搶分秘籍09 圓中證切線、求弧長、求扇形面積問題-中考《數(shù)學(xué)》沖刺搶分押題秘籍（全國卷）VIP

PAGE1搶分秘籍09圓中證切線、求弧長、求扇形面積問題目錄【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】圓中求角的度數(shù)【題型二】圓中求線段的長【題型三】圓中求弧長、面積【題型四】圓與正多邊形【題型五】證切線與求線段、半徑綜合【題型六】證切線與求弧長、面積綜合【題型七】圓中尺規(guī)作圖與無刻度作圖問題【題型八】圓與（特殊）平行四邊形綜合問題【題型九】生活中的實(shí)物抽象出圓的綜合問題【題型十】圓中動(dòng)點(diǎn)探究型問題【題型十一】圓中新定義探究綜合問題【題型十二】圓與函數(shù)的綜合問題：圓中證切線、求弧長、求扇形面積問題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，證切線為高頻考點(diǎn)，常結(jié)合判定定理；弧長、扇形面積計(jì)算屬基礎(chǔ)高頻，多與圓心角、半徑關(guān)聯(lián)。2．從題型角度看，證切線多為解答題，需邏輯推理；弧長、面積計(jì)算含選擇、填空及綜合題，常需公式運(yùn)用與幾何分析，分值8分左右，著實(shí)不少?。菏煊浨芯€判定與性質(zhì)、弧長及面積公式；強(qiáng)化幾何證明邏輯，注意輔助線添加；多練綜合題，掌握與三角形等結(jié)合的解題技巧，規(guī)范計(jì)算步驟。【題型一】圓中求角的度數(shù)【例1】（2025·山西陽泉·一模）如圖，已知是的內(nèi)接三角形，若，則度．【答案】/38度【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理【分析】本題主要考查圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵；連接，則有，，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴；故答案為．圓中求角度數(shù)常用技巧：利用圓心角等于弧度數(shù)、圓周角為圓心角一半；直徑對(duì)直角；弦切角等于夾弧圓周角；圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角，結(jié)合弧長轉(zhuǎn)化角度?！纠?】（2025·江蘇徐州·一模）如圖，是的弦，是的切線，A為切點(diǎn)，經(jīng)過圓心．若，則°．【答案】29【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余【分析】此題考查圓的切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，由此求出的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：連接，∵是的切線，A為切點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：29．【變式1】（2025·北京·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，是上的兩點(diǎn)．若，則的度數(shù)為．【答案】/26度【知識(shí)點(diǎn)】同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，再求出，最后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：【變式2】（2025·江蘇鹽城·一模）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)是弧上的一點(diǎn)，，則的度數(shù)為度．【答案】/42度【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、已知圓內(nèi)接四邊形求角度【分析】本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，再由圓周角定理得出，由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)而可直接答案．【詳解】解：∵是半圓的直徑，，∵，，故答案為：．【變式3】（2025·浙江·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，連接，若，則．【答案】35【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、已知圓內(nèi)接四邊形求角度、圓周角定理【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理得到，進(jìn)而求出．【詳解】解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故答案為：35．【題型二】圓中求線段的長【例1】（2025·河南鄭州·二模）如圖，與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且．若，，則的長為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、應(yīng)用切線長定理求解、切線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，根據(jù)切線得到，然后根據(jù)勾股定理得到長，然后設(shè)，得到，，，然后在利用勾股定理求出x的值即可解題．【詳解】解：因?yàn)榕c相切于點(diǎn)，所以，在中，．設(shè)，則，，，．在中，根據(jù)勾股定理可得，解得，即的長為，故答案為：．圓中求線段長解題技巧如下：利用勾股定理（半徑、弦心距、半弦長構(gòu)直角三角形）；應(yīng)用圓冪定理（相交弦、切割線、割線定理）；構(gòu)造相似三角形或全等三角形；借助直徑（直角圓周角）、半徑相等性；結(jié)合三角函數(shù)或解直角三角形，輔以輔助線（連圓心、作垂線等）?！纠?】（2025·江蘇常州·一模）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，，如果，則的長為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用垂徑定理求值、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵；連接，判定為等邊三角形，進(jìn)而求解的長度，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求解即可；【詳解】解：如圖，連接，是的直徑，弦，，，，，為等邊三角形，，，，；故答案為：．【變式1】（2025·河南駐馬店·一模）如圖，在半徑為10的中，、是互相垂直的兩條弦，垂足為，且．則的長為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長、利用垂徑定理求值、用勾股定理解三角形【分析】作于M，于N，連接，，，根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)勾股定理可得，再證明四邊形是正方形則，根據(jù)勾股定理即可求出的長．本題主要考查了垂徑定理，勾股定理和正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作于M，于N，連接，，，，，，，，于M，于N，，∴四邊形是矩形，，∴四邊形是正方形，，．故選：B．【變式2】（2025·江蘇南京·一模）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，且平分，延長，交于點(diǎn)F，若，，則．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】利用垂徑定理求值、由平行截線求相關(guān)線段的長或比值、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等【分析】延長交于H，交于G，設(shè)、相交于E，根據(jù)角平分線的定義，圓周角定理以及三角形外角的性質(zhì)可得出，根據(jù)垂徑定理得出，證明，根據(jù)平行線分線段成比例可求出，在中，根據(jù)勾股定理得出，解方程求出，即可求解．