2025年中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破：隱圓問題

2025年中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破：隱圓問題專練

1.如圖1,MBC與△語(yǔ)都是等邊三角形，邊長(zhǎng)分別為4和百，連接FC.AD為AABC高，連接CE,N為CE的中

點(diǎn).

(1)求證：tACFstABE；

(2)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，如圖2,EF與AC交于點(diǎn)G,連接NG,求線段NG的長(zhǎng)；

(3)連接BN,在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，求EN的最大值.

2.如圖，在正方形的CD中，點(diǎn)E在直線AD右側(cè)，且AE=1,以DE為邊作正方形DEFG,射線DF與邊BC交于點(diǎn)

M,連接ME、MG.

⑴如圖1,求證：ME=MG-

⑵若正方形ABC?的邊長(zhǎng)為4,

①如圖2,當(dāng)G、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)N,求翳的值；

EM

②如圖3,取5中點(diǎn)P,連接PF,求PF長(zhǎng)度的最大值.

3.定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在RtZXABC中，ZA=90。,AB=AC,點(diǎn)D、E分別

在邊AB、AC上，AD=AE,連接DE、DC,點(diǎn)、M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，且連接ftW、PN.

圖1圖2

(1)觀察猜想

線段?”與尸N填(“是”或“不是”)“等垂線段”.

(2)VADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接BD,CE,試判斷加與PN是否為“等垂線段”，并說

明理由.

(3)拓展延伸

把VA￡>E繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若DE=2,BC=4,請(qǐng)直接寫出戶”與PN的積的最大值.

4.(1)如圖1,等邊V43c的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AP,則AD長(zhǎng)的最小值是;

(2)如圖2,已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16,面積為8囪，E為AB中點(diǎn),若尸為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，。為AD邊

上一動(dòng)點(diǎn)，計(jì)算EP+PQ的最小值：

(3)如圖3,已知在四邊形ABCD中，ABAD=15°,ZABC=ZADC=90°,AB=BC=4?,E為CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,過點(diǎn)。作垂足為點(diǎn)尸，在AF上截取FP=FD.試問在四邊形的CD內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得APBC的

面積最??？若存在，請(qǐng)你在圖中畫出點(diǎn)P的位置，并求出△NC的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5.已知，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形0ABC,“為線段。C上的動(dòng)點(diǎn)，將“31沿直線,對(duì)折,

(1)如圖①，當(dāng)4MM=300時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖②，連接CO，，當(dāng)CO’IIAM時(shí).

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②連接。8,求"O加與VAOB重疊部分的面積；

(3)當(dāng)點(diǎn)M在線段0c(不包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段co,的取值范圍.

6.1.問題發(fā)現(xiàn)

圖(1),在△OAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=35°,連接AC,BD交于點(diǎn)

①5的值為；②-的度數(shù)為.

DU

(2)類比探究

圖(2),在△OAN和△08中，ZAOB=NCOD=90。,ZOAB=ZOCD=30°f連接AC,交班)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)請(qǐng)計(jì)算黑的

值及ZAMB的度數(shù)；

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，若8=2,AB=S,將AOCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周.

①當(dāng)直線DC經(jīng)過點(diǎn)B且點(diǎn)C在線段BD上時(shí)，求AC的長(zhǎng)；

②請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中M點(diǎn)到直線。B距離的最大值.

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

A

7.如圖，圓。為RtAABC的外接圓,ZACB=90。，BC=4g,AC=4,點(diǎn)。是圓。上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C、￡)分別位于AE

(1)求圓0的半徑;

(2)當(dāng)8=4夜時(shí)，求ZACD的度數(shù);

(3)設(shè)AD的中點(diǎn)為在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，線段C”的最大值為一

8.如圖1,在V"C中，^ACB=90°,AC=BC=A/5,以點(diǎn)8為圓心，以應(yīng)為半徑作圓.

(1)設(shè)點(diǎn)尸為。B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段8,連接DA,DB,PB,如圖2,求

證：AD=BP-

⑵在(1)的條件下，若NCPB=135。，求BD的長(zhǎng);

⑶在(1)的條件下，當(dāng)"BC=。時(shí)，BD有最大值，且最大值為.；當(dāng)NPBC=。時(shí)，5。有最小

值，且最小值為

9.如圖①，在等腰府△鉆。和等腰心△班組中，ZBAC=ZBDE=90°fAB=AC,BD=DE,E為5。的中點(diǎn)，P為C石的中

點(diǎn)，連接”，DF,AD.

圖③

⑴若AB=4,求A￡)的長(zhǎng)度;

(2)若將VBDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請(qǐng)證明AF=DF,AF1DF;

(3)如圖③，在VBDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中，再將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AACF,連接B尸，若4?=4,請(qǐng)直

接寫出B尸的最大值.

