北京市某中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024北京二十中初二（上）期中

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共loo分，考試用時(shí)loo分

鐘.考試結(jié)束后，將本試卷與答題紙一并交回.祝各位考生考試順利！

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題（下列各小題中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，共16分，每小題2分）

1.漢字是中華文明的標(biāo)志，從公元前16世紀(jì)殷商后期的被認(rèn)為是漢字的第一種形式的甲骨文到今天，產(chǎn)

生了金文、小篆、隸書、楷書、草書、行書等多種字體，每種字體都有著各自鮮明的藝術(shù)特征.下面的小

篆體字是軸對(duì)稱圖形的是（）

成第也胭

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要查了軸對(duì)稱圖形.根據(jù)“如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，

這個(gè)圖形成為軸對(duì)稱圖形”，即可求解.

【詳解】A.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選B.

2.下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.2,3,6B.4,4,8C.4,7,11D.5,8,12

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條線段就能

夠組成三角形.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析判斷.

【詳解】解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，得

A、2+3=5<6,不能組成三角形；

B、4+4=8,不能組成三角形；

c、4+7=11,不能組成三角形；

D、5+8=13>12,能夠組成三角形.

故選：D.

3.下列計(jì)算正確的是（）

3

C（-4廣=4療D./，'=0

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查的是同底數(shù)幕的乘除法則及幕的乘方與積的乘方法則，根據(jù)同底數(shù)幕的乘除法則及暴的

乘方與積的乘方法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、〃P=加'，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、（叫=/，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、T加）=4吟正確，符合題意；

D、，/?加'=1,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

4.已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則一1等于（）

A.50°B,58°c.60。D,72°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出N1=NE,

乙4=ND=50°,ZF=ZC=72°,進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

和人力RF全等,AC=DF=b,DE=AB=a,

Z1=Z5,4=NO=50。，ZF=ZC=72°,

Zl=180°-ZD-ZF=58°,

故選：B.

5.如果一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于720。，那么該正多邊形的一個(gè)外角等于（）

A.45°B,60°c,72°D,90°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)內(nèi)角和求出邊數(shù)，再根據(jù)外角和為360°,進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為〃，

由題意，得（1岡80。=720。,

解得："=6,

正多邊形的一個(gè)外角=360°+6=60°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和.熟練掌握正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法和外角和為360。是

解題的關(guān)鍵.

6.若=則a的值為（）

A.±6B.±3C.6D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是平方根的含義，平方差公式的應(yīng)用，本題先把方程化為=36,再利用平方根的

含義解方程即可.

【詳解】解：?.?（"l）（aT）=35,

.-.a2-1=35,即a?=36,

:.a=±6；

故選A

7.如圖，在AH8C中，AB=AC,NC=70°,。為3c邊中點(diǎn)，則NC4D等于（）

A.15-B,20°c,25°D,30°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得也）180,再

根據(jù)直角三角形兩銳角互余進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握等腰三角形三線合一是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；函=月。，。為3c邊的中點(diǎn)，

:.AD1BC,

ZADC=90°,

NC+HD=90。，

vZC=70°,

=90°-70°=20°,

故選：B.

8.如圖，BN為/M8C的平分線，尸為上一點(diǎn)，且尸。_LBC于點(diǎn)。，ZAPC+ZABC=180°,給出下

列結(jié)論：①/MAP=NBCP；②PA=PC；@AB+BC^2.BD；④四邊形BAPC的面積是△尸2。面積的2

倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】過點(diǎn)尸作垂足為點(diǎn)K.證明RtZXBPK之RtZYBPD,4PAK沿APCD,利用全等三角形

的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作PKLAB,垂足為點(diǎn)K.

???PK1A8,PDLBC,ZABP=^CBP,

；.PK=PD,

在R3BPK和Rt^BPD中,

'BP=BP

'PK=PD

L，

.-.Rt^BPK=RtABPD(HL),

；.BK=BD,

?■?ZAPC+ZABC=180°,且ZABC+NKPD=18O°,

:/KPD=AAPC,

:&PK=<PD,故①正確，

在APAK和APCJD中，

'乙AKP="DC

<PK=PD

ZAPK=ACPD

■.APAK=APCD(ASA),

■■.AK=CD,PA=PC,故②正確，

：.BK-AB=BC-BD,

：.BD-AB=BC-BD,

：.AB+BC^1BD,故③正確，

:RtABPK三RtABPD,APAK=APCD(ASA),

:?SABPK=SABPD,SAAPK=SXPDC,

■-■S四邊形ABCP=S四邊形KBOP=2SAPBD.故④正確.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助

線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

二、填空題(共16分)

9.因式分解：X〕'-4.1，=.

