北師大八年級數(shù)學上冊 第1章《勾股定理》單元測試卷

北師大新版八年級上冊第1章勾股定理單元測試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.若一直角三角形兩邊長分別為12和5,則第三邊長為（）

A.13B.13或C.13或15D.15

2.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7

3.如果一個直角三角形的兩條直角邊分別為n2-1,2n（n>l）,那么它的斜邊長是（）

A.2nB.n+1C.n2-1D.n2+l

4.以下列各組數(shù)為邊的三角形中，是直角三角形的有（）

（1）3,4,5；（2）如,迎近；（3）32,42,52；（4）0.03,0.04,0.05.

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.等腰三角形的腰長為10,底長為12,則其底邊上的高為（）

A.13B.8C.25D.64

6.五根小木棒，其長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖,

7.如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）

A.25B.12.5C.9D.8.5

8.三角形的三邊長為a,b,c,且滿足（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

9.△ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.已知NC=90。，AC=30米，AB=50

米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計算，那么共需要資金（）

A.50a元B.600a元C.1200a元D.1500a元

10.如圖，ABLCD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17,BE=5,那

么AC的長為（）

二、填空題（每小題3分，24分）

11.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至

少需要米.

12.在直角三角形ABC中，斜邊AB=2,貝AB2+AC2+BC2=

13.直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周長為cm.

14.如圖，在AABC中，NC=90。，BC=3,AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓

的面積是__________.

15.如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹，相距12m,一棵樹高13m,另一棵樹高8m,一只小鳥從一

棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛m.

16.如圖，△ABC中，ZC=90°,AB垂直平分線交BC于D.若BC=8,AD=5,則AC等

于.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,陰影部分的面積是

18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

邊長為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為cm2.

三、解答題（共46分）

19.如圖，所示，四邊形ABCD中，AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,zB=90°,求該四邊

形的面積.

20.如圖，已知一等腰三角形的周長是16,底邊上的高是4.求這個三角形各邊的長.

DC

21.如圖所示的一塊地，ZADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求這塊地

的面積.

22.如圖，一架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的

距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？

23.如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風中心,

沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km,那么臺風中

心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風

的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？

/C

D

R

北師大新版八年級上冊《第1章勾股定理》2015年單元

測試卷

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.若一直角三角形兩邊長分別為12和5,則第三邊長為()

A.13B.13或C.13或15D.15

【考點】勾股定理.

【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊

中的較長邊12既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12

是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：當12是斜邊時，第三邊是,122-52=心論;

當12是直角邊時，第三邊是而二百=13.

故選B.

【點評】如果給的數(shù)據(jù)沒有明確，此類題一定要分情況求解.

2.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是()

A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7

【考點】勾股定理的逆定理.

【專題】計算題.

【分析】判斷是否為直角三角形，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【解答】解：A、22+32=13x42,故A選項構(gòu)成不是直角三角形；

B、32+42=25^2,故B選項構(gòu)成不是直角三角形；

C、52+122=169=132,故C選項構(gòu)成是直角三角形；

D、42+62=52x72,故D選項構(gòu)成不是直角三角形.

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，己知三角形三

邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

3.如果一個直角三角形的兩條直角邊分別為1,2n(n>l),那么它的斜邊長是()

A.2nB.n+1C.n2-1D.n2+l

【考點】勾股定理.

【分析】根據(jù)勾股定理直接解答即可.

【解答】解：兩條直角邊與斜邊滿足勾股定理，則斜邊長是：

22=4222=nM

7(n-l)%(2n)Vn+2n+l=V(n+l)-

故選D.

【點評】本題主要考查了勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是正確對(n2-1)2+(2n)2進行分解

因式.

4.以下列各組數(shù)為邊的三角形中，是直角三角形的有（）

（1）3,4,5；（2）遂，近；（3）32,42,52；（4）0.03,0.04,0.05.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】符合勾股定理的逆定理是直角三角形.

【解答】解:C1）???32+42=52,.?.是直角三角形,故⑴正確；

（2）.?,近2+a2產(chǎn)而2,不是直角三角形，故心）錯誤；

（3）322+422^52?，二不是直角三角形，故（3）錯誤；

（4）0.032+0.042=0.052,.?.是直角三角形，故（4）正確.

根據(jù)勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正確.

故選：B.

【點評】本題考查了直角三角形的判定：當三角形的三邊之間有a2+b2=c2時，則它是直角

三角形.

5.等腰三角形的腰長為10,底長為12,則其底邊上的高為（）

A.13B.8C.25D.64

【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】計算題.

【分析】先作底邊上的高，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出此高的長度.

【解答】解：作底邊上的高并設(shè)此高的長度為x,根據(jù)勾股定理得：62+X2=102,

解得：x=8.

故選B.

【點評】本題考點：等腰三角形底邊上高的性質(zhì)和勾股定理，等腰三角形底邊上的高所在直

線為底邊的中垂線.然后根據(jù)勾股定理即可求出底邊上高的長度.