10.在VMC中，ZACB=90°,CA=2CB.將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。落在A8的延長(zhǎng)線上時(shí),過點(diǎn)。作DE1AD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若BC=2,求OE的長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),連接AD,過點(diǎn)C作CF_LAB于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)E,連接

BE,求證：AB=CE+BE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將△ACF沿AC翻折得到AAC尸，V為直線4。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接將ABD”沿

翻折得到△BUD.當(dāng)。尸最小時(shí)，直接寫出售的值.

rr

II.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長(zhǎng)為2的?O,點(diǎn)尸在圓弧AB上以2倍速度從8向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在

圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P,O,。三點(diǎn)處于同一條直線時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).

(1)求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度；

(2)若M為弦PB的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)過程中CM的最大值.

12.如圖，在△ABC和△DE■尸中，ZBAC=ZEDF=9ff,AB=AC,DE=DF,BC、EF交于點(diǎn)M,且點(diǎn)M為BC、

EF■的中點(diǎn)，將△DEF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當(dāng)△DE尸旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A在尸。延長(zhǎng)線上時(shí)，若BC=30,AF=竽，tan㈤F=2,求線段8尸的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)ADEF旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A在ED延長(zhǎng)線上，求證：6AF=0BE+EF；

(3)如圖3,在4OEF旋轉(zhuǎn)過程中，直線A。與直線CT交于點(diǎn)N,連接BMP為8N的中點(diǎn)，連接AP,若AB=6夜,

請(qǐng)直接寫出線段AP的最大值.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

13.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)》=/+版+'的圖像過點(diǎn)。(0,~4)和點(diǎn)。(2,4),與X軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)

B的左邊)，且點(diǎn)。與點(diǎn)G關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.

(1)求該二次函數(shù)解析式，并判斷點(diǎn)G是否在此函數(shù)的圖像上，并說明理由；

(2)若點(diǎn)尸為此拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于無軸，y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為V,N,問是否存在這樣的P點(diǎn)使得V,N恰

好都在直線DG上？如存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，如不存在，并說明理由；

⑶若第四象限有一動(dòng)點(diǎn)E,滿足BE=OB,過E作EF_Lx軸于點(diǎn)F,設(shè)尸坐標(biāo)為(刈，0＜，＜4,ABEF的內(nèi)心為/,

連接C/,直接寫出C/的最小值.

14.如圖，拋物線y=，-2群-3a(a為常數(shù)，。＜0)與無軸分別交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸

交于點(diǎn)C,SLOB=OC.

⑴求。的值；

(2)點(diǎn)。是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)尸(加，n)是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接3D、BC、CD、BP,

當(dāng)時(shí)，求機(jī)的值；

(3)點(diǎn)K為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，￡＞K=2,點(diǎn)M為線段BK的中點(diǎn)，連接AM,當(dāng)AM最大時(shí)，求點(diǎn)K的坐標(biāo).

15.【問題背景】如圖1,尸是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAPB=150°,則^^+尸中二尸3.小剛為了證明這個(gè)結(jié)論，

將4^B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，請(qǐng)幫助小剛完成輔助線的作圖；

【遷移應(yīng)用】如圖2,D是等邊△ABC外一點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，AD//BE,ZBEC=120°,求證：△DBE是

等邊三角形；

【拓展創(chuàng)新】如圖3,EF=6,點(diǎn)C為EF的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線

AE.BF交于■點(diǎn)、P,M為尸G的中點(diǎn)，E尸上FG于F,FG=40,請(qǐng)直接寫出MC的最小值.

A

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

《2025年中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破：隱圓問題專練》參考答案

1.⑴見解析

Q)NG=：幣；

(3)班的最大值|6.

【分析】(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可；

(2)證明4c垂直平分線段EF,推出CE=CF,利用勾股定理求出CE,再利用三角形中位線定理求出NG；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，BN<BH+HN,BNV：6而且當(dāng)點(diǎn)H在線段BN上時(shí)，BN可以取到最大值.

【詳解】(1)證明：YAABC與△碼都是等邊三角形，

AZBAC=ZEAF=60°,AE=AF,AB=ACf

ZBAE=ZCAF,

在AAB石和AACF中,

AB=AC

<ZBAE=ZCAF,

AE=AF

：.^ABE=,ACF(SAS)；

(2)解：AZ)為等邊△ABC的高，

DC=-BC=2,ADAC=-ABAC=,

22

AD=y/AC2-DC2=742-22=273,

*.*AE=AF,ZEAG=ZFAG=3Q°,

：.ACLEF,EG=FGf即G為E尸的中點(diǎn)，

，CE=CF,

AE=6,

DE=24-6=6,

??￡c=J(Gy+22=幣,

CF=CE=幣,

?.?N為c石的中點(diǎn)，

NG=-CF=-y/7.