【答案】y(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】先提取公因式》再利用平方差公式分解因式即可

【詳解】解：xiy-4j=y(X2-4)-y(x-2)(x+2).

故答案為：y(x-2)(x+2).

【點(diǎn)睛】題目主要考查提公因式法與公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵.

10.如果廣-10t+57J是一個(gè)完全平方式，那么m的值是.

【答案】25

【解析】

【分析】利用完全平方式的結(jié)構(gòu)特征，即可求出式的值.

【詳解】解：..?％2-10犬+〃7是一個(gè)完全平方式，

(小

m=-=25.

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式是解本題的關(guān)鍵.

11.小明同學(xué)用一根鐵絲恰好圍成一個(gè)等腰三角形，若其中兩條邊的長分別為l'cm和20cm,則這根鐵絲

的長為cm.

【答案】50或55

【解析】

【分析】等腰三角形中兩條邊的長分別為15cm和20cm時(shí)，第三邊的長可能為15cm或20cm,分別求得

三角形的周長，即為鐵絲的長.

【詳解】???等腰三角形中兩條邊的長分別為15cm和20cm,

???當(dāng)?shù)谌龡l邊的長為15cm時(shí)，這根鐵絲的長為15+15+20=50(cm),此時(shí)15+15>20,符合三角形的三邊關(guān)

系；

當(dāng)?shù)谌龡l邊的長為20cm時(shí)，這根鐵絲的長為15+20+20=55(cm),此時(shí)15+20>20,符合三角形的三邊關(guān)

系；

故答案為:50或55.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理并分類討論是解題

的關(guān)鍵.

12.如圖，在-工3C中，AB=4,AC=6,/四。和的平分線交于o點(diǎn)，過點(diǎn)。作的

平行線交4H于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)，貝的周長為.

【解析】

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)將

周長轉(zhuǎn)換為斯+/0是解本題的關(guān)鍵.利用角平分線及平行線性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的判定得到

MB=MO,NC=NO,將三角形周長轉(zhuǎn)化為求出即可.

【詳解】解：:B。為的平分線，°。為/月。3的平分線，

AABO=ZCBO,LACO=4C。，

乙MOB=LOBC,ZNOC=^BCO,

:ZABO=AMOB,/LNOC=ZACO,

MB=M0,NC=NO,

,MN=MO+NO=MB+NC,

,：AB=A,AC=6,

周長為41/+MV+4V=HM+MB+4V+M?=3+HC=10,

故答案為：io

13.如圖，在一月3c中，。是3C上一點(diǎn)，AC=AD=DB,Z.BAC=105°,則N3=

【解析】

【分析】設(shè)NAOC=a,然后根據(jù)AC=A￡)=。"ZBAC=105°,表示出N8和/8AO的度數(shù)，最后根

據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NAOC的度數(shù)，進(jìn)而求得的度數(shù)即可.

【詳解】解：*：AC=AD=DBf

；?/B=/BAD,ZADC=ZC,

設(shè)NADC=a,

a

：.ZB=ZBAD=-,

VZBAC=105°,

a

：.ZDAC=105°-一,

在△A0C中，

VZADC+ZC+ZDAC=180°,

a

.,.2a+105°-?=180°,

解得：a=50°,

a

：.ZB=ZBAD=-=25°,

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個(gè)底角相等，熟

練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在P.tZXHSC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,4D是2a40的平分

線.若尸，。分別是加和力。上的動(dòng)點(diǎn)，則P°+產(chǎn)。的最小值是.

【答案】2.4

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)

化思想，利用軸對(duì)稱，把較難求的最值問題通過兩點(diǎn)之間線段最短轉(zhuǎn)化為求線段的最值問題；在圈上取

一點(diǎn)0,使22'=工。，連接尸2'，CQ，2。'，交4?于E,過點(diǎn)c作。于點(diǎn)H,根據(jù)等

腰

三角形的性質(zhì)可證4。是QQ'的垂直平分線，可得尸°=尸°',根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，PC+PQ

的最小值即為C0的最小值，再根據(jù)垂線段最短求解即可.

【詳解】解：在國上取一點(diǎn)Q',使月Q'="Q,連接Pae,?。'，QQ'交心于石，過點(diǎn)c作

CH工AB于點(diǎn)H,

c

AELQQ',QE~Q'E

no是Q。'的垂直平分線，

：.PQ=PO',

PC+PQ=PC+PQ\

當(dāng)c,P,Q'三點(diǎn)共線，且CQ」超時(shí)，PC+P0的值最小，即為CH的值，

；s3ACABCH

—1，

L3x4=L5CH

一—，

CH-2A,

PC+W的最小值是）4,

故答案為：2.4.

