尺規(guī)作圖題型總結(jié)（作相等角、作角平分線、作線段垂直平分線、作垂直、利用無刻度直尺作圖）原卷版

重難點11尺規(guī)作圖題型總結(jié)（作相等角、作角平分線、

作線段垂直平分線、作垂直、利用無刻度直尺作圖）

題型將步I樵型枸建I真題—他詞繪I摸圖通關(guān)試煉

模型01作相等角

模型02作角平分線

模型03作線段垂直平分線

模型04作垂直

模型05利用無刻度直尺作圖

本專題主要對初中階段的一般考查學(xué)生對基本作圖的掌握情況和實踐操作能力，并且在作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)

一步推理計算（或證明）。尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。尺規(guī)作圖是中考必考知識點之一，

復(fù)習(xí)該版塊時要動手多畫圖，熟能生巧！本專題主要總結(jié)了五個?？嫉幕咀鲌D題型，（1）作相等角；（2）

作角平分線；（3）作線段垂直平分線；（4）作垂直（過一點作垂線或圓切線）；（5）用無刻度的直尺作圖。

勘摸核四建

模型01作相等角

wTwlWi!...............................

作相等角該題型近年主要以解答題形式出現(xiàn)，一般為解答題型的其中一問，難度系數(shù)較小，在各

類考試中基本為送分題型。解這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意熟練應(yīng)用尺規(guī)作圖，一般考試中涉及的做相

等角包含角相等或者作平行線，需要我們很好的理解題意，根據(jù)題意畫圖，保留清晰的作圖痕跡。

答?題?技?巧

1.作任一射線；

2.以所作角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，然后以同樣長為半徑，以射線端點為圓心畫弧;

3.以原角中所畫弧中一個交點為圓心，到另一個交點的距離為半徑畫?。?/p>

4.以射線中的交點為圓心，同樣長為半徑畫弧，交于一點，連接射線端點與弧的交點，所得角即為所求;

［題型三例

1.（2024?吉林）如圖，用尺規(guī)作圖完成下列作圖步驟:

①以點。為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交射線OB于點C、D；

②以點3為圓心，以O(shè)C長為半徑畫〃，交射線8。于點E,點F與點C在的異側(cè)）;

③以點E為圓心，以8長為半徑畫MN，交"于點N,作射線3N即可得到NOBN,連接CD、EN.

則下列說法中錯誤的是（

C.CD=EN,CD//END.△OCD四的依據(jù)是SAS

）支式

1.綜合實踐課上，嘉嘉畫出NAO3,如圖1,利用尺規(guī)作圖作NAO3的角平分線OP.其作圖過程如下：⑴

如圖2,在射線（M上取一點不與點。重合），作/ADC=NA03,且點C落在內(nèi)部；

⑵如圖3,以點。為圓心，以長為半徑作弧，交射線。C于點P,作射線。尸，射線0P就是NAO3的

平分線.

在嘉嘉的作法中，判斷射線。尸是“AO3的平分線過程中不可能用到的依據(jù)是（）

A.同位角相等，兩直線平行

B.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

C.等邊對等角

D.到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上

2.如圖①，在V45C中，。是A3邊的中點，且按照如下尺規(guī)作圖的步驟進(jìn)行操作（如圖②所

示）：

①以點B為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交線段3D于點M,交2C于點N；

②以點。為圓心，以長為半徑畫弧，交線段DA于點P,交線段于點R；

③以點尸為圓心，以長為半徑畫弧，交尸R于點。，點。與點C在直線A3同側(cè);

④作直線。。，交AC于點E.則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZADE=ZABCB.ZDEC+ZC=180°

C.AE=CED.DE=-AB

2

3.已知：如圖，在矩形ABC。中，/是邊4B上的點，連接DM.

⑴尺規(guī)作圖，以BC為邊，3為頂點作NCBN=ZAZW,BN交線段CD于氤N（要求：基本作圖，保留作圖

痕跡，不寫作法）.

（2）求證：四邊形3ND暇為平行四邊形（請完善下面的證明過程）.

證明：在矩形ABCD中，有AB=CD,AD=CB,AB//CD,NA=NC=90。.

在AADM和△CBN中

ZA=ZC

■AD=CB

①（）

；.AA￡>M%C8N（ASA）.

，②—.

，③—.

四邊形為平行四邊形（④—）（填寫推理依據(jù)）.

4.如圖，已知

⑴尺規(guī)作圖：以點。為頂點，在DE的下方作使得=交A8于點尸.（要求：不寫作法,

保留作圖痕跡）

(2)在(1)的條件下，求證：DF//BC.

證明：^AB//DE(己知)

0ZB=(1)(②)

田/EDF=/B(已知)

回③(④)

^DF//BC(⑤)

5.如圖，在VA5c中，D,E分別是邊Afi,AC的中點.