【詳解】解：延長交于H，交于G，設(shè)、相交于E，∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，∴，∵平分，∴，又，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，即，∴，在中，，∴，解得（負(fù)值已舍去），∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形，平行線分線段成比例，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，判斷出，是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·北京·一模）如圖，，分別與相切于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，若，則，劣弧．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】應(yīng)用切線長定理求解、求弧長、切線的性質(zhì)定理、特殊三角形的三角函數(shù)【分析】根據(jù)切線長定理得，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)推得、，通過三角函數(shù)可求得的長，通過弧長公式可求得劣弧的長．【詳解】解：如圖，連接，，分別與相切于點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，劣弧，在中，，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，弧長公式，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握切線長定理是解題關(guān)鍵．【題型三】圓中求弧長、面積【例1】（2025·山東濟(jì)南·一模）如圖，等邊是的內(nèi)接三角形，若的半徑為，則陰影部分的面積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求扇形面積、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形、利用垂徑定理求值【分析】連接、，連接并延長并于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理和等邊三角形的性質(zhì)求出的面積，再利用扇形的面積公式結(jié)合圖形求解．【詳解】解：連接、，連接并延長并于點(diǎn)，如下圖，則．等邊是的內(nèi)接三角形，，，，，，，，圖中陰影部分的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，垂徑定理，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積計(jì)算，作出輔助線求出的面積是解答關(guān)鍵．圓中求弧長與面積，核心抓圓心角、半徑：弧長用L=\frac{n\pir}{180}或L=\thetar（θ為弧度），扇形面積用S=\frac{n\pir^2}{360}或S=\frac{1}{2}\thetar^2。遇組合圖形，分割為扇形、三角形等，利用垂徑定理、勾股定理求半徑或圓心角，輔以角度轉(zhuǎn)換（弧度與角度）?！纠?】（2025·遼寧大連·一模）如圖，扇形紙扇打開后，外側(cè)兩竹條夾角，，的長度為（用含的式子表示）．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求弧長【分析】本題考查弧長計(jì)算公式，根據(jù)外側(cè)兩竹條夾角和弧長計(jì)算公式可以得到弧的長．【詳解】解：∵，，∴的長為：，故答案為：．【變式1】（2025·山東濟(jì)南·一模）如圖，邊長為6的正六邊形內(nèi)接于，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形和圓的綜合、求扇形面積【分析】本題主要考查了扇形面積計(jì)算，正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．將陰影部分合并即可得到扇形的面積，利用扇形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，圖形可轉(zhuǎn)換成下圖，∵是正六邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．【變式2】（2025·廣東陽江·二模）如圖，等圓和相交于兩點(diǎn)，經(jīng)過的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)、求其他不規(guī)則圖形的面積【分析】本題考查了相交弦定理，全等的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．先證明，再把陰影部分面積轉(zhuǎn)換為扇形面積，最后代入扇形面積公式即可．【詳解】如圖，連接，，∵等圓和相交于A，B兩點(diǎn)∴,∵和是等圓∴∴是等邊三角形∴∵,,∴∴．故答案為：．【變式3】（2025·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖所示是某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間．已知繩子分別與空竹相切于點(diǎn)，且，連接左右兩個(gè)繩柄，經(jīng)過圓心，分別交于點(diǎn)，經(jīng)測量，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)定理、根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、求其他不規(guī)則圖形的面積【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等，連接，可證，得到，，利用三角函數(shù)可得，即得，得到，最后根據(jù)即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，，，∵，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【題型四】圓與正多邊形【例1】（2025·陜西西安·三模）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為．【答案】12【知識(shí)點(diǎn)】求正多邊形的中心角、已知正多邊形的中心角求邊數(shù)【分析】本題主要考查了求正多邊形的中心角，已知正多邊形的中心角求邊數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正n邊形的每個(gè)中心角都等于是解題的關(guān)鍵．連接，由正六邊形與正方形可得，，進(jìn)而可得，再由“正n邊形的每個(gè)中心角都等于”即可得出答案．【詳解】解：連接，正六邊形與正方形有重合的中心O，，，是正n邊形的一個(gè)中心角，．故答案為：12．圓與正多邊形求解，關(guān)鍵利用外接圓/內(nèi)切圓性質(zhì)：圓心即正多邊形中心，半徑為外接圓半徑，邊心距為內(nèi)切圓半徑。將正多邊形分割為等腰三角形，用圓心角（360°/n）、勾股定理或三角函數(shù)求邊長、邊心距，結(jié)合對(duì)稱性作輔助線（連圓心、作高）?！纠?】（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，過四邊形的頂點(diǎn)A，C，D的圓，分別交于點(diǎn)E，若，，則的度數(shù)為【答案】52【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、已知圓內(nèi)接四邊形求角度【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，掌握?qǐng)A圓周角定理是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算求出，得到答案．【詳解】解：如圖，連接，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，，，，是的外角，，，的度數(shù)為：，故答案為：．【變式1】（2025·廣東茂名·一模）如圖，正六邊形的邊長為，以頂點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交正六邊形于點(diǎn)、，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求扇形面積、正多邊形的內(nèi)角問題【分析】本題考查了正多邊形的定義及內(nèi)角和，扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．