數(shù)學(xué)發(fā)展史教案

數(shù)學(xué)發(fā)展史和三大數(shù)學(xué)危機(jī)(2個(gè)課時(shí))數(shù)學(xué)的發(fā)展包括數(shù)學(xué)的萌芽期、常量數(shù)學(xué)時(shí)期、變量數(shù)學(xué)時(shí)期、近代數(shù)學(xué)時(shí)期。一、數(shù)學(xué)的萌芽期（小學(xué)數(shù)學(xué)）主要以記數(shù)為主，還未形成獨(dú)立的學(xué)科。這一時(shí)期貢獻(xiàn)最大的國(guó)家有：中國(guó)，古巴比倫，埃及，印度。主要貢獻(xiàn)：十進(jìn)制記數(shù)法，記數(shù)符號(hào)，三角形、梯形和圓的面積的計(jì)算，立方體和柱體的體積，截棱錐體的體積公式等。二、常量數(shù)學(xué)時(shí)期（中學(xué)數(shù)學(xué)）這一時(shí)期又稱為初等數(shù)學(xué)時(shí)期，主要發(fā)展了算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何（平面幾何和立體幾何）等。主要代表人物:畢達(dá)哥拉斯、祖沖之、楊輝、笛卡兒、韋達(dá)等。三、變量數(shù)學(xué)時(shí)期（大學(xué)數(shù)學(xué)）這一時(shí)期又稱為高等數(shù)學(xué)時(shí)期。主要?jiǎng)?chuàng)立了解析幾何和微積分，這是數(shù)學(xué)史上最偉大的貢獻(xiàn)。主要代表人物：牛頓、萊布尼茨、歐拉、拉格朗日、高斯、傅里葉。四、近代數(shù)學(xué)時(shí)期（數(shù)學(xué)研究）20世紀(jì)40-50年代，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和非歐幾何的建立，使整個(gè)數(shù)學(xué)王國(guó)蓬勃發(fā)展。主要貢獻(xiàn)：1.純數(shù)學(xué)方面：拓?fù)鋵W(xué)（也稱位置幾何學(xué)、橡皮幾何學(xué)。畫在橡皮上的幾何圖形，圖中的某些性質(zhì)不變，如封閉性等）、泛函分析、抽象代數(shù)等。2.應(yīng)用數(shù)學(xué)方面：非標(biāo)準(zhǔn)分析、模糊數(shù)學(xué)、突變理論、計(jì)算機(jī)理論、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法、對(duì)策論（博奕論）、排隊(duì)論等。主要代表人物：黎曼、馮.諾依曼、華羅庚、陳省身。剛才給大家簡(jiǎn)單介紹了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史，實(shí)際上，數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，并不是一帆風(fēng)順的，其中至少面臨了3次大的危機(jī)。第一次是公元前5世紀(jì)（距今約2500年），古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的理論被推翻；第二次危機(jī)是17世紀(jì)，微積分理論的基礎(chǔ)受到質(zhì)疑；第三次是19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家羅素提出了集合理論的悖論。首先，我們來(lái)看一下第一次數(shù)學(xué)危機(jī)——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的理論被推翻。生平軼事：畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他出生在愛琴海中的薩摩斯島（現(xiàn)在希臘東部小島）的貴族家庭，自幼聰明好學(xué)。相傳他小時(shí)候有一次背著木柴從街上走過(guò)，一位長(zhǎng)者看見他捆柴的方法與別人不同，便說(shuō)：“這孩子有數(shù)學(xué)奇才，將來(lái)會(huì)成為一個(gè)大學(xué)者?！碑呥_(dá)哥拉斯特別向往東方的智慧，經(jīng)過(guò)萬(wàn)水千山，游歷了當(dāng)時(shí)世界上兩個(gè)文化水準(zhǔn)極高的文明古國(guó)——古巴比倫和古印度，吸收了阿拉伯文明和印度文明的文化。后來(lái)他就到意大利的南部傳授數(shù)學(xué)及宣傳他的哲學(xué)思想，并和他的信徒們組成了一個(gè)所謂集政治和宗教于一身的團(tuán)體——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。畢達(dá)哥拉斯在那個(gè)時(shí)代是一位思想非常進(jìn)步的學(xué)者：因?yàn)樗试S婦女來(lái)聽他的課。他認(rèn)為婦女和男人一樣都有求知的權(quán)利，因此他的學(xué)派中就有十多名女學(xué)者，這是其他學(xué)派所沒有的現(xiàn)象。他認(rèn)為每一個(gè)人都應(yīng)該懂一些數(shù)學(xué)幾何知識(shí)。