22'

(3)解：如圖，取AC的中點(diǎn)H,連接BH,NH.

??,B”為等邊△ABC的中線,

BH±ACf

答案第1頁(yè)，共30頁(yè)

由(2)同理可得BE=26,

為CE的中點(diǎn)，

NH是AACE的中位線，

/.NH=LAE=L6,

22

在旋轉(zhuǎn)過程中，BNSBH+HN,

BN竦④而且當(dāng)點(diǎn)H在線段BN上時(shí)，BN可以取到最大值，

?'?BN的最大值

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分

線的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決

問題.

2.⑴見解析

(2)①瞿=；,②當(dāng)P、B、尸三點(diǎn)共線時(shí)，P尸有最大值為26+0

【分析】(1)對(duì)角線DF是正方形DEFG的對(duì)稱軸，即可得ME=MG；

(2)①當(dāng)G、C、M三點(diǎn)共線時(shí)，根據(jù)A/MEMADCG,ADCGS4GFN,AAWFSAMGD進(jìn)而即可求得需的值；

②連接證明AADESABDF,求出相似比，求出BF=應(yīng)，當(dāng)尸、B、尸三點(diǎn)共線時(shí)，即可求出最大值.

【詳解】(1)如圖1,

圖1

對(duì)角線OF是正方形DEFG的對(duì)稱軸,

ME=MG-

①當(dāng)G、C、M三點(diǎn)共線時(shí),

VAD=DCfDE=DG

/.△ZME%DCG(HL),

?:?NGFIDGC90?,

2GDCIDGC90?,

?NGF1GDC,

答案第2頁(yè)，共30頁(yè)

又?。縂DCGFN,

：.△DCGS^GEV,

又?：/sMNFs^MGD,DG=GFf

.MNMNNFNF_AE

**St7-MG-DG-GF-AD_4'

圖3

..AD_\DE1

?茄一方一忑,

ZADE+ZEDB=ZBDF+ZEDF=45°

/\ADEs/\BDF,

?BF_BD41

99~AE~~AD~~T9

*.*AE=1,

BF=41;

在RLABP中，

BP=20

當(dāng)P、B、尸三點(diǎn)共線時(shí)，

P尸有最大值：2君+0.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.(1)是

⑵是，答案見解析

⑶今9

【分析】(1)根據(jù)中位線的性質(zhì)以及"=4C,AD=AE,可得MP=PN,由中位線性質(zhì)可得MP〃EC,PN//BD,再

由NB=ZACB=45。結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證3/?+"川=45。-"0+45。+4>03=90。，故線段/>”與卯是“等垂線段”.

(2)先證△ABZ標(biāo)△ACE(SAS),可得BD=CE,根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MP=：EC,PN=：BD,即MP=PN；由中位線

性質(zhì)可得“P//EC,PN//BD,再由^/原:=〃8=45。結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證ZMPD+NDPN=90。，故線段PM與PN是

“等垂線段”.

(3)由(2)可知，MP=PN,MPVPN,故PM*PN=P"=竿，當(dāng)”N取最大值時(shí)，與PN的積有最大值.當(dāng)

N、A、M三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A在NM之間時(shí)，MN取最大值.此時(shí)=+最后根據(jù)已知條件，計(jì)算出最大

值即可.

【詳解】(1)解：線段P”與PN是“等垂線段”.

理由如下：

:點(diǎn)/、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，

答案第3頁(yè)，共30頁(yè)

/.MP=-EC,PN=-BD.

22

VAB=ACfAD=AE,

AB-AD=AC-AEf

即應(yīng)＞=CE,

MP=PN.

???點(diǎn)M、P、N分別為D石、DC.BC的中點(diǎn)，

，MP//EC,PN//BD,

在RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,

ZB=ZACB=45°f

ZACD=45°-ZDCB,NBDC=180?！狽B—ZDCB=135?！猌DCB,

丁MP//EC,PN//BD,

：.ZMPD=ZACD=45°-ADCB,ZDPN=180°-ZBDC=180°-(135°-ZDCB)=45°+ZDCB,

AMPD+ZDPN=45°-ZDCB+45°+ZDCB=90°,

:.MPLPN,即線段PM與尸N是“等垂線段”，

故答案為：是.

(2)解：線段尸M與PN是“等垂線段”，理由如下：

???v的繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，

AD=AEfNZME=90°,

?；ABAC=90°,

，ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAEf

在△ABD與AlC石中，

AB=AC

V\ZBAD=ZCAE,

DA=EA

△ABD^AACE(SAS),

I.BD=CE,

???點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、8C的中點(diǎn)，

MP=-EC.PN=-BD,

22

;BD=CE,

MP=PN.

