2022-2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編：正弦定理與余弦定理的應(yīng)用（人教B版）

第1頁/共1頁2022-2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編正弦定理與余弦定理的應(yīng)用（人教B版）一、單選題1．（2024北京北師大附中高一下期末）在△中，則△的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形2．（2024北京懷柔高一下期末）已知在△中，，則判斷△的形狀（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．（2024北京順義高一下期末）一個(gè)人騎自行車由地出發(fā)向東騎行了到達(dá)地，然后由地向北偏西60°方向騎行了到達(dá)地，此時(shí)這個(gè)人由地到地位移的大小為，那么的值為（

）A．3 B．6 C．3或6 D．4．（2024北京海淀高一下期末）在△中，已知．則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，△是銳角三角形 B．當(dāng)時(shí)，△是直角三角形C．當(dāng)時(shí)，△是鈍角三角形 D．當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形5．（2024北京大興高一下期末）如圖，在測量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，測量者選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與，并測得，，在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高=（

）A． B．C． D．6．（2024北京房山高一下期末）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上由正東向正西方向行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上（即）．行駛300m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山頂D相對(duì)公路所在平面的高度（

）.A． B．100m C． D．7．（2023北京昌平高一下期末）如圖，測量河對(duì)岸的塔高此，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)與垂直于平面.現(xiàn)測得，并在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高（

）

A． B． C． D．8．（2023北京東城高一下期末）已知長方形墻把地面上兩點(diǎn)隔開，該墻與地面垂直，長10米，高3米．已測得米，米．現(xiàn)欲通過計(jì)算，能唯一求得兩點(diǎn)之間的距離，需要進(jìn)一步測量的幾何量可以為（

）

A．點(diǎn)到的距離 B．長度和長度C．和 D．長度和9．（2022北京海淀高一下期末）△中，分別是所對(duì)的邊，若，則此三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形10．（2022北京順義高一下期末）年月日起，新版《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》實(shí)施，根據(jù)該條例：小區(qū)內(nèi)需設(shè)置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發(fā)，向正東方向走了米，到達(dá)可回收垃圾桶，隨后向北偏西方向走了米，到達(dá)有害垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走（

）A．米 B．米 C．米 D．米11．（2022北京大興高一下期末）如圖，兩點(diǎn)在河的兩岸，在同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)，測得的距離，則兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．12．（2022北京平谷高一下期末）如圖，設(shè)，兩點(diǎn)在河的兩岸，在點(diǎn)所在的河岸邊選定一點(diǎn)，測出的距離為，，后，就可以計(jì)算出，兩點(diǎn)的距離為（

）（其中，，精確到）A． B． C． D．13．（2022北京第十二中學(xué)高一下期末）如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，，從點(diǎn)測得．已知山高，則山高（單位：）為（）A． B． C． D．二、填空題14．（2024北京海淀高一下期末）一名學(xué)生想測算某風(fēng)景區(qū)山頂上古塔的塔尖距離地面的高度，由于山崖下河流的阻礙，他只能在河岸邊制定如下測算方案：他在河岸邊設(shè)置了共線的三個(gè)觀測點(diǎn)A，B，C（如圖），相鄰兩觀測點(diǎn)之間的距離為200m，并用測角儀器測得各觀測點(diǎn)與塔尖的仰角分別為,,,根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該學(xué)生得到塔尖距離地面的高度為m．15．（2023北京懷柔高一下期末）神舟十五號(hào)返回艙于北京時(shí)間2023年6月4日6時(shí)在東風(fēng)著陸場成功著陸，著陸地點(diǎn)在航天搜救隊(duì)A組北偏東的方向60公里處，航天搜救隊(duì)B組位于A組東偏南的方向80公里處，則航天搜救隊(duì)B組距著陸點(diǎn)公里．16．（2023北京房山高一下期末）如圖所示，在傾斜角等于的山坡上有一根旗桿，當(dāng)太陽的仰角是時(shí)，旗桿在山坡上的影子的長是30米，則旗桿的高等于米.