⑴尺規(guī)作圖：在邊BC上找一點尸，連接。尸，使/EDP=NC.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接所，求證：EF//AB.

模型02作角平分線

浮而函.麗......................

作角平分線該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在解答題中主要考查角平分線的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)作對

應(yīng)圖形，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。掌握角平分線的性質(zhì)是考試的重點，在應(yīng)用題型中，

根據(jù)題意會進(jìn)行尺規(guī)作圖畫角平分線，有時依據(jù)題意畫平行線時也是畫角平分線。

答|題|技|巧

1.以角的頂點為圓心，任意長為半徑畫弧，交兩點M、N；

2.以M點為圓心，MN的距離為半徑畫弧，再以N點為圓心，同樣長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；

3.連接角的頂點和P點，所畫直線即為所求.

1.（2024?山東泰安）如圖，在AABC中，ZB=40°,NC=50。.小明按以下操作進(jìn)行尺規(guī)作圖:

以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC、AD于點/、點N,分別以〃、N為圓心，大于!的長為

2

半徑畫弧，兩弧交于點H,畫射線AH交8C于點E；分別以點A、3為圓心，大于〈A3的長為半徑畫弧,

兩弧交于P、G點，作直線PG交A3于F,交BC于D,連接AO.可以求得4M￡=度.

,支式

A.ZADE=ZBACB./BAD=NCAD

C.DEJ.ABD.AE=AC

2.如圖，已知VABC.

⑴尺規(guī)作圖：作/ABC的平分線取，在加上截取9=AC,連接CD；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法,

標(biāo)明字母）

(2)若ZAC8=g/ABC.求證：AABC/DCB.

3.如圖，已知VA3C.

⑴求作四邊形BCDE,使得點。在AC上，點E在AB上，且￡>E〃BC,DE=BE；（要求:尺規(guī)作圖，不

寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）所作圖形中，若NA=40。，AD=BE,求NADB的度數(shù).

4.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°.

⑴尺規(guī)作圖：作Rt^ABC的內(nèi)切圓。。，并分別標(biāo)出。。和A3、BC、C4相切的切點。，后,廠；（要求：保

留作圖痕跡，不寫做法，不需證明）

（2）連接OE、OF,四邊形QECV是正方形嗎？為什么？

（3）若AD=6,BD=4,求。。的半徑「的長.

模型03作線段垂直平分線

wjsiww.........................

作線段垂直平分線該題型近年在尺規(guī)作圖題型中主要考①到兩點的距離相等的點；②作三角形的外接

圓；③找對稱軸（旋轉(zhuǎn)中心）；④找圓的圓心等幾個方面。讓學(xué)生真正理解線段垂直平分線的性質(zhì)是本節(jié)內(nèi)

容的重心，尺規(guī)作線段垂直平分線是中考的必考內(nèi)容之一。考題常以選擇、填空等形式出現(xiàn)，該題型主要

難點在熟練應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)，會畫線段的垂直平分線，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項。

答I題I技I巧

1.以線段任一端點為圓心，大于一半的長為半徑上下畫弧;

2.以線段另一端點為圓心，同樣長為半徑畫弧，所畫弧交于兩點MN；

3.連接MN,MN所在直線即為所求；

［題型三例

1.（2024.山東）如圖，在AABC中，ZB=40°,NC=5O。.小明按以下操作進(jìn)行尺規(guī)

作圖：以A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC、AD于點/、點N,分別以A/、N為圓心,

大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點”，畫射線交3C于點E;分別以點A、8為圓心,

大于g的長為半徑畫弧，兩弧交于尸、G點，作直線PG交A3于尸，交8c于。，連接AD.可

以求得ZDAE=度.

1.我們在蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊第九章中學(xué)習(xí)了一些基本尺規(guī)作圖.請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列基

本作圖.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑴在圖①中，請作出已知線段4?的垂直平分線CD；

（2）在圖②中，請作出已知角ZEFG的平分線FH；

⑶在圖③中，請作出過直線外一點尸，且垂直于直線的直線尸。（點。是垂足）.

2.如圖，在VABC中，ZA=45°,AC>BC.

⑴尺規(guī)作圖：作線段A3的垂直平分線/,分別交A3,AC于點D,E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法,

標(biāo)明字母）

⑵在（1）所作的圖中，連接班，若AB=8,求AME的周長.

3.在學(xué)習(xí)了特殊平行四邊形的性質(zhì)之后，小德發(fā)現(xiàn)：對于夾在兩條平行線之間的線段，作其垂直平分線與

兩條平行線分別交于兩點，則該線段的兩個端點和垂直平分線與兩條平行線的兩個交點所構(gòu)成的四邊形是

菱形.小德證明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知識得到此結(jié)論.根據(jù)他的想法和思路，完成

以下作圖和填空：

（1）如圖，AB//CD,連接3c.用尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線EG,分別交A3,3c和C。于點E,

尸和G,連接CE和BG（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）已知：AB//CD,連接BC.線段5c的垂直平分線EG分別交A3,2C和于點E,尸和G,連接CE

和BG.求證：四邊形3ECG是菱形.