6.五根小木棒，其長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖,

其中正確的是（）

9°B.25

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長

邊的平方即可.

【解答】解：A、72+242=252,152+202*242,222+202#252,故A不正確；

B、72+242=252,152+202Q42,故B不正確；

c、72+242=252,152+202=252,故C正確；

D、72+202*252,242+152*252,故D不正確.

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，己知三角形三

邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足

a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

7.如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）

A.25B.12.5C.9D.8.5

【考點】三角形的面積.

【專題】網(wǎng)格型.

【分析】根據(jù)求差法，讓大正方形面積減去周圍四個直角三角形的面積即可解答.

【解答】解：如圖：小方格都是邊長為1的正方形，

四邊形EFGH是正方形，S口EFGH=EF?FG=5X5=25

SAAED=/DE?AE=/X1X2=1，

=e

SADCH^CH?DH=-^x2x4=4,

SABCG=-^BG.GC=-^X2X3=3,

SAAFB=,FB?AF=,X3X3=45

四邊形

sABCDuSdEFGH-SAAED-SADCH-SABCG-SAAFB=25-1-4-3-4.5=12.5.

故選：B.

【點評】本題考查的是勾股定理的運用，根據(jù)圖形可以求出此大正方形的面積和三角形的面

積，再用大正方形的面積減去小正方形的面積即可，此題的解法很多，需同學們仔細解答.

8.三角形的三邊長為a,b,c,且滿足（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】對等式進行整理，再判斷其形狀.

【解答】解：化簡（a+b）2=c2+2ab,得，a2+b?=c2所以三角形是直角三角形，

故選：C.

【點評】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定.

9.△ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.己知NC=90。，AC=30米，AB=50

米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計算，那么共需要資金（）

A.50a元B.600a元C.1200a元D.1500a元

【考點】勾股定理的應(yīng)用.

【分析】此題首先由己知△ABC中，ZC=90°,AC=30米，AB=50米，根據(jù)勾股定理求出

另一條直角邊BC,再求出面積，從而得出答案.

【解答】解：在△ABC中，ZC=90°,AC=30米，AB=50米，

=2

BC7AB-AC2=40米，

共需要資金為：,x40x30?a=600a元.

故選：B.

【點評】此題考查的知識點是勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是先由己知結(jié)合勾股定理求出另

一條直角邊，再求出面積即得答案.

10.如圖，ABLCD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17,BE=5,那

么AC的長為（）

A.12B.7C.5D.13

【考點】等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】探究型.

【分析】先根據(jù)ABCE等腰直角三角形得出BC的長，進而可得出BD的長，根據(jù)AABD

是等腰直角三角形可知AB=BD,在RtAABC中利用勾股定理即可求出AC的長.

【解答】解：：△BCE等腰直角三角形，BE=5,

BC=5,

CD=17,

DB=CD-BE=17-5=12,

???△ABD是等腰直角三角形，

AB=BD=12,

在RtAABC中，

AB=12,BC=5,

AC=VAB2+BC2=7122+52=13-

故選D.

【點評】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟知等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)

是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題(每小題3分，24分)

11.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至

少需要2_米.

【考點】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】應(yīng)用題.

【分析】當?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定

理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可.

【解答】解：由勾股定理得：

樓梯的水平寬度=后二P=4,

.二地毯鋪滿樓梯是其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長度至少是3+4=7米.

故答案為7.

【點評】本題考查了勾股定理的知識，與實際生活相聯(lián)系，加深了學生學習數(shù)學的積極性.

12.在直角三角形ABC中，斜邊AB=2,則AB?+AC2+BC2=&

【考點】勾股定理.

【專題】計算題.

【分析】由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理根據(jù)斜邊AB的長，可得出AB的平

方及兩直角邊的平方和，然后將所求式子的后兩項結(jié)合，將各自的值代入即可求出值.

【解答】解：△ABC為直角三角形，AB為斜邊，

AC2+BC2=AB2,又AB=2,

AC2+BC2=AB2=4,

貝AB2+BC2+CA2=AB2+(BC2+CA2)=4+4=8.

故答案為：8

【點評】此題考查了勾股定理的運用，勾股定理為：直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角

邊的平方和，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

13.直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周長為24cm.

【考點】勾股定理.

【分析】設(shè)直角三角形的三邊邊長分別為2n-2,2n,2n+2,由勾股定理得：兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方，據(jù)此列出關(guān)于n的方程，求出符合題意n的值，即求出了直角三角形

的三邊長，之后求出周長即可.

【解答】解：設(shè)直角三角形的三邊邊長分別為2n-2,2n,2n+2.由勾股定理得：

(2n-2)2+(2n)2=(2n+2)

解得：n]=4,n2=0(不合題意舍去)，

即：該直角三角形的三邊邊長分別為6cm,8cm,10cm.

所以，其周長為6+8+10=24cm.