17．（2022北京順義高一下期末）一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課的任務(wù)是測量操場上的國旗的高度，小明測量的數(shù)據(jù)如下：在水平地面上選取兩點(diǎn)，旗桿的底端為，在點(diǎn)處測得旗桿頂端的仰角為，兩點(diǎn)距離為，，.則小明測得旗桿的高度為（用表示）.18．（2022北京朝陽高一下期末）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)D．已知濕地夾在公路之間（的長度均超過），且．在公路上分別設(shè)有游客接送點(diǎn)E，F(xiàn)，．若要求觀景臺(tái)D建在E，F(xiàn)兩點(diǎn)連線的右側(cè)，并在觀景臺(tái)D與接送點(diǎn)E，F(xiàn)之間建造兩條觀光線路與，，則觀光線路與之和最長為．19．（2022北京房山高一下期末）如圖，甲船在A處，乙船在甲船正南方向距甲船海里的處，乙船以每小時(shí)海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時(shí)以每小時(shí)海里的速度由A處向南偏西方向行駛，則經(jīng)過小時(shí)后，甲、乙兩船相距最近．三、解答題20．（2024北京通州高一下期末）在△中，角所對(duì)的邊為，△的面積為S，且．(1)求角；(2)若，試判斷△的形狀，并說明理由．21．（2024北京大興高一下期末）記△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求；(2)若．（i）再從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．（ii）求△周長的取值范圍．22．（2023北京延慶高一下期末）已知△中，.(1)求；(2)求；(3)求的面積.23．（2023北京大興高一下期末）在△中，，是邊上的點(diǎn)，，．(1)求的大??；(2)求的值；(3)求的面積．24．（2023北京房山高一下期末）某城市計(jì)劃新修一座城市運(yùn)動(dòng)主題公園，該主題公園為平面五邊形（如圖所示），其中三角形區(qū)域?yàn)閮和顒?dòng)場所，三角形區(qū)域?yàn)槲乃嚮顒?dòng)場所，三角形區(qū)域?yàn)榍蝾惢顒?dòng)場所，為運(yùn)動(dòng)小道（不考慮寬度），，，.

(1)求的長度；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的長度；(3)在（2）的條件下，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使兒童活動(dòng)場所（即三角形）的面積最大？條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.25．（2023北京通州高一下期末）已知△中，．(1)求A的大??；(2)若D是邊AB的中點(diǎn)，且，求的取值范圍，26．（2022北京第十二中學(xué)高一下期末）已知△中，點(diǎn)在邊上，，，(1)若，求的值；(2)求的最小值.27．（2022北京西城高一下期末）在△中，，，從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為題目的已知條件.(1)求的值；(2)求△的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

參考答案1．C【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用余弦定理推理判斷即得.【詳解】在△中，，則，由余弦定理得，即，而，于是，即，所以△是等邊三角形.故選：C2．C【分析】利用余弦定理可得答案.【詳解】由余弦定理得，所以，可得，所以△是直角三角形.故選：C.3．C【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用余弦定理列式求解即得.【詳解】在△中，，由余弦定理得，即，整理得，解得或.故選：C

4．B【分析】根據(jù)邊長應(yīng)用正弦定理計(jì)算分別判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A:因?yàn)橛烧叶ɡ?當(dāng)時(shí)，△是鈍角三角形,當(dāng)時(shí)，△是鈍角三角形,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B:因?yàn)?由,所以△是直角三角形,B選項(xiàng)正確；對(duì)于C:因?yàn)?由當(dāng)時(shí)，,△是銳角三角形,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D:因?yàn)?由,,,因?yàn)椋浴鞑皇堑妊切?D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.5．C【分析】先根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而在中，利用求解．【詳解】在中，，，則，由正弦定理得，所以.在中，，所以.故選：C.6．C【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.【詳解】由題意，而，由正弦定理可得，即，解得，注意到，從而.故選：C.7．C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解作答.【詳解】在中，，則，由正弦定理得：，于是，在中，，因此，所以塔高故選：C8．D【分析】由已知可知△中三邊是已知的，所以三個(gè)角可求解出來，連接，在或中求解，然后逐個(gè)分析判斷.【詳解】連接，在△中，，，，所以，所以，，對(duì)于A，若測量點(diǎn)到的距離，則在或中只有一條邊長度是已知，無法求解的長，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若測量長度和長度，則在中有兩邊長度是已知，或中只有一條邊長度是已知，無法求解的長，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若測量和，則在或中只有一條邊是已知，無法求解的長，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若測量長度和，則在中，可求出，而，所以由余弦定理得，從而可求出，所以D正確，故選：D

