《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性》教學(xué)設(shè)計二VIP

2/2《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性》教學(xué)設(shè)計二教學(xué)設(shè)計一、實(shí)例引入一個人帶著一匹狼、一只羊和一棵白菜，身處河的一岸他要把這些東西全部運(yùn)到對岸.他面前只有一條小船，船小到只能容下他和一件物品，另外船必須有人劃.而且，因為狼能吃羊，而羊愛吃白菜，所以人不能留下羊和白菜或者狼和羊單獨(dú)在河的一邊.問題：觀察下列兩組畫面，請你推斷一下，哪一組一定能說明小羊已經(jīng)成功過河？（兩個小羊的圖片分別表示過河前、過河后的位置）設(shè)計意圖：從學(xué)生耳熟能詳?shù)墓适氯胧郑ぐl(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.二、新知探究探究1：函數(shù)零點(diǎn)的概念.（1）求函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求方程的根.（2）求函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求方程的根.（3）求函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求方程的根.設(shè)計意圖：經(jīng)歷由特殊到一般的過程，讓學(xué)生能自主得出結(jié)論：函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，從而形成概念.函數(shù)的零點(diǎn)：使得的數(shù)稱為方程的解，也稱為函數(shù)的零點(diǎn).形成概念后，通過實(shí)例理解概念，使學(xué)生清晰地認(rèn)識到，函數(shù)的零點(diǎn)是具體的自變量的取值，而不是一個點(diǎn).想一想：以下三個結(jié)論有怎樣的相關(guān)性？設(shè)計意圖：讓學(xué)生明白有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，有些函數(shù)問題也可轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，這正是方程與函數(shù)思想的重要所在.探究2：零點(diǎn)存在定理.設(shè)問1：如果將河流抽象成x軸，將小羊前后的兩個位置抽象為A，B兩點(diǎn).請問當(dāng)點(diǎn)A，B與x軸滿足怎樣的位置關(guān)系時，AB間的一段連續(xù)函數(shù)圖象與x軸一定有交點(diǎn)（即小羊的運(yùn)動軌跡一定經(jīng)過小河）？并畫出函數(shù)圖象.設(shè)問2：結(jié)合所畫圖象，試用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言表述：小羊在什么情況下一定能成功過河呢？設(shè)計意圖：引入故事，激發(fā)學(xué)生的探究熱情.學(xué)生通過動手畫圖，會發(fā)現(xiàn)無論圖象怎么畫，一定會有零點(diǎn)，從幾何直觀上感覺和認(rèn)識零點(diǎn)的概念，并發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)的判定方法此操作起到承上啟下的作用.當(dāng)A，B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)時，可能會出現(xiàn)以下情形：當(dāng)A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)時，可能會出現(xiàn)以下情形：學(xué)生通過畫圖，不難發(fā)現(xiàn)，第I組能說明小羊在行程中一定成功過河（因為A，B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)），而第Ⅱ組中小羊在行程中就不一定能成功過河（因為A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)）零點(diǎn)存在定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù)，即，則在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)至少有一個零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的方程至少有一個解.這里說“若，則在開區(qū)間內(nèi)，方程至少有一個實(shí)數(shù)解”，指出了方程的實(shí)數(shù)解的存在性，并不能判斷具體有多少個實(shí)數(shù)解.三、例題講解例1、已知函數(shù)，問：方程在區(qū)間內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解？為什么？活動：學(xué)生回想判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法：解方程法和定理法由于本題中方程無法解，故用定理法，判斷是否成立.解：因為在區(qū)間上有，，函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線，所以由零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解.設(shè)計意圖：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念及其判斷方法.當(dāng)無法解方程時，通常用定理法判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性.變式訓(xùn)練：1.判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù).解：通過分類討論把絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如圖所示.函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn).2.求證：函數(shù)有兩個零點(diǎn).證法一：因為一元二次方程的判別式，所以一元二次方程有兩個不相等的實(shí)根.所以函數(shù)有兩個零點(diǎn).證法二：因為一元二次方程可化為，所以一元二次方程有兩個不相等的實(shí)根.所以函數(shù)有兩個零點(diǎn).證法三：如圖，因為函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線，且頂點(diǎn)在x軸的下方，，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn).設(shè)計意圖：判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)可以結(jié)合函數(shù)的圖象.方法：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)對應(yīng)的方程的根函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.例2判定方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且一個根大于5，另一個根小于2..分析：轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在和內(nèi)各有一個零點(diǎn).解：設(shè)函數(shù)，顯然有.畫出函數(shù)的圖象（如圖），觀察得，.在區(qū)間和內(nèi)分別應(yīng)用零點(diǎn)存在定理，可知在區(qū)間和內(nèi)，這個一元二次方程各有一個實(shí)數(shù)根（如圖）.所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且一個根大于5，另一個根小于2.變式訓(xùn)練：關(guān)于x的方程的兩個根一個大于，另一個小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)，其圖象為開口向上的拋物線（示意圖如圖所示）.因為方程的兩個根一個大于2，另一個小于2，所以函數(shù)的零點(diǎn)一個大于2，另一個小于2，即函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)（如上圖）.故只需，即，所以.鞏固練習(xí)：1.判定下列方程在指定區(qū)間內(nèi)是否存在實(shí)數(shù)解，并說明理由：（1）在區(qū)間內(nèi)；（2）在區(qū)間內(nèi).2.判定下列方程存在幾個實(shí)數(shù)解，并分別給出每個解的存在區(qū)間：（1）；（2）.四、課堂小結(jié)函數(shù)的零點(diǎn)的概念、零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解之間的關(guān)系.1.求函數(shù)的零點(diǎn)時，通常轉(zhuǎn)化為解方程，若方程有實(shí)數(shù)解，則函數(shù)存在零點(diǎn)，該方程的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)的零點(diǎn)；否則，函數(shù)不存在零點(diǎn).2.函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定方法：（1）直接求零點(diǎn)：令，若能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn).（2）利用零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在上是一條連續(xù)的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如單調(diào)性）才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn).（3）利用圖象的交點(diǎn)：對于含有指數(shù)、對數(shù)、冪這類較為復(fù)雜的題目，可以利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合單調(diào)性來判定零點(diǎn)的個數(shù)，也可以轉(zhuǎn)化成求基本初等函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是的零點(diǎn).3.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個步驟：（1）代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值.（2）判號：把所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷.（3）結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)、連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)；若符號為負(fù)且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn).五、布置作業(yè)教材第130頁練習(xí)第2，3題.板書設(shè)計1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性一、實(shí)例引入二、新知探究1.函數(shù)的零點(diǎn)的定義使得的數(shù)稱為方程的解，也稱為函數(shù)的零點(diǎn)2.零點(diǎn)存在定理若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù)，即，則在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)至少有一個零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的方程至少有一個解三、例題講解例1例2四、課堂小結(jié)1.求函數(shù)的零點(diǎn)時，通常轉(zhuǎn)化為解方程，若方程有實(shí)數(shù)解，則函數(shù)存在零點(diǎn)，該方程的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)的零點(diǎn)；否則，函數(shù)不存在零點(diǎn)2.函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定方法3.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個步驟五、布置作業(yè)教學(xué)研討結(jié)果因過程而精彩，現(xiàn)象因方法而生動.學(xué)習(xí)是人們對知識內(nèi)化的過程，只有學(xué)生通過自己去探索發(fā)現(xiàn)，積極思考，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，才能更好地促進(jìn)他們自身素質(zhì)與能力的提高.因此，本案例利用故事創(chuàng)設(shè)逼真的教學(xué)環(huán)境，以問題為主，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、回答問題，充分激發(fā)