有一次他看到一個(gè)窮人，他想教他學(xué)習(xí)幾何，因此對(duì)這個(gè)人說(shuō)：如果你能學(xué)懂一個(gè)定理，那么我就給你三塊銀幣。這個(gè)人看接著我們來(lái)看數(shù)學(xué)史上的第二次大危機(jī)——微積分的基礎(chǔ)受到質(zhì)疑。微積分的概念：以大家熟悉的速度路程問(wèn)題來(lái)看，一輛小汽車在一段顛簸不平的路上行走，每時(shí)每刻的速度其實(shí)都是不一樣的，微分學(xué)就是把車子走過(guò)的路程分成無(wú)窮多個(gè)小段（無(wú)窮小量，趨近于0但不等于0，像劃分一根1米長(zhǎng)的繩子，每次減掉繩子的1/2,劃分無(wú)數(shù)次以后剩下的長(zhǎng)度就是一個(gè)大于0的無(wú)窮小量），然后計(jì)算車子在經(jīng)過(guò)每一個(gè)小段（無(wú)窮小量）時(shí)的速度的過(guò)程。積分學(xué)就是將這些無(wú)窮多個(gè)小段加總起來(lái)后得到車子行駛的總路程的問(wèn)題，微分學(xué)和積分學(xué)可以簡(jiǎn)單看做一組逆運(yùn)算。微積分理論可以計(jì)算出物體任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度（解決“0/0沒有意義，但是物體每一個(gè)時(shí)刻都是有速度”的問(wèn)題，可適當(dāng)引導(dǎo)），還可以計(jì)算曲線（畫一條曲線）的長(zhǎng)度、曲面的面積等等，有了微積分，我們就可以推斷輪船、火箭、衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡。微積分理論的創(chuàng)建者：牛頓（英國(guó)人）和萊布尼茲（德國(guó)人）。左邊是牛頓，右邊是萊布尼茲，外國(guó)人都長(zhǎng)得長(zhǎng)不多（哈哈哈）。關(guān)于他們倆誰(shuí)先創(chuàng)立的微積分理論，還有一段有名的爭(zhēng)論。1665年夏天，因?yàn)橛?guó)爆發(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時(shí)關(guān)閉。剛剛獲得學(xué)士學(xué)位、準(zhǔn)備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農(nóng)場(chǎng)住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對(duì)三大運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律和光學(xué)的研究都開始于這個(gè)時(shí)期。在研究這些問(wèn)題過(guò)程中他發(fā)現(xiàn)了他稱為“流數(shù)術(shù)”的微積分。他在1666年寫下了一篇關(guān)于流數(shù)術(shù)的短文，之后又寫了幾篇有關(guān)文章。但是這些文章當(dāng)時(shí)都沒有公開發(fā)表，只是在一些英國(guó)科學(xué)家中流傳。而首次發(fā)表有關(guān)微積分研究論文的是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發(fā)現(xiàn)了微積分，但是也不急于發(fā)表，只是在手稿和通信中提及這些發(fā)現(xiàn)。1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對(duì)微分的發(fā)現(xiàn)。兩年后，他又發(fā)表了有關(guān)積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動(dòng)下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時(shí)，已有微積分的教科書出版。起初沒有人來(lái)爭(zhēng)奪微積分的發(fā)現(xiàn)權(quán)。1699年，移居英國(guó)的一名瑞士人一方面為了討好英國(guó)人（牛頓是英國(guó)人），另一方面由于與萊布尼茨的個(gè)人恩怨，指責(zé)萊布尼茨的微積分是剽竊自牛頓的流數(shù)術(shù)，但此人并無(wú)威望，遭到萊布尼茨的駁斥后，就沒了下文。1704年，牛頓首次完整地發(fā)表了其流數(shù)術(shù)。當(dāng)年出現(xiàn)了一篇匿名評(píng)論，反過(guò)來(lái)指責(zé)牛頓的流數(shù)術(shù)是剽竊自萊布尼茨的微積分。于是究竟是誰(shuí)首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個(gè)需要解決的問(wèn)題了。