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文檔簡介

武漢大學(xué)高數(shù)b2期末考試試題及答案

一、單項選擇題(每題2分,共10題)1.函數(shù)\(z=\ln(x+y)\)的定義域是()A.\(x+y\geq0\)B.\(x+y>0\)C.\(x+y\neq0\)D.\(x+y\leq0\)2.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為()A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為()A.1B.2C.3D.44.設(shè)\(f(x)\)的一個原函數(shù)為\(F(x)\),則\(\intf(x)dx\)等于()A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)5.已知\(z=x^2y\),則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于()A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)6.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為()A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.27.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是()A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對收斂的8.設(shè)\(A\)、\(B\)為兩事件,且\(P(A)=0.5\),\(P(B)=0.3\),\(P(AB)=0.1\),則\(P(A\cupB)\)等于()A.0.6B.0.7C.0.8D.0.99.函數(shù)\(y=e^{-x}\)的導(dǎo)數(shù)是()A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{x}\)D.\(-e^{x}\)10.已知\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù),且\(\int_{a}^f(x)dx=0\),則()A.\(f(x)\equiv0\)B.至少存在一點\(\xi\in(a,b)\),使得\(f(\xi)=0\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有零點D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒大于0二、多項選擇題(每題2分,共10題)1.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)連續(xù)的有()A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是求導(dǎo)公式()A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.關(guān)于定積分性質(zhì),正確的有()A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)(\(k\)為常數(shù))B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geqg(x)\)在\([a,b]\)上成立,則\(\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx\)4.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的必要條件有()A.\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.\(f_x(x_0,y_0)\)存在C.\(f_y(x_0,y_0)\)存在D.\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)5.下列級數(shù)中,收斂的有()A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)6.求不定積分\(\intf(x)dx\)的方法有()A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.比較積分法7.對于函數(shù)\(y=f(x)\),以下說法正確的有()A.\(f^\prime(x)>0\)時,函數(shù)單調(diào)遞增B.\(f^\prime(x)<0\)時,函數(shù)單調(diào)遞減C.\(f^{\prime\prime}(x)>0\)時,函數(shù)圖像下凸D.\(f^{\prime\prime}(x)<0\)時,函數(shù)圖像上凸8.已知\(A\)、\(B\)為事件,\(P(A)>0\),\(P(B)>0\),則()A.\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)B.\(P(AB)=P(B)P(A|B)\)C.若\(A\)、\(B\)相互獨立,則\(P(AB)=P(A)P(B)\)D.若\(A\)、\(B\)互斥,則\(P(AB)=0\)9.下列哪些是常見的向量運算()A.加法B.減法C.數(shù)乘D.點積10.函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有()A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)B.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)有極值三、判斷題(每題2分,共10題)1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處連續(xù)。()2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo),則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。()3.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)。()4.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x,y)\),\(f_y(x,y)\)都存在,則\(z=f(x,y)\)在該點可微。()5.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂,則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。()6.函數(shù)\(y=x^3\)的二階導(dǎo)數(shù)\(y^{\prime\prime}=6x\)。()7.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),與積分變量的符號無關(guān)。()8.若事件\(A\)與\(B\)對立,則\(P(A)+P(B)=1\)。()9.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)平行。()10.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)有唯一駐點,則該駐點一定是極值點。()四、簡答題(每題5分,共4題)1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答:對\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\),解得\(x<0\)或\(x>2\),此為單調(diào)遞增區(qū)間;令\(y^\prime<0\),解得\(0<x<2\),此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答:根據(jù)定積分運算法則,\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}1dx\)。\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}\),\(\int_{0}^{1}1dx=[x]_0^1=1\),所以結(jié)果為\(\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((1,2)\)處的全微分。答:先求偏導(dǎo)數(shù),\(z_x=2x\),\(z_y=2y\)。在點\((1,2)\)處,\(z_x(1,2)=2\),\(z_y(1,2)=4\)。全微分\(dz=z_xdx+z_ydy\),所以在該點\(dz=2dx+4dy\)。4.簡述判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂的比較判別法。答:若有兩個正項級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\),且\(0\leqa_n\leqb_n\)。當(dāng)\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)收斂時,\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂;當(dāng)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發(fā)散時,\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)發(fā)散。五、討論題(每題5分,共4題)1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的漸近線情況。答:垂直漸近線:令\(x^2-1=0\),得\(x=\pm1\),所以\(x=\pm1\)是垂直漸近線。水平漸近線:\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2-1}=0\),所以\(y=0\)是水平漸近線。不存在斜漸近線。2.討論多元函數(shù)可微、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系。答:可微能推出連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在;但連續(xù)推不出可微和偏導(dǎo)數(shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)存在也推不出可微和連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)能推出可微,可微只能推出偏導(dǎo)數(shù)存在但推不出偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。3.討論定積分在幾何和物理中的應(yīng)用。答:幾何上,可求平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積等。如由\(y=f(x)\),\(x=a\),\(x=b\),\(y=0\)圍成圖形面積\(S=\int_{a}^|f(x)|dx\)。物理上,可求變速直線運動路程、變力做功等,利用定積分元素法將問題分割求解。4.討論如何判斷一個級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂。答:先考慮級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\),若\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)收斂,則原級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)絕對收斂;若\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)發(fā)散,而\(\sum_{n=1}^{\infty}

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