【點評】本題主要考查了運用直角三角形的性質(zhì)的能力，關(guān)鍵在于運用勾股定理得出三邊之

間的關(guān)系，根據(jù)題意求出三邊的邊長.周長=三邊之和，求出周長.

14.如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓

【考點】勾股定理.

【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，即可求出半圓的半徑，求出面積即可.

【解答】解：1,在AABC中，NC=90。，BC=3,AC=4,

?由勾股定理得：AB=5,

即半圓的半徑為,，

所以半圓的面積為\XHX(5)2=學兀，

228

故答案為：

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出半圓的半徑，注意：直角三角形

的外接圓的半徑等于斜邊的一半，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

15.如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹，相距12m,一棵樹高13m,另一棵樹高8m,一只小鳥從一

棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛11m.

【考點】勾股定理的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)"兩點之間線段最短"可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行，所行的路程

最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出.

【解答】解：兩棵樹高度相差為AE=13-8=5m,之間的距離為BD=CE=12m,即直角三角

形的兩直角邊，故斜邊長AC=Js2+122=13m,即小鳥至少要飛13m.

A

【點評】本題主要是將小鳥的飛行路線轉(zhuǎn)化為求直角三角形的斜邊，利用勾股定理解答即可.

16.如圖，△ABC中，NC=90。，AB垂直平分線交BC于D.若BC=8,AD=5,則AC等

于4.

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可求得BD的長，從而求得CD的長，再根據(jù)勾股定理

即可求得AC的長.

【解答】解：AB垂直平分線交BC于D,AD=5,

BD=AD=5,

BC=8,

CD=BC-BD=3,

AC=A/AD2-CD2=4>

故答案是：4.

【點評】本題考查了線段垂直平分線定理以及勾股定理.求得AD=BD是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,陰影部分的面積是

【考點】勾股定理；正方形的性質(zhì).

【專題】計算題.

【分析】在直角三角形ABE中，由AE與BE的長，利用勾股定理求出AB的長，由正方形

面積減去直角三角形面積求出陰影部分面積即可.

【解答】解：?「AE_LBE,NAEB=90。,

在RtAABE中，AE=3,BE=4,

根據(jù)勾股定理得：AB=^32+42=5,

=2-

則S陰影=S正方形-SAABE5-^x3x4=25-6=19,

故答案為：19.

【點評】此題考查了勾股定理，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

邊長為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為42cm2.

【考點】勾股定理.

【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于最

大正方形的面積.

【解答】解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，

故正方形A,B,C,D的面積之和=49cm2.

故答案為：49cm2.

【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉(zhuǎn)換.

三、解答題（共46分）

19.如圖，所示，四邊形ABCD中，AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,ZB=90",求該四邊

形的面積.

B

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【分析】由AB=4,BC=3,ZB=90°可得AC=5.可求得SAABC；再由AC=5,AD=13,CD=12,

可得△ACD為直角三角形，進而求得SAACD,可求S四邊形ABCD=SAABC+SAACD.

【解答】解：在RtAABC中，AB=4,BC=3,則有AC=C^7^=5.

SAABC=^AB?BC=fx4x3=6.

在△ACD中，AC=5,AD=13,CD=12.

AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.

AC2+CD2=AD2,AACD為直角三角形，

?SAACD=-^AC?CD=-ix5xl2=30.

S四邊形ABCD=SAABC+SAACD=6+30=36.

【點評】此題主要考查勾股定理和逆定理的應(yīng)用，還涉及了三角形的面積計算.

20.如圖，已知一等腰三角形的周長是16,底邊上的高是4.求這個三角形各邊的長.

A

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【分析】由于等腰三角形中底邊上的高平分底邊，故周長的一半為AB與BD的和，可設(shè)出

未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解.

【解答】解：設(shè)BD=x,貝|AB=8-x

由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2,也就是(8-X)2=X2+42,

x=3,

/.AB=AC=5,BC=6.

【點評】本題利用了等腰三角形的性質(zhì)：底邊上的高平分底邊，及勾股定理求解.

21.如圖所示的一塊地，ZADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求這塊地

的面積.

【考點】勾股定理的應(yīng)用；三角形的面積.

【專題】計算題.

【分析】連接AC,根據(jù)直角AACD可以求得斜邊AC的長度，根據(jù)AC,BC,AB可以判

定△ABC為直角三角形，要求這塊地的面積，求△ABC與△ACD的面積之差即可.

【解答】解：連接AC,

已知，在直角AACD中，CD=9m,AD=12m,

根據(jù)AD2+CD2=AC2,可以求得AC=15m,

在△ABC中，AB=39m,BC=36m,AC=15m,

存在AC2+CB2=AB2,

???AABC為直角三角形，

要求這塊地的面積，求^ABC和4ACD的面積之差即可,

S=SAABC-SAACD=^AC?BC--^CD?AD,

=—xl5x36--x9xl2,

22

=270-54,

=216m2,

答：這塊地的面積為216m2.

【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形面積的計算，本題中

正確的判定△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，一架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的

距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？

【考點】勾