15.某“數(shù)學(xué)樂園”展廳的WIFI密碼被設(shè)計(jì)成如圖所示的數(shù)學(xué)問題.小明在參觀時(shí)認(rèn)真思索，輸入密碼

后成功地連接到網(wǎng)絡(luò).他輸入的密碼是—

賬號(hào)：shuxueleyuan

售[?y=3]=1523

[門口二fj]=531

卜）”+二卜

密碼

【答案】2024

【解析】

【分析】本題主要考查單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,熟練掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵；由題意可先進(jìn)行單

項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算，然后問題可求解.

/..5?304.山302_4

【詳解】解：卜），?丁J--AJ一?■J-J-

.?.他輸入的密碼是2024；

故答案為：2024.

16.我國古代數(shù)學(xué)曾有許多重要的成就，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例，這個(gè)三角形給出了（a+協(xié)

2,3,4,5,6）的展開式（按a的次數(shù)由大到小順序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如，第三行的三個(gè)

數(shù)1,2,1,恰好對(duì)應(yīng)（a+“『=『+展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第五行的五個(gè)數(shù)i,4,6,4,1,

恰好對(duì)應(yīng)著（°+與4=/+4a%+6aW+4昉+64展開式中各項(xiàng)的系數(shù).

（1）3+3）5展開式中a”的系數(shù)為；

（2）（。+為7展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為.

【答案】①.5②.二'

【解析】

【分析】此題考查了整式的運(yùn)算和規(guī)律探索，弄清“楊輝三角”中系數(shù)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵，根據(jù)“楊輝

三角”中系數(shù)規(guī)律確定出所求系數(shù)，并求出系數(shù)之和即可.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意中例子所示，（a+“）展開式中的系數(shù)應(yīng)與第6行的2個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)，即為

5,

故答案為：5；

（2）當(dāng)％=1、？、3、4時(shí)，

（a+b『展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和分別為2、4、8、16、...，

由此可知（a+b）展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2”，

（a+與展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為北

故答案為：27.

三、解答題（共68分，其中第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27-28題每題7

分）

17.計(jì)算：a3a+a6^a\

【答案】2a4

【解析】

【分析】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法，同底數(shù)塞的除法運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，本題先計(jì)算同底數(shù)幕的乘法

與除法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可.

3.62

【詳解】解：aa+a

=a4+a4

=?.

18計(jì)算：x(x+4.v)f?知

【答案】？一工'

【解析】

【分析】根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】解「("廿―

=『+49-6.n,

=x3-2xi\

【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，掌握整式的混合運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵.

19.因式分解：、〕，一4v3.

［答案］邛'(x+2j')(x_2y)

【解析】

【分析】此題考查因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵，此題先提公因式，再利用平方差公式分

解因式.

【詳解】心'一4甲，3

=邛，，-4.，)

=磯Y+2y)(x-2y)

20.已知-為_］=0,求代數(shù)式仁0+1"%-1+J的值.

【答案】29

【解析】

【分析】將=0運(yùn)用配方法變形為俗一廳二2,再運(yùn)用平方差公式，完全平方公式將

(2a+l)(2a-l)+(a-5)展開，合并同類項(xiàng),變形為5。-爐+19,

由此即可求解.

【詳解】解：運(yùn)用配方法變形，-勿-1=0,

,\a2-2a+1-1-1=0,gpa3-2a+l=2,即(。-1尸=2,

..(%+1)(%-1)+(0-5)'=4/一1+，一10。+25=5/-100+乂

?，

.(2a+l)(2a-l)+("5)'=5/-10a+24=5(叱iy+19

.(2a+l)(2a-l)+(a-5r=5(a-l)3+19=5x2+19=29

A(2a+l)(2a-l)+(a-5)的值為29.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式，完全平方公式在整式加減法中應(yīng)用，掌握整式的加減法法則是解題的

關(guān)鍵.

21.已知：如圖，點(diǎn)A、E、F、「在同一條直線上，Z5=ZD,DF=BE,加11'°.

(1)求證：AAD尸\.CBE.

(2)若.=3,求CF的長.

【答案】(1)見解析(2)3

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的證明及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)平行線的性質(zhì)得出乙4=NC,即可根據(jù)44s證明結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等式性質(zhì)證得愈=C斤，即可求出答案.

【小問1詳解】

證明：-：ADBC,

.-.//=zc,

且NB=ND,DF=BE,

.-.^ADF^CBE(AAS);

【小問2詳解】

?；3ADF必CBE(已證),

：.AF=CE,

：.AF-EF=CE-EF,

即花=CE,

AE=3,

22.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4一1，?,3(一1，°),C(T3).