1711年，英國(guó)王家學(xué)會(huì)組成了一個(gè)委員會(huì)調(diào)查此事，在次年發(fā)布的調(diào)查報(bào)告中認(rèn)定牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分，并譴責(zé)萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時(shí)牛頓是王家學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)，雖然在公開的場(chǎng)合假裝與這個(gè)事件無(wú)關(guān)，但是這篇調(diào)查報(bào)告其實(shí)是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長(zhǎng)篇文章。當(dāng)然，爭(zhēng)論并未因?yàn)檫@個(gè)英國(guó)王家學(xué)會(huì)的調(diào)查報(bào)告而平息。事實(shí)上，這場(chǎng)爭(zhēng)論一直延續(xù)到了現(xiàn)在。后人通過(guò)研究萊布尼茨的手稿發(fā)現(xiàn)，萊布尼茨和牛頓是從不同的思路創(chuàng)建微積分的：牛頓是為解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，先有微分概念，后有積分概念；萊布尼茨則反過(guò)來(lái)，先有積分概念，后有微分概念。牛頓僅僅是把微積分當(dāng)做物理研究的數(shù)學(xué)工具，而萊布尼茨則意識(shí)到了微積分將會(huì)給數(shù)學(xué)帶來(lái)一場(chǎng)革命。實(shí)際上，如果這個(gè)事件發(fā)生在現(xiàn)在的話，萊布尼茨會(huì)毫無(wú)爭(zhēng)議地被視為微積分的創(chuàng)建者，因?yàn)楝F(xiàn)在的學(xué)術(shù)界遵循的是誰(shuí)先發(fā)表誰(shuí)就擁有發(fā)現(xiàn)權(quán)的原則，反對(duì)長(zhǎng)期對(duì)科學(xué)發(fā)現(xiàn)秘而不宣。牛頓與萊布尼茨之爭(zhēng)，演變成了英國(guó)科學(xué)界與德國(guó)科學(xué)界、乃至英國(guó)科學(xué)界與整個(gè)歐洲大陸科學(xué)界的對(duì)抗。英國(guó)數(shù)學(xué)家此后在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不愿接受歐洲大陸數(shù)學(xué)家的研究成果。這使得英國(guó)的數(shù)學(xué)研究停滯了一個(gè)多世紀(jì)。雖然說(shuō)“科學(xué)沒有國(guó)界，但是科學(xué)家有祖國(guó)”（巴斯德語(yǔ)），但是讓民族主義干擾了科學(xué)研究，就很容易變成了科學(xué)也有國(guó)界，被排斥于國(guó)際科學(xué)界之外，反而妨礙了本國(guó)的科學(xué)發(fā)展。微積分理論的缺陷——不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊，所謂基礎(chǔ)不牢、地動(dòng)山搖，隨著微積分理論的不斷發(fā)展，基礎(chǔ)不明確的問(wèn)題嚴(yán)重制約了微積分的進(jìn)一步發(fā)展，也引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)。危機(jī)的解決者，微積分的收官人——柯西。1821年，柯西提出極限定義的方法，把極限過(guò)程用不等式來(lái)刻畫，通過(guò)柯西等人的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格的論述。從而結(jié)束了微積分二百年來(lái)思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對(duì)幾何概念、運(yùn)動(dòng)和直觀了解的完全依賴中解放出來(lái)，并使微積分發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科。人物生平：柯西（1789-1857），出生于巴黎，他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很高的建樹和造詣。很多數(shù)學(xué)的定理和公式都是以他的名字來(lái)命名的，比如柯西不等式、柯西積分公式等?？挛髟趯W(xué)生時(shí)代，有個(gè)綽號(hào)叫“苦瓜”，因?yàn)樗匠Ｏ褚活w苦瓜一樣，靜靜地不說(shuō)話，如果說(shuō)了什么，也很簡(jiǎn)短，令人摸不著頭緒。天才往往是孤獨(dú)的，柯西的朋友很少，只有一群妒嫉他聰明的人。當(dāng)時(shí)法國(guó)正在流行社會(huì)哲學(xué)，而柯西工作之余?？吹臅瑓s是數(shù)學(xué)家拉格朗日寫的的數(shù)學(xué)書，還有靈修書籍《效法基督》，這使他有了另一個(gè)外號(hào)“腦筋劈哩啪啦叫的人”，也就是神經(jīng)病的意思。但是性格孤僻并不妨礙他在數(shù)學(xué)上取得的豐功偉績(jī)，傳說(shuō)柯西年輕的時(shí)候向巴黎科學(xué)院投寄論文，他的論文寫得非?？?、非常多，當(dāng)時(shí)的印刷廠為了印制這些論文，搶購(gòu)了當(dāng)時(shí)巴黎市面上所有店鋪的紙張，使得市面上紙張短缺，紙價(jià)大增，印刷廠成本上升（洛陽(yáng)紙貴的故事），于是法國(guó)科學(xué)院要求發(fā)表的論文每篇篇幅不得超過(guò)4頁(yè)，導(dǎo)致柯西不少長(zhǎng)篇論文不能在法國(guó)發(fā)表，只能在其他國(guó)家發(fā)表?？