???點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、8C的中點(diǎn)，

MP//EC,PN//BD,

?.?在RtAABC中，"AC=90。，AB=ACf

答案第4頁(yè)，共30頁(yè)

ZABC=ZACB=45°,

...ZACD=45°-ZDCB,ZDBC=45°-ZABDf

ZBDC=180°-ZDBC-ZDCB=180°-(45°-ZABD)-ZDCB=135°+ZABD-ZDCB

MP//EC,PN//BD,

ZMPD=ZECD=ZECA+ZACD,

*：匕△ACE(SAS),

/.ZABD=ZACEf

即ZMPD=ZECD=ZABD+ZACD

ZDPN=180°-ZBDC=180°-(135°+ZABD-ZDCB)=45°-ZABD+ZDCB,

ZMPD+ZDPN=ZABD+ZACD+45°-ZABD+ZDCB=45°+45°=90°,

：.MPVPN.

?:MP=PN,MPVPN.

故線段.與PN是“等垂線段”.

(3)解：由(2)可知，MP=PN,MPVPN,

故PMxPN=PM'=^~,

當(dāng)"N取最大值時(shí)，9與PN的積有最大值.

?.?把VADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，

:.當(dāng)N、A、7W三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A在MW之間時(shí)，

"N取最大值.

此時(shí)跖V=NA+AM.

,在Rt/XABC中，ZBAC=90-,AB=AC,BC=4,N為BC的中點(diǎn)，

NA=』BC=2,

同理可得，MA=；DE=1,

的最大值為3,戶”與PN的積有最大值g.

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)及運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及圖形動(dòng)態(tài)問題，綜合運(yùn)用以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

4.(1)75；(2)273；(3)存在，見解析，16-4百

【分析】(1)根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，線段AC的值最小，再根據(jù)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,確定高

AD=S,從而得出結(jié)論；

(2)如圖2中，作A//_LBC于H,在DC上截取D0=D。，連接AC,EC.首先證明VABC是等邊三角形，證

明APDQ峪可得P°=P0,推出PE+PQ=PE+P0,再根據(jù)垂線段最短即可解決問題.

(3)存在，如圖3中，以AO為斜邊在直線的的下方作等腰直角AAOO,作。M_LBC于M,ANLOM于N,連接

AC,PD.證明點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是AD,當(dāng)點(diǎn)尸在線段。用上時(shí)，的值最小，此時(shí)△PBC的面積最小.

答案第5頁(yè)，共30頁(yè)

【詳解】解：(1)如圖1中，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AD4BC時(shí)，線段AD的值最小,

VA3C是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,

NABC的圖AD=-\/3,

A。的最小值為6.

故答案為：0

(2)如圖2中，作AH_L3C于“，在上截取連接PQ',AC,EC.

圖2

???四邊形A5C。是菱形，周長(zhǎng)為16,

/.AB=BC=4fNQDP=NQDP,

S奏形ABCD=BC?AH,

：.AH=—=2y/3,

4

??sin/ABH=--=—,

AB2

ZABH=60°,

???VA3C是等邊三角形，

*.*AE=EB,

/.EC上AB,

■:DQ=DQ,/PDQ=/PDQ,DP=DP,

f

...APDQ^APD0(SAS),

JPQ=PQ',

：.PE+PQ=PE+PQ,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)E，p，Q'共線，且點(diǎn)。'與c重合時(shí),

PE+P。的值最小，最小值=EC=AH=2C.

.?.EP+PQ的最小值為2石.

(3)存在，理由如下：

如圖3中，以5為斜邊在直線AD的下方作等腰直角AAP。，

作。M_LBC于M,ANLOM于■N,連接AC,PD.

答案第6頁(yè)，共30頁(yè)

圖3

?:BA=BC=4應(yīng),ZABC=90°f

AC=y/2AB=3fZBAC=45。，

*.*ZBAD=75°,

I.ZCAD=3O09

AD=AC*cos30°=4出,

???△ADO是等腰直角三角形，

??OA-OD-2\[bf

?二ZABM=ZNMB=ZANM=90°,

???四邊形是矩形，

:?AB=MN=4近,/BAN=90。，

，ZC^V=75o+45o-90o=30°,

ON=^OA=46f

OM=指+4近,

VDF.LAE,FP=FD,

，ZFPD=45°,

ZAPD=135°,

，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是AO,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，的值最小，此時(shí)△P3C的面積最小，

此時(shí)PM=OM—OP=^+40—2#=4&—",

△PBC的面積的最小值《的尸加二泊&卜/一伺=16一4招.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，垂線段最短，矩形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.

