)G,H）,求出n的取值范

圍.

y/cm

A

甲乙

尸1、一

MBECN.Vcin

解:(1)令=(X得x1—m,x2=m+120,

m+60=137-17=120,,解得m=60,

;為=一嘉("-60)(久-180);

(2)由題意，得一白(137—小)x(17-m)=15.25,解得=77—5422,m2=77+5V22,Vm+60<137,gPm

<77,：.m=77-5V22;

(3)由題意可知，CP段拋物線的解析式為%=一擊0-八尸+12.5,HC(190,0),

.一肅X(190-h)2+12.5=0,解得h=140(舍去)或h=240,

由—肅(“-240)2+12.5=8,解得%!=210,K2=270,

/.n的最小值為274-270=4(cm),n的最大值為274-210=64(cm),；.4<n<64.

拋物線形問題5路徑距離分析

典例精講

【例】（2024湖北模擬）某次軍訓(xùn)I中，借助小山坡的有利地勢(shì)，優(yōu)秀學(xué)員小華在教官的指導(dǎo)下用手榴彈（模擬手

榴彈）進(jìn)行一次試投：如圖所示，把小華投出的手榴彈的運(yùn)行路線看成一條開口向下的拋物線，拋物線過原點(diǎn)，手榴

彈飛行的最大高度為10米，此時(shí)它的水平飛行距離為20米，山坡OA的坡度為1：5,坡頂A處的水平距離OB

為30米.

⑴求這條拋物線的解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）小華投出的手榴彈能否越過坡頂A?請(qǐng)說明理由；

⑶若AC=10米,斜坡AC上趴著幾位“敵軍”同學(xué)，手榴彈落地后會(huì)爆炸，爆炸后距落地點(diǎn)1.5米范圍內(nèi)會(huì)受波

及，問手榴彈落地爆炸后是否會(huì)波及斜坡AC?請(qǐng)說明理由.

解：（1）由題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-20）2+10；

把（0。）代入得（0=a（0-20）2+io,解得a=—表

,拋物線的解析式為y=-去（久一20尸+10=—2,+x；

4U4U

（2）小華投出的手榴彈能越過坡頂A.理由：

當(dāng)x=30時(shí),y=x900+30=7.5.

:山坡OA的坡度為1:5,OB=30米,，AB=6米，

V7.5>6，，小華投出的手榴彈能越過坡頂A；

(3)手榴彈落地爆炸后不會(huì)波及斜坡AC.理由：由-去久2+x=0,解得勺=0,犯=40.

4U

VAB=6米,AC=10米，:BC=>JAC2-AB2=8(米),.?.OC=OB+BC=38(米).

：40-1.5=38.5>38,...手榴彈落地爆炸后不會(huì)波及斜坡AC.

典題精練

(2023江岸區(qū))鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測(cè)球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖分別為足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測(cè)畫

面(如圖1)和截面示意圖(如圖2)，攻方球員位于點(diǎn)O,守門員位于點(diǎn)A,OA的延長線與球門線交于點(diǎn)B,且點(diǎn)A,

B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線，已知OB=28m,AB=8m,足球飛行的水平速度為15m/s,

水平距離s(水平距離=水平速度x時(shí)間)與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如表：

s/m912151821

h/m4.24.854.84.2

(1)假如沒有守門員，根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，S=_30m;

(2)求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；

(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應(yīng)，當(dāng)守門員位于足球正下方時(shí)，足球離地高度不大于守門員的最大

防守高度視為防守成功.已知守門員背對(duì)足球向球門前進(jìn)過程中最大防守高度為1.8m,若守門員背對(duì)足球向球門前

進(jìn)并成功防守，求此過程守門員的最小速度.

OAB

圖1圖2

解：(1)由表格可知，拋物線關(guān)于s=15對(duì)稱，：當(dāng)s=0時(shí)h=0,；.s=30時(shí),h=0;

(2)由⑴知拋物線關(guān)于s=15對(duì)稱，設(shè)h=a(s—15)2+5,把(12,4.8)代入得a(12-15)2+5=4.8,解得a=

-----,h=-----(s—]5)2+5;

4545、'

(3)若守門員背對(duì)足球向球門前進(jìn)并成功防守，設(shè)守門員的速度為vm/s,且ts時(shí)，足球位于守門員正上方，則有

15t=28-(8-vt),

解得t=谷,s=15?苔=普，代入上述解析式，

可得h=（黑;-15）+5=1.8解得v=器或v=-85（舍）.

，此過程守門員的最小速度為^m/s.

拋物線形問題6路徑高度分析

典例精講

【例】（2023武漢中考）某課外科技活動(dòng)小組研制了一種航模飛機(jī)，通過實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛

行水平距離x（單位：m）、飛行高度y（單位：m）隨飛行時(shí)間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)如表.

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】x與t,y與t之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述.直接寫出x關(guān)于t的函數(shù)解析式

和y關(guān)于t的函數(shù)解析式；（不要求寫出自變量的取值范圍）

飛行時(shí)間t/s02468

飛行水平距離x/m010203040

飛行高度y/m022405464

（2）【問題解決】如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上A處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛該航模飛機(jī).根據(jù)

上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題.

①若發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為0m,求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離；

②在安全線上設(shè)置回收區(qū)域MN,AM=125m,MN=5m.若飛機(jī)落到MN內(nèi)（不包括端點(diǎn)M,N）,求發(fā)射平臺(tái)相

對(duì)于安全線的高度的變化范圍.

解：（l）x==-號(hào)/+"力

2

（2）①依題意彳導(dǎo)-jt+12t=0,解得h=0（舍），t2=24,當(dāng)t=24時(shí),x=12/7

水平安全線

AMN

答：飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離為120m；

②設(shè)發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為nm,則飛機(jī)相對(duì)于安全線的飛行高度V=-卜2+i2t+n>

V125<x<130,A125<5t<130,25<t<26.

在yz=—|t2+12t+n中，當(dāng)t=25,y'=0時(shí),n=12.5;當(dāng)t=26,y'=0時(shí),n=26,12,5<n<26.

答：發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度的變化范圍是大于12.5m且小于26m.

典題精練

(2023東湖高新區(qū))如圖1,BC為地面,AB,AC為一個(gè)小山坡，它的高度OA為10米，坡比都為1：2，在坡頂有一

個(gè)自動(dòng)澆灌裝置(其高度忽略不計(jì))，它噴出的水柱呈拋物線形狀，現(xiàn)只考慮右側(cè)山坡，建立如圖2所示的平面直角

坐標(biāo)系，已知水柱在與OA的水平距離為6米處達(dá)到最高，且距地面的最高距離為13米.

⑴求拋物線的解析式；

(2)求水柱澆灌的最遠(yuǎn)點(diǎn)G離地面的高度；

⑶如果給澆灌裝置安裝一個(gè)支架，則可以使水柱覆蓋整個(gè)山坡，問澆灌裝置還要升高多少米，才能使水柱覆蓋

整個(gè)山坡？

解：⑴根據(jù)題意知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,13)，，可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-6￥+13把A(0,10)代入

得36a+13=l。,解得a=

拋物線的解析式為y=-行(久一6尸+13;

⑵：坡比為1:2,OB=2OA=20,/.B(20,0),

設(shè)直線AB的解析式為內(nèi)+m廁加鼠鼠解得上諭

1y~-----(%—6)+13,丫=n丫=1a