挛鞯奶觳藕团?，使他完美地解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，成為了微積分理論的收官之人，對(duì)人類科學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。下面，我們接著講數(shù)學(xué)史上的第三次大危機(jī)——羅素提出了集合理論的著名悖論——“羅素悖論”。首先我們來(lái)了解一下集合理論：學(xué)校圖書館的所有書籍是一個(gè)集合，其中每一本書是集合中的一個(gè)成員，我們把集合的成員稱為元素。我們班上所有同學(xué)也構(gòu)成一個(gè)集合，而你們每一個(gè)讓你就是這個(gè)班集體的成員，也是班級(jí)這個(gè)集合的元素。集合理論的發(fā)明者——康托爾（1845-1918）：康托爾是德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人?？低袪枑酆脧V泛，極有個(gè)性，終身信奉宗教。早期在數(shù)學(xué)方面的興趣是數(shù)論，由于研究無(wú)窮理論時(shí)往往推出一些合乎邏輯但又荒謬的結(jié)果（稱為“悖論”），許多大數(shù)學(xué)家唯恐陷入進(jìn)去而采取退避三舍的態(tài)度。在1874-1876年期間，不到30歲的年輕德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾向神秘的無(wú)窮宣戰(zhàn)，他靠著辛勤的汗水，成功的證明了一條直線上的點(diǎn)能夠和一個(gè)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，也能和空間中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，這樣看起來(lái)，1厘米長(zhǎng)的線段內(nèi)的點(diǎn)與太平洋中的點(diǎn)，以及整個(gè)地球內(nèi)部的點(diǎn)都“一樣多”，后來(lái)幾年，康托爾對(duì)這類“無(wú)窮集合”問(wèn)題發(fā)表了一系列文章，通過(guò)嚴(yán)格證明得出了許多驚人的結(jié)論。由于學(xué)術(shù)觀點(diǎn)上受到的沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥，雖在1887年恢復(fù)了健康，繼續(xù)工作，但晚年一直病魔纏身。真金不拍火煉，康托爾的思想終于大放光彩，1897年舉行的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，他的成就得到承認(rèn)。羅素悖論的提出。1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問(wèn)：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定相關(guān)書籍的集合，問(wèn)是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問(wèn)題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無(wú)論如何都是矛盾的。羅素的故事：在一個(gè)村子里，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)?！庇腥藛?wèn)他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無(wú)言以對(duì)。這是一個(gè)矛盾推理：如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，他就屬于招牌上的那一類人。有言在先，他應(yīng)該給自己理發(fā)。反之，如果這個(gè)理發(fā)師給他自己理發(fā)，根據(jù)招牌所言，他只給村中不給自己理發(fā)的人理發(fā)，他不能給自己理發(fā)。因此，無(wú)論這個(gè)理發(fā)師怎么回答，都不能排除內(nèi)在的矛盾。這個(gè)悖論是羅素在一九○二年提出來(lái)的，所以又叫“羅素悖論”。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節(jié)的表述。顯然，這里也存在著一個(gè)不可排除的“自指”問(wèn)題?？偨Y(jié)：整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史其實(shí)就是一部“危機(jī)”的發(fā)生和解決史，每一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決都無(wú)一例外推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的巨大進(jìn)步。著名數(shù)學(xué)家華