5.(1)(3?3)

(2)①“(3.0)；②苧

⑶6亞-6WCOY60+6

【分析】(1)連接。。‘，交AM于。，過。作OW_LOC于N,根據(jù)翻折證明AOA。是等邊三角形，即可求解；

答案第7頁(yè)，共30頁(yè)

(2)根據(jù)翻折性質(zhì)和c?！籄M即可求出；②連接OB,交3于Q,交A。于P,過Q作。D||OA,交AO,于。，作

OC4OE于E,設(shè)CE=x,根據(jù)勾股定理可求出，用待定系數(shù)法求出AM,OB的解析式，即可求出。點(diǎn)坐標(biāo)，從

而求出答案；

(3)連接AC,由對(duì)折可知，AO=AO,利用三角形三邊關(guān)系可得C。,最小值，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接。。，交AM于Q,過。作OW_LOC于N,

由對(duì)折可得：AO=AO=6,OM=OM,ZOAM=30°=AM,

/.OOJ.AM,OQ=OQ

ZOAO=60°,△04。是等邊三角形,

??OO=AO=6,

ZAOM=90°,

/.^OMQ=90°-30°=60°,

*.*AMJ.OOf

/.NOON=30。，

/.O'N=^OO'=3fON=6ON=3百,

?！?36,3)；

(2)解：①?.?CO』AM,

ZAMO=NMCO；ZAMO=NMOC,

*.?/AMO=NAMO

/.NMCO=ZMO'C,

MC=MO'

，MC=MO=OM=3f

：.”(3,0)；

解：②如圖，連接03,交AM于Q,交AO于P,過。作Q0Q,交AO于。，作。C1OZ于瓦

由①得：tan^AMO=——=2=tan^OCE=——,

OMCE

設(shè)CE=x,貝(JM石=3—%,OE=2%,

/.32=(3-X)2+(2X)2,

答案第8頁(yè)，共30頁(yè)

?6

..x=-,

,1224

OE=2x=—,OE=6-x=—f

A(0,6),

設(shè)AO的函數(shù)解析式為y=kx+bf

24,,12

ritk+b=—

貝I155,

b=6

??左=-“

3

...AO:y=--x+6,

同理可得：赦的函數(shù)解析式為k-2%+6,。5的函數(shù)解析式為，=%,

y=—2x+6

y=x

x=2

y=2

即0(2,2),

3-9

x=2,y=——x2+6=—

DD42

即Q(2§),

同理可得：P(y,y),

A30

SAAQP2|-2

T

AAO加與VAOB重疊部分面積為岑；

由對(duì)折可知，AO=AOf如圖,

CO>AC-AO',

當(dāng)O,。重合時(shí)，。。’取得最小值,

此時(shí)AC=162+62=6"AO=AO=6f

??CO=6-\/2—6，

I.co'的取值范圍是：6A/2-6<CO<672+6;

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函

數(shù)，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，利用函數(shù)解析式求出點(diǎn)尸、。、。的坐

標(biāo)是解決問題(2)的關(guān)鍵.

6.(1)①1;②35。；(2)41=萬，ZAMB=90P-(3)①AC的長(zhǎng)為6+回；②M點(diǎn)到直線。8距離的最大值為26

DL)

【分析】(1)直接根據(jù)兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰三角形證明%bOD(SAS),可以證明NO6D=NOAC,最后在△OF3和

答案第9頁(yè)，共30頁(yè)

△A/性中導(dǎo)角直接可以求解.

(2)改變?nèi)切谓Y(jié)構(gòu)，直接通過判定AAOC和ABOD相似，同樣可以用第一問的方式證明NOBD=NCMC,根據(jù)相

似比，求線段比例，最后在△3?和AME4中導(dǎo)角直接可以求解ZAMB的度數(shù).

(3)深度理解題意，本質(zhì)上問的就是當(dāng)8,C,D,三點(diǎn)共線時(shí)，求DB的長(zhǎng)，在利用ADOBSKOA,對(duì)應(yīng)邊成比

例求AC的長(zhǎng)，最值的求解，先找到點(diǎn)”和點(diǎn)。的軌跡，可以發(fā)現(xiàn)是在兩個(gè)圓弧上運(yùn)動(dòng)，再利用4WB。最大時(shí),

則M點(diǎn)到直線。B距離的最大，直接求解即可.