證明：SAB//CD,

I3EG垂直平分3C.

SEG±BCS.BF=（2）.

在A即近和ACG尸中,

ZEBF=ZGCF

BF=CF

NBFE=（3）

0AB￡F^ACGF（ASA）.

SEF=GF,

則四邊形3ECG是④.

團(tuán)EGJ_CB,

回四邊形BECG是菱形.

進(jìn)一步思考，如果/4fiC=45。，請你模仿題中的表述，寫出你猜想的結(jié)論:

四邊形BECG是⑤.

⑴作線段8。的垂直平分線，垂足為點0,與邊A。、BC分別交于點E、F（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡）；

⑵求證：BF=DE.

模型04作垂線（過一點作垂線或圓的切線）

WTilWii................................

作垂線（過一點作垂線或圓的切線）該題型主要包括①過直線上一點作垂線；②過直線外一點作

垂線；③過圓上一點作切線；④作高等。幾種題型的核心點均是作線段的垂直平分線，線段垂直平分

線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解題。

答?題?技?巧

i.以所過點為圓心，以一定長度為半徑截取線段長（如果點在線段上以任意長度為半徑，如果點在線段外

以大于點到線段的長為半徑）；

2.作該線段的垂直平分線；

3.過該點的線段垂直平分線即為所求；

［題型三例

＞哀倒1.下面是"過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。和。。上一點p.

求作：。。的切線MN,使經(jīng)過點尸.

作法如下：①連接0P并延長，以P為圓心，線段0P長為半徑作弧，交射線。尸于點8；

②分別以點。，3為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧交于M點，同樣操作，得N點（不與點M重

合）；

③作直線MN,則就是所求作的。。的切線.

請根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和痕跡，回答下列問題：

⑴步驟③中判斷是。。的切線的依據(jù)是（）

A.與圓只有一個公共點的直線是圓的切線

B.與半徑垂直的直線是圓的切線

C.如果圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線

⑵連接NMOP=45。，MO=42,求。。的半徑的長.

＞變式

1.已知：如圖，鈍角三角形ABC.

⑴尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線，與邊48、AC分別交于點。、E（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）尺規(guī)作圖：在（1）的條件下，作垂足為“，連接C。，直接確定/CDE與NAB”的大小關(guān)系

為_?

2.如圖，已知VA3C,AD是2C邊上的中線，垂足為E.

A

BDC

⑴求作：射線。使小1AC,垂足為F（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）得到的圖形中，若BE=CF,求證：VA3C是等腰三角形.

⑴尺規(guī)作圖：過點尸作0。的另一條切線用，8為切點；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若ZAPS=60°,。。的半徑為3,求A3的長.

4.如圖，在等腰VA3C中，為底邊2C上的高，NACB的角平分線交A”于點。，。。經(jīng)過C、。兩點

且圓心。在VABC的腰AC上.

⑴請畫出。。（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；

⑵求證：與。。相切；

⑶當(dāng)AB=12,cosB=；時，求。。的半徑.

模型05僅用無刻度直尺作圖

SWSFW...............................

僅用無刻度直尺作圖該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應(yīng)用題型中或者

與幾何相結(jié)合的題型中，具有一定的綜合性和難度。無刻度直尺作圖，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，

等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識點是解題的關(guān)鍵。

答I題I技I巧

1.確定所求結(jié)論（一般作角相等或垂直）；

2.無刻度直尺只能連線，根據(jù)題意連接線段長或射線；

3.注意利用幾何知識點的性質(zhì)，比如說角相等的判定、圓的相關(guān)知識點等;

［題型三例

1.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）實踐操作：如圖，是5x5正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都

為1.

⑴請在圖中畫出等腰AABC,使得點C在格點上，AC=BC,且NACB<90。；

⑵僅用無刻度直尺作出&4BC的中位線使得點E、歹分別在AB、AC上，并保留作圖痕跡.

）支式

1.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形A8C內(nèi)接于圓，且頂點A,8均在格點上.

（0）線段的長等于;

（回）若點。在圓上，A3與CD相交于點P,請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點。，使ACPQ

為等邊三角形，并簡要說明點。的位置是如何找到的（不要求證明）.

2.如圖，在VA3C中，ZABC=90°,AB=BC,直線MN過點A,45°<ZM4B<90°.過點8作3r>_LMN

于。.在的延長線上取點E,使得DE=BD,連接BE,CE.

