四川省南充市西充中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

四川省南充市西充中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知函數(shù)，則（

）A．0 B．-1 C．1 D．-22．書架的第1層放有3本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為（

）A．3 B．8 C．12 D．183．?dāng)?shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．4 D．84．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．5．要讓如圖所示的電路在只合上兩個(gè)開關(guān)的情況下正常工作，不同方法種數(shù)為（

）A．10 B．8 C．6 D．56．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．13 B．45 C．104 D．1307．已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A．4 B．8 C．12 D．16二、多選題9．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．10．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值11．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則正確的選項(xiàng)是（

）．A．B．C．D．三、填空題12．已知等比數(shù)列的前2項(xiàng)和為2，，則公比q的值為．13．函數(shù)的極值點(diǎn)為.14．若對任意的正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則m的取值范圍．四、解答題15．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．且滿足．（1）求，值；（2）證明數(shù)列為等比數(shù)列并求其通項(xiàng)公式．17．已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前n項(xiàng)和．18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求過原點(diǎn)的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.19．已知函數(shù)(1)求的極值；(2)證明：．

參考答案1．【答案】A【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選A2．【答案】B【詳解】書架的第1層放有3本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為.故選B.3．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選C.4．【答案】D【詳解】∵，∴，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，故，∴.故選D.5．【答案】C【詳解】依題意，在左邊并聯(lián)的兩個(gè)開關(guān)中任取1個(gè)合上，再在右邊并聯(lián)的三個(gè)開關(guān)中任取1個(gè)合上，電路正常工作，所以不同方法種數(shù)為.故選C6．【答案】C【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.故選C.7．【答案】B【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果【詳解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足上式，所以.故選B.8．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，所以，故的最大值為，故選D9．【答案】ABC【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯(cuò)誤．故選ABC．10．【答案】AD【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故A正確；所以函數(shù)在處取得極大值，不是極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選AD.11．【答案】AC【詳解】由題意可知：，于是有，，即，由累加法可知，顯然可得：，A選項(xiàng)正確，，B選項(xiàng)不正確；，由錯(cuò)位相減可得，C選項(xiàng)正確；令，∵，即，∴，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】【詳解】依題意，，由，得，所以13．【答案】【詳解】確定定義域：由于包含函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得：在內(nèi),單調(diào)遞減；在內(nèi),單調(diào)遞增.是函數(shù)的極小值點(diǎn)，沒有其它極值點(diǎn).14．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，而為正實(shí)數(shù)，則，令，于是，依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，因此，，而函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得，所以m的取值范圍是.15．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是：和，單調(diào)減區(qū)間是：；（2）最小值為，最大值為.【詳解】（1）由，可得：，，由，可得：或；由，可得：；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：和，單調(diào)減區(qū)間是：；（2）由（1）知：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為：單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以最小值為，又，所以最大值為.所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.16．【答案】（1），；（2）證明見解析，.【詳解】（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由得，解得，，解得，所以，.（2）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，由，得，由成等比數(shù)列，得，即，則，整理得，而，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，則，因此，兩式相減得，則，所以的前n項(xiàng)和.18．【答案】（1）（2）答案見解析【詳解】（1）由題意知，的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即，又因?yàn)榍芯€過，代入切線方程得，即，解得，所以切線方程為.（2），當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.19．【答案】(1)極大值為，極小值為(2)證明見解析【詳解】（1），令，解得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，