【詳解】(1)ZAOB=ZCOD=35°,

ZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

，ZCOA=ZDOBf

X*->OA=OB,OC=OD,

：.^AOC^^BOD(SAS),

AC=BDf

?AC1

??訪y

故答案為：1;

②設(shè)AO與即交于點(diǎn)尸，

由①知，*0%^0口,

ZCAO=ZDBO,

ZAOB+ZDBO=ZDFO,

ZAMB+ZCAO=ZDFO,

/.ZAOB=ZAMB=35°f

故答案為：35。；

(2)如下圖，在△046和△08中，設(shè)A。與5￡)交于點(diǎn)E；

ZAOB=/COD=90°,AOAB=ZOCD=30°,

???tan30。、"=絲=旦

COOA3

VZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

即ZDOB^ZCOA,

GOBs衛(wèi)OA,

=>^,ZDBO=ZCAO,

BDOD''

ZDBO+ZOEB=90°,NOEB=ZMEA,

ZC4O+ZAffi4=90°,

答案第10頁(yè)，共30頁(yè)

ZAMB=90°,

(3)①如下圖所示，當(dāng)直線。。經(jīng)過點(diǎn)8且點(diǎn)C在線段加上時(shí);

在△OD5中，ZD=60°,0B=1AB=4；

過點(diǎn)。作班)的垂線，垂足為H;

..OHVBD-

*.*ZZ)=60°；

/DOH=30。；

HD=\,"0=6;

在心△0H3中，由勾股定理得;

BH=4B61-OH2=716-3=713；

30=舊+1;

?：QOBsmA；

②如下圖所示，:ZAA仍=90。，AB=8；

???點(diǎn)M的軌跡是圓弧，即點(diǎn)M在圓尸上運(yùn)動(dòng)，且NQIe=/。15=30。；

要想求出點(diǎn)M到直線OB的最大值，動(dòng)點(diǎn)M距離直線OB越遠(yuǎn)越好,

從下圖可以看出，點(diǎn)。的軌跡也是圓，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)極限位置取決于ZMB0的最大值;

VOD=2f03=4；

???ZMBO的最大值取得當(dāng)且僅當(dāng)8_L?時(shí);

即在2△OD3中；

21

sinZOBD=-=-

42:'

NOBD=30。；

過點(diǎn)”作。8的垂線，垂足為G；

MGVBG-

即線段GM即為所求；

答案第11頁(yè)，共30頁(yè)

在RtAMGB中；

sinZGBM=^-=--

MB2，

ZOBD=30°；

...ZMBA=60°-30°=30°；

〈AB=8；

AM=4;

MB=yl82-42=4A/3；

/.MG=-BM=2-j3.

2，

M點(diǎn)、到直線OB距離的最大值為26.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性質(zhì)綜合，特殊直角三角形為背景的相似三角形的判

定和性質(zhì)綜合，利用特殊角的三角函數(shù)解三角形，圓軌跡動(dòng)態(tài)下求線段的最值，熟練掌握手拉手模型證明三

角形全等，數(shù)量掌握相似三角形的判定，特別是兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等類的，對(duì)于求點(diǎn)到直線最值類型

要注意動(dòng)點(diǎn)的軌跡尋找和影響最值的主要因素，進(jìn)而綜合判定求解是解題的關(guān)鍵.

7.(1)。。的半徑為4

(2)ZACD=15°

(3)2百+2

【分析】本題考查了勾股定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、最短路徑問題等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)

幾何結(jié)論是解答的關(guān)鍵.

(1)由題意得筋=〃。2+3。2=8,即可求解；

(2)連接OC,OD,可推出CD?=002+002,/ocD=45。,根據(jù)4C=OC=OA,推出是等邊三角形，ZACO=60°f

即可求解；

(3)連接OM、0，可推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡以A0為直徑的圓，設(shè)圓心為J,連接C/,推出C7_LCM,求得

22

CJ=ylAC-AJ=2y/3f根據(jù)即可求解；

【詳解】(1)解：VZACB=90°,BC=^13,AC=4,

AB=YIAC2+BC2=8,

???。0的半徑為4

(2)解：如圖1中，連接oc,OD,

答案第12頁(yè)，共30頁(yè)

圖1

?:CD=4啦,OC=OD=4,

CD2=OC2+OD1,

ZCOD=90°,ZOCD=45°,

*.*AC=OC=OAf

??AAOC是等邊三角形，

I.ZACO=60°,

ZACD=ZACO-ZDCO=60°-45°=15°.

(3)解：如圖2中，連接OM，。。,

圖2

VAM=MDtOA=ODf

，OMLADf

???點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡以AO為直徑的圓，設(shè)圓心為J,

連接C/,JM.

貝|JA/=Q/=2,

AA。。是等邊三角形，

aVOA,

??CJ=\/AC2—AJ2=2上，

*：CM<CJ+JM=2^3+2,當(dāng)C、J、M共線時(shí)取等號(hào)，

.?.CM的最大值為20+2,

故答案為：273+2.