VA

夕5

4一

3一

L2一

-

"1

-

H—I?I

2345A

^X

（1）在圖中作出△C關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形'4；

（2）如果要使以點(diǎn)A、B、D（不與點(diǎn)c重合）為頂點(diǎn)的三角形與&43C全等，直接寫出所有符合條件

的點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】（1）見解析（2）點(diǎn)。坐標(biāo)為（Y：）、（:3）、O

【解析】

【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可；

（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)和全等三角形的判定畫出圖形，即可得到點(diǎn)。的坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：一4片。1如圖所示

【小問2詳解】

點(diǎn)D坐標(biāo)為（7-＞、

如圖，滿足條件的點(diǎn)。有三個(gè),

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一軸對(duì)稱變換、坐標(biāo)與圖形、全等三角形的判

定，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

23.數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：

如圖，已知45°,點(diǎn)8是射線AM上的一個(gè)定點(diǎn)，在射線AN上求作點(diǎn)C,使

下面是小路設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程.

作法：①作線段A2的垂直平分線/,直線/交射線AN于點(diǎn)￡＞；

②以點(diǎn)B為圓心，2。長為半徑作弧，交射線AN于另一點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：連接2。，BC,

V直線I為線段AB的垂直平分線，

：.DA^,（）（填推理的依據(jù)）

，ZA=ZABD,

：./BDC=ZA+ZABD^2ZA.

；BC=BD,

:.NACB=N______,（）（填推理的依據(jù)）

ZACB=2ZA.

【答案】（1）見解析；（2）DB；線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；BDC-,等邊對(duì)等角.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題目中的小路的尺規(guī)作圖過程，直接作圖即可.

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：（1）根據(jù)題目中的小路的設(shè)計(jì)步驟，補(bǔ)全的圖形如圖所示；

（2）解：證明：連接8。，BC,

:直線/為線段的垂直平分線，

：.DA=DB,（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）（填推理的依據(jù)）

，ZA=ZABD,

：.ZBDC=ZA+ZABD^2ZA.

;BC=BD,

/ACB=/BDC,（等邊對(duì)等角）（填推理的依據(jù)）

ZACB^2ZA.

【點(diǎn)睛】本題主要是考查了尺規(guī)作圖能力以及垂直平分線和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線和等

邊對(duì)等角的性質(zhì)，是解決該題的關(guān)鍵.

24.已知：在RtZUBC中，乙4C3=90°,乙4=30°,邊的垂直平分線分別交40于點(diǎn)n交AB于

點(diǎn)E.

（1）求證：DE=DC；

（2）連接EC,若知=6,求AEBC的周長.

【答案】（1）見解析（2）9

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出43c=60°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到也）=￡）8,

求出乙4=乙450=30°,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC.

（2）判定AEBC是等邊三角形，即可求出周長.

【小問1詳解】

證明：?在中，乙4cB=90°,乙4=30°,

?-?ZABC=60°9

?.?DE是48邊的垂直平分線，

:.AD=DB,

.-.ZZ=ZABD=30°,

.?.ZC5D=60°-30°=30°

BD平分/ABC,

DEIAB,AC±BC,

,；*,DE=DC.，

【小問2詳解】

解：..,在Rt3ABC中，乙4C8=90°,乙4=30°,AB=6,

???￡應(yīng)是43邊的垂直平分線,

BE=^-AB=3

2,

:.BC=BE,

?.?ZASC=60°,

AEEC是等邊三角形，

.?.△ESC的周長為9.

【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的

內(nèi)角和定理，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵.

25.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長

為6的正方形，C種紙片是長為。、寬為6的長方形，并用A種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩張

拼成如圖2的大正方形.

（2）若要拼出一個(gè)面積為（8+瓦”力+?）的矩形，則需要A號(hào)卡片6張，8號(hào)卡片.張，C號(hào)

卡片張;

（3）正方形/1ECD,加心如圖3擺放，邊長分別為X,若=BE=2,求圖中兩個(gè)陰

影三角形面積和.

［答案］(1)(a+b)+2ab+b2

(2)2,7(3)8

【解析】

【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積、完全平方公式的幾何背景及其應(yīng)用，理解題意，看懂圖

形，會(huì)利用不同方法表示面積，并靈活運(yùn)用所得結(jié)論是解答的關(guān)鍵.

（1）用兩種方法表示出大正方形的面積，即可求解；

（2）先計(jì)算（"+?）（%+泌），再根據(jù)面積不變結(jié)合乘法的結(jié)果可得答案；

（3）根據(jù)圖形得到、-了=。6=8￡=2,,利用完全平方公式分別求得、丁和'即可求解.