9．D【分析】由正弦定理化邊為角，后由二倍角公式變形，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，是△的?nèi)角，所以或，所以或，即△是等腰三角形或直角三角形，故選：D．10．A【分析】由三角形中余弦定理即可求解.【詳解】如圖：在中，,由余弦定理得：.故選：A11．D【分析】根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理，，故m故選：D12．C【分析】由正弦定理求解即可【詳解】由題意可知，由正弦定理可知，即，解得，故選：C13．A【分析】計(jì)算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可計(jì)算出.【詳解】在中，，為直角，則，在中，，，則，由正弦定理，可得，在中，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查測量高度問題，考查正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14．【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系表示邊長，再根據(jù)余弦定理求解.【詳解】由題意可知，，，，，設(shè)，則，，，根據(jù)，則，解得：所以塔尖距離底面的高度為米.故答案為：15．【分析】根據(jù)題意做出數(shù)學(xué)模型圖，根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】

記著陸點(diǎn)為點(diǎn)C，如圖，公里，公里，，，，在中，由余弦定理得，解得公里.故答案為：.16．【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.【詳解】如圖，，則，，米，由正弦定理，即，解得.

故答案為：17．/【分析】畫出圖形，根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得即可【詳解】由題意如圖，因?yàn)椋?，由正弦定理，?又，故為等腰直角三角形，故，即旗桿的高度為故答案為：18．4【分析】利用余弦定理得到關(guān)于與的方程，借助基本不等式求的最大值.【詳解】在中，；在中，設(shè)，由余弦定理可得：，即：，即，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值4，即與之和最長為4.故答案為：4.19．【分析】設(shè)經(jīng)過小時(shí)后，甲船和乙船分別到達(dá)兩點(diǎn)，分別求出，再利用余弦定理結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】解：設(shè)經(jīng)過小時(shí)后，甲船和乙船分別到達(dá)兩點(diǎn)，則，，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值，此時(shí)甲、乙兩船相距最近，所以經(jīng)過小時(shí)后，甲、乙兩船相距最近．故答案為：.20．(1)(2)等腰直角三角形，理由見解析【分析】（1）應(yīng)用面積公式及余弦定理得出正切進(jìn)而得出角；（2）先應(yīng)用正弦定理及兩角和差的正弦公式化簡得出，結(jié)合判斷三角形形狀即可.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，則，整理得，且，所以.（2）由正弦定理得,,,,于是,又，故，所以或，因此（舍去）或，所以.是等腰直角三角形.21．(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用正弦定理邊化角化簡得，計(jì)算即得．（2）（i）選擇條件①利用正弦定理計(jì)算判斷三角形不唯一；，選擇條件②，利用余弦定理及三角形面積公式計(jì)算求解；選擇條件③，利用正弦定理計(jì)算判斷，再求出三角形面積；（ii）利用余弦定理及基本不等式計(jì)算即可.【詳解】（1）由可得,因?yàn)樵凇髦?，所以，即，因?yàn)锽∈0,π，所以.（2）（i）若選條件①，結(jié)合（1）及，由正弦定理,可得，則滿足條件的三角形不存在，故不能選條件①，若選條件②：，結(jié)合（1）及，由余弦定理，可得，解得，易知，故此時(shí)滿足條件的三角形唯一.所以.若選條件③：，結(jié)合（1）及，因?yàn)?所以為銳角,由,可得，因?yàn)樵凇髦兴?易知滿足條件的三角形唯一.由正弦定理,可得,所以.（ii）由余弦定理，可得，結(jié)合基本不等式，可得，解得：,當(dāng)且僅當(dāng)，原式取等.又在△中易得.所以△周長.△周長的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解對(duì)邊對(duì)角模型問題中的周長或面積范圍時(shí)常見有2種方法：（1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性質(zhì)，進(jìn)行適當(dāng)放縮；（2）利用正弦定理邊化角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問題.22．(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求解即可；（3）由三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由正弦定理可得：，即，所以.（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?，即，即，解得：，因?yàn)?，所?（3）△的面積.23．(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；（2）令，依題意可得，表示出，，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式展開，即可求出；（3）首先由利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，又，所?（2）如圖，令，因?yàn)?，所以，所以，，，在中，由正弦定理得，即，所以，即，所以，解得，?

（3）由，所以.24．(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，兒童活動(dòng)場所（即三角形）的面積最大【分析】（1）在中，利用余弦定理可直接求解；（2）若選①，在中，利用余弦定理構(gòu)造方程求解；若選②，利用勾股定理直接求解；（3）在中，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，.（2）若選條件①，由（1）知：，在中，由余弦定理得：，解得：（舍）或，；若選條件②，，，，，.（3）在中，由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），；即當(dāng)時(shí)，兒童活動(dòng)場所（即三角形）的面積最大.25．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理得到，即可求出；（2）設(shè)，利用正