8.⑴見解析

（2）2或2a

（3）135；回45；5/10-V2

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得。=8,48=90。，進(jìn)而得到ZPC3=ZDC4,從而證明△PCBgADC4（SAS）,根據(jù)全等三角

形的對(duì)應(yīng)邊線段得證結(jié)論；

（2）分點(diǎn)尸在床的上方或下方兩種情況求解即可；

（3）連接PD,由△尸C8%DC4得到仞=8?=應(yīng)，從而點(diǎn)。在以點(diǎn)A為圓心，半徑為a的圓上.當(dāng)點(diǎn)。在班的

答案第13頁(yè)，共30頁(yè)

延長(zhǎng)線上時(shí)，B0有最大值，最大值為BD=AB+AD,根據(jù)APCB%DC4,可求得ZPBC=NDAC=135。.當(dāng)點(diǎn)。在線段AB

上時(shí)，BD有最小值，最小值為根據(jù)APCBADCA,可求得ZPBC=NB4C=45。.

【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可得3=8,ZPCD=90°,

\*ZACB=90°,

/."CD—ZBCD=ZACB—/BCD,艮flZPCB=ZDC4,

CB=CAf

APCB^ADC4（SAS）,

BP=AD.

（2）解：分兩種情況討論：

①如圖，若點(diǎn)P在BC的上方，連接。P,

,/CP=CD,ZPCD=90°,

/.△CDP是等腰直角三角形，

NCPD=NCDP=45。,

APCB^DCA,

:?AD=BP=6,,ZADC=ZBPC=135°,

ZAr>P=ZzWC+ZCDP=135o+45o=180°,

???點(diǎn)A,D,P在同一直線上，

在RtAABC中，AC=BC=4s,

??AB=\IAC2+BC2=Vio,

ZAPB=ZBPC-ZDPC=135°-45°=90°,

在Rt^ABP中,AP=JAB?-BP?=可—（可=272,

PD=AP-AD=2>/2-y/2=y/2f

：.在RtAPBD中,BD=y/BP2+PD2=/用+（忘了=2；

②如圖，若點(diǎn)P在左的下方，連接分

VZfiPC=135°,

答案第14頁(yè)，共30頁(yè)

ZCPD+ZBPC=1SO°f

?,?點(diǎn)5,P,。在同一直線上，

\*APCBADCA,

AD=BP=e,ZADC=ZBPC=\35°,

?IZADB=ZADC-ZCDP=135°-45°=90°,

在RtAABD中，BD=^AB2-AD2=了一（⑸=2&.

綜上所述，如的長(zhǎng)為2或2應(yīng).

（3）解：連接PD,

/CB'DCA,

??AD=BP=y/2,

???點(diǎn)。在以點(diǎn)A為圓心，半徑為近的圓上.

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在及的延長(zhǎng)線上時(shí)，班）有最大值，

最大值為BO=A3+AO=W+>/5，

止匕時(shí)ZCAD=180°-ZG4B=180。-45。=135°,

*.*&PCB%DCA,

ZPBC=ZZMC=135°.

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上時(shí)，瓦＞有最小值,

最小值為3O=AB-4。=何-&，

此時(shí)ZPBC=ZBAC=45°.

故答案為：135;W+&;45;回-近

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的定義,

兩點(diǎn)之間線段最短.利用全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（1）275

答案第15頁(yè)，共30頁(yè)

⑵見解析

(3)23+0+2

【分析】(1)在等腰直角三角形ABC中求出班的長(zhǎng)，在等腰直角三角形如E中求出即，再利用勾股定理求出的

即可；

(2)延長(zhǎng)AF至G,使FG=AF,連接￡G,DG,AD,先證明△ACF^^G防，從而證得△ABD2AGED,進(jìn)一步命

題得證；

(3)取8C的中點(diǎn)/,連接77,AI,將4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至A0,連接。尸，可證得△笈40之△皿，進(jìn)而得出點(diǎn)/在

以。為圓心，血為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接BO并延長(zhǎng)交。。于G,當(dāng)尸在點(diǎn)G時(shí)，5F最大，然后解用印和心△03”,

進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：在等腰用“BC中，ZBAC=90°,AB=4,AB=ACf

:.BC=4也,ZABC=45。，

?.?點(diǎn)E為3C的中點(diǎn)，

:.BE=2近,

在等腰凡中，BDE=90。,BE=2y/2fBD=DE,

:.BD=DE=2,

在應(yīng)△3DA中，?ABD90?,AB=4,BD=2,

:.AD=y/AB2+BD2=J16+4=2石；

圖1

延長(zhǎng)"至G,使FG=AF,連接石G,DG,AD,

???點(diǎn)尸是。石的中點(diǎn)，

:.EF=CF,

在AACF和AG￡F中,

CF=EF

■ZAFC=/EFG,

AF=FG

/.△ACF^AGEF（SA5）,

AC=FG,ZACF=/FEG,

:.AC//EGf

\-AB±ACf

答案第16頁(yè)，共30頁(yè)

:.EG±ABf

?.?NED3=90。，

:.^DEG=ZABDf

AC=AB,

:.EG=ABf

在△ABD和AG團(tuán)中，

AB=EG

</ABD=/GED,

BD=DE

..△ABDgAGED(SAS),

:.AD=DG,ZADB=ZEDGf

ZADB-ZBDG=NEDG-ZBDG,

:.ZADG=ZBDE=90°,

「.△4X7是等腰直角三角形，

,AF=FG,

:.DFlAFfDF=AF=^AG-

圖2

取8C的中點(diǎn)/,連接77,回，將用逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AO,連接OF,

-,AB=4,

/.BC=>/2AB=4y/2f

:.BE=-BC=2y/2.