【小問1詳解】

解：由圖2知，大正方形的面積為（°+切，又可以為a）+：;ab+/,

.(a+3)'=a，+2ab+b2

【小問2詳解】

..12a+?)(%+2。)

=6片+4ab+3m+2b2

=6/+7ab+2b2,

要拼出一個(gè)面積為(2a+b"“+B)的矩形，則需要A號(hào)卡片6張，B號(hào)卡片2張，C號(hào)卡片7張；

【小問3詳解】

由題知：v-r=DG=B￡=2)/+丁'=34,

則卜一@=4=?+/-%，，則加=30,

:

...(X+=r+y+=34+30=64；

=8(負(fù)值舍去)，

—x2v+—x(x-v)=v+—xx2=V+T=8

圖中陰影部分面積為：2”2'''2'.

26.利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：(ax+5)(cx+d)=ac'+m"+A)"+b”.我們知道因式分解

是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得+(ad+bc)x+〃=(ax+bMcx+d).通過觀

察可

把廣+"1看作以X為未知數(shù)，八b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次

三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)ac與常數(shù)項(xiàng)6d分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為

“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1,這種分解的方法稱為十字相乘法.例如，將二次三項(xiàng)式

+1h+12的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2,則

2.X2+11.X+12=(X+4)(2J+3)

axd-H：xb=bc1x3+2x4=l1

圖I圖2

根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

(1)用十字相乘法分解因式：/+6i-27；

(2)用十字相乘法分解因式：6A3-7.V-3.

⑶結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：2°&+丁)+7(x+j，)-6.

【答案】⑴(X-3"+9)

⑵(2x-3it3x+11

⑶(4x+4r+3l|5x+5r-2)

【解析】

【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握與運(yùn)用.

(1)利用十字相乘法進(jìn)行求解即可;

(2)利用十字相乘法進(jìn)行求解即可;

(3)先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

解：.X3+6.T-27

=(.X-3)(J+9)

■,，

X

lx9+lx(—3)=6.

【小問2詳解】

解：6x3-7x-3

X

2xl+3x(—3)=-7.

【小問3詳解】

20(x+y)3+7(x+y)-6

=[4(.r+y)+3][5(x+y)-2]

=(4：xx+4y+3)(5x+5v-2)

4*(-2)+5*3=7

27.如圖，在等邊三角形ABC右側(cè)作射線CP,NACP=&(0°<^<60°),點(diǎn)A關(guān)于射線CP的對(duì)稱點(diǎn)為

點(diǎn)D,BD交CP于點(diǎn)E,連接AD,AE.

(1)依題意補(bǔ)全圖形;

(2)求NDBC的大小(用含”的代數(shù)式表示)；

(3)直接寫出NAEB的度數(shù);

(4)用等式表示線段AE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析；(2)a；(3)60°；(4)30=2月E+CE；證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱性即可補(bǔ)全圖形；

(2)連接CD,根據(jù)對(duì)稱性得到乙4CE=NZ)CE=a,從而得到乙SCD=600+2a,再根據(jù)

8。=2。=0。即可求解；

(3)根據(jù)對(duì)稱性可得/a4c=AEDC==/DBC,再根據(jù)角度的八字模型即可得到NAEB=/RCB,

故可求解；

(4)在破上截取后尸=瓦4,連接AR得到AAEF是等邊三角形，根據(jù)AABC是等邊三角形得到，

Z5AF=ZCAE,進(jìn)而證明"4%△CAE,得到BP=CE,再根據(jù)對(duì)稱性得到AE=DE,故可得到

BD=BF+FE+ED=CE^2AE.

?.?線段AC和QC關(guān)于射線CP的對(duì)稱，

.-.AC^DC,ZACE=￡DCE=a.

KABC是等邊三角形，

...AC=BC,ZACB=60°,

.-.BC=DC,4CZ)=60。+2a.

乙DBC=ABDC=^[180°-(60°+2a)]=60°-a

(3)根據(jù)對(duì)稱性可得/及4c=AEDC=60°-a=NDBC

■：AEAC+ZAEB=ADBC+ZACB

，NAEB=/RCE=60。

(4)結(jié)論：BD=2AE+CE.

在班上截取EF=￡4,連接AE

p

??.△AET7是等邊三角形，

.-.AF=AE,ZFAE=600_

???△ABC是等邊三角形，

.-.AB=AC,ABAC=6Q°.

...ABAC-NFAC=AFAE-AFAC.

...^BAF=ACAE.

在ABAF和ACAE中

AB=AC

，Z.BAF=￡CAE