⑴依題意用沒有刻度的直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；

（2）用等式表示AD,DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（請補(bǔ)全下方思路）.

思路：

①在4￡）的延長線上取點尸，使得=連接M.

②由垂直平分AF,依據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得,結(jié)合已知=可得BC=3尸；

根據(jù)等腰三角形的"三線合一"可得=；

③設(shè)/ABE=a,可以用含。的代數(shù)式表示出/EBC=,ZABD=ZFBD=,從而

證明出NEBC=NEBF；

④于是可證△EBC四△E8尸（）,從而得到EC=EF=（用含AD,DE的代數(shù)式表

示）.

砂虞岐煉

1.（2024?山東）如圖，△OAB中，點A在第二象限，點6在V軸正半軸上，AB_Ly軸，AB=3,OB=2,

反比例函數(shù)y="經(jīng)過點A.

x

⑵尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）

①求作等腰三角形QIC,點C在第一象限，Q4=OC,點8為AC的中點；

②求作菱形AOCD;

⑶將菱形AOCD沿y軸向下平移多少個單位長度后點C會落在該反比例函數(shù)的圖象上?

2.（2024?四川）（1）如圖1,在VABC中，尺規(guī)作圖：畫出“ABC的角平分線和NACE的角平分線，NABC

的角平分線交AC于點尸，交NACE的角平分線于點。（保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)出點尸和點。）

（圖1）

已知/?=45。，點G在2c上且3G=FG,求NGFC的大小.

（圖2）

Z7h

3.（2024?南京）如果三個數(shù)久b、c滿足?=2,即62=碇，那么稱。是。和。的比例中項.比例中項在數(shù)

bc

學(xué)、物理和工程學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，我們知道任何實

數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示.如圖，點AC在數(shù)軸上分別表示實數(shù)。、c,現(xiàn)嘗試用尺規(guī)作圖的方法，在

正半軸上畫出點8,使得點3表示的正數(shù)6,恰好是數(shù)。和c的一個比例中項.方法如下：

第1步：作以AC為直徑的圓M；

第2步：的其中一點記為點N；

A.以A為圓心，A"為半徑畫圓，交圓M

B.以原點。為圓心，為半徑畫圓，交圓M

C.以為直徑作圓尸，交圓M

。.作AM的垂直平分線，交圓M

E.以O(shè)C為直徑作圓P,再過點A作AC的垂線/,交圓產(chǎn)

第3步：以原點。為圓心，ON長為半徑畫弧交數(shù)軸正半軸于點3,則點3即為所求.

⑴請選出你認(rèn)為第2步中正確作法對應(yīng)的字母：（只填一個選項即可），并說明理由，用尺規(guī)按照所

選的作法在圖中作出點8,要求保留作圖痕跡，不需要寫出作法.

（2）若8C=a=2,寫出此時圓M的直徑AC=

4.（2024?安徽）閱讀下面材料，完成相應(yīng)任務(wù):

尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.無刻度的直尺不具有度量長度的功

能，它用來作經(jīng)過兩點的直線、射線或線段、圓規(guī)用來畫弧、圓規(guī)的兩腳還可以截取線

段或兩點之間的長度.尺規(guī)作圖的關(guān)鍵是確定線與線，線與弧，弧與弧的交點，從而構(gòu)

造出符合要求的圖形.

數(shù)學(xué)課上，在用尺規(guī)作角的平分線時，同學(xué)們自主探究出很多不同于教材的作法.

已知：NZO3求作：—408的平分線.

小明的作法：如圖①，在射線上取點C,E,分別以。為圓心；OC,OE長

為半徑畫弧，交射線02于點。，F(xiàn),連接CF,DE交于點P,過點尸畫射線。尸，則射

線OP為ZAOB的平分線.

小華的思路：如圖②，在Q4上任取一點E,在E的右側(cè)作射線使得

ZAEM=ZAOB,在射線EM上取一點尸，使用=OE,過點尸畫射線。尸，則射線0P是

—的平分線.

趙老師因勢利導(dǎo)，引導(dǎo)同學(xué)們對各種作法進(jìn)行研究，感受它們的異同并進(jìn)行了拓展

訓(xùn)練.

任務(wù)一：小明的作法中，可以得出絲△OFC,請你寫出證明過程.

任務(wù)二：根據(jù)小華的思路完成下列問題：

(1)根據(jù)小華的作法，證明。尸是的平分線；

(2)拓展訓(xùn)練：如圖③，在VABC中，8。平分/ABC,CO平分/AC3,取經(jīng)過點。，與A3,AC相

交于點E,F,且EP〃BC.當(dāng)鉆=7,AC=6,求尸的周長.

圖③

模板運(yùn)用

1.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形.

FC

(1)尺規(guī)作圖：作NABC的平分線8E,交AD于點E;(