2

???點(diǎn)/是CE的中點(diǎn)，

:.FI=-BE=42.

2

?.?/MW=440=60。，

/.ZFAF'-ZOAF=ZIAO-ZOAF,

r

:.ZFAO=ZFAIf

f

\AF=AF,AI=AOf

:.^F'AO^^FAI(SAS)f

答案第17頁(yè)，共30頁(yè)

..OF'=FI=>/2f

.??點(diǎn)尸，在以。為圓心，血為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

連接30并延長(zhǎng)交00于G,當(dāng)尸，在點(diǎn)G時(shí)，BP最大,

作于"，

在RUOHI中,ZOIH=ZAIH-ZAIO=90°-60°=30°,OI=AI=2垃,

:.OH=；OI=0,IH吟OI=R,

:.OB=\/OH2+BH2=?。?啦+府+（揚(yáng)2=2（石+1）,

/.BG=BO+OG=2s/3+y/2+2.

即叱的最大值2石+及+2.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，確定圓的條件等知識(shí)，

解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

10.⑴苧

（2）見解析

/o\>/85-5

（）8

【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出tanA=J,再由ZADE=90。，AC=CD,求得CE=CD=C4=4,AE=AC+CE=&,

最后在RA1DE中，求得DE的長(zhǎng).

（2）過D作DG_LC。交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,先證AACB名ACDG,再證ABED經(jīng)aGED,最后通過AB=CG,BE=EG,

進(jìn)行等量代換，得到結(jié)論.

（3）過尸作=K_LBC交EC延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫圓.）在以B為圓心，EC長(zhǎng)為半徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸，Dt,B三點(diǎn)共線且M在尸B之間時(shí)，"尸最小.設(shè)8=1,通過解直角三角形，運(yùn)用翻折性質(zhì)，求得

祟的值.

【詳解】（1）解：：CA=2CB,BC=2,

：.CA=4,

?二ZACB=90°f

.?.tanA《=1-.

2

???將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD,

AC=CDf

ZCAD=ZADC,

\*DEJ.AD,

I.NAD石=90。，

ACAD+ZE=ZADC+Z.CDE=90°,

ZCAD=ZADCf

/E=/CDE,

答案第18頁(yè)，共30頁(yè)

CE=CD=CA=4,

/.AE=AC+CE=8f

VC4=4,BC=2,ZACB=90°

AB=y/c^+CB2=2-j5，

..ABC26

,?smA=——=—尸=——,

AB2yf55

*.*AE=8,

?8\/5

??DE=sinAxAEF=-----.

5

(2)證明：過。作OG_LC。交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

???線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD,ZACB=90。，

：.CD=CAf是等腰直角三角形.

*：CA=2CB,

:?CD=2CB,BPCB=BD.

VCF±AB,

...ZAFC=90°,

，ZC4F+ZACF=90°,

*.*ZFCB+ZACF=90°,

NCAF=NFCB.

在AACB與.COG中，

ZCAB=ZGCD

*：lAC=CD,

ZACB=ZCDG

:?AACB義KDG(ASA).

CB=DG,

???CB二BD,

BD=DG.

VDGXCD,

ZCDG=90°,

???/8是等腰直角三角形，

I.ZCZM=45°,

ZEDG=ZEDB=45°.

在AB匹與屆即中，

BD=GD

\ABDE=ZGDE9

ED=ED

:.ABED—GED(SAS).

答案第19頁(yè)，共30頁(yè)

..BE=EG,

/.CE+BE=CE+EG=CG.

V/\ACB2ACDG,

/.AB=CGf

：.AB=CE+BE.

(3)如圖，過戶作廠KUC交延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,以3為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫圓,

由題意得，川在以3為圓心，3c長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)/，以，5三點(diǎn)共線且“在尸3之間時(shí)，D尸最小.

設(shè)CB=1,

*.*CA=2CBf

I.CA=2.

VZACB=90°,CB=\,C4=2,

??AB=A/C42+CB2=A/5，sinZ.CAB=.

VCF±AB,ZACfi=90°,

5A