根據(jù)正多邊形的定義求出該多邊形的內(nèi)角，再根據(jù)扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：多邊形是正六邊形，該多邊形的內(nèi)角是，即，陰影部分的面積為，故答案為：．【變式2】（2025·安徽合肥·一模）如圖1，這是中國古建筑中的正六邊形窗戶設(shè)計(jì)圖，圖2是由其抽象而成的正六邊形，是它的外接圓，連接，，作．若劣弧的長為，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形和圓的綜合、求扇形半徑、求正多邊形的中心角、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】先求出中心角，再根據(jù)弧長公式求得半徑為2，然后解即可．【詳解】解：∵正六邊形，是它的外接圓，∴中心角，∵劣弧的長為，∴，解得：，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓圓與正多邊形，解直角三角形，中心角的求解，弧長公式，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·天津和平·一模）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，以“圓的內(nèi)接正多邊形的面積”來無限逼近“圓面積”．并指出在圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)加倍的過程中“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．劉徽將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明，并運(yùn)用“割圓術(shù)”計(jì)算出圓周率．如圖①，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為．（1）如圖②，在圓內(nèi)接正十二邊形中，（度）；（2）用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為．【答案】303【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形和圓的綜合【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正多邊形與圓的關(guān)系可進(jìn)行求解；（2）過A作于M，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式得到，于是得到正十二邊形的面積為，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)O是正十二邊形的中心，∴；故答案為30；（2）過A作于M，如圖所示：在正十二邊形中，，∴，∴，∴正十二邊形的面積為，∴，∴，∴的近似值為3，故答案為3．【題型五】證切線與求線段、半徑綜合【例1】（2025·四川資陽·一模）如圖，在中，，，兩點(diǎn)分別在邊，上，過，兩點(diǎn)的與相交于點(diǎn)，連接，，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)3【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、用勾股定理解三角形、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角【分析】（1）連接，通過是直徑，得到，推出，通過，推出，再利用，得到，推導(dǎo)出，得證；（2）先通過，得到，再利用勾股定理求出，再證明，得到，再計(jì)算出，接著證明，利用，算得半徑長度．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：是直徑，，，，，，，，，是的切線．（2）解：連接，，如圖所示：，，，，是直徑，【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是90度，圓切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．證切線：點(diǎn)在圓上則證半徑垂直于直線；點(diǎn)未知?jiǎng)t證圓心到直線距離等于半徑。求半徑：利用切線垂直性構(gòu)直角三角形，結(jié)合勾股定理、相似、圓冪定理，或切線長定理，輔作圓心與切點(diǎn)連線等輔助線?！纠?】（2025·遼寧鐵嶺·一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，，平分交于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線．(2)當(dāng)，時(shí)，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、圓周角定理【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到．求得．連接，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，．．，．∵，．．．是的半徑，是的切線；（2）解：，，．．∴．．．如圖，連接，平分，．．．是的直徑，．．．【變式1】（2025·江蘇鹽城·一模）如圖，在中，，為邊上的點(diǎn)，以為直徑作交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求點(diǎn)到的距離．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、證明某直線是圓的切線、用勾股定理解三角形【分析】（1）連接，根據(jù)，可得，從而得到，再由，可得，即可求證；（2）連接，設(shè)的半徑為r，則，，在中，根據(jù)勾股定理可得，從而得到，在中，可得，再由為的直徑，可得，然后根據(jù)，可求出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連接，設(shè)的半徑為r，則，，在中，，∵，∴，解得：，∴，在中，，∵為的直徑，∴，∵，∴，即，解得：，即點(diǎn)到的距離為．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2025·貴州六盤水·一模）如圖，為的直徑，已知，點(diǎn)P在延長線上，．(1)求證：是的切線；(2)已知平分，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)，【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、圓周角定理、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】（1）連接，則，由，根據(jù)垂徑定理得，得，繼而得到，進(jìn)而即可證明是的切線；（2）由，得可證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例則可得到，繼而得到，由的半徑為5，進(jìn)而即可求得答案．【詳解】（1）證明：連接，則，∵為的直徑，，∴，，∴，∵∴∴，∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，∵的半徑為5，∴，∴，∴，∴，∴的長為，的長為．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查垂徑定理、圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·廣東茂名·一模）如1圖，是的直徑，是的弦，點(diǎn)是外一點(diǎn)，．(1)求證：與相切．(2)如2圖，連接、，若，與交于點(diǎn)．①證明：；②連接交于點(diǎn)，連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、證明某直線是圓的切線、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）根據(jù)是的直徑，得出，再證明，即可證明結(jié)論；（2）①連接，證明，得出，得出，即可證明結(jié)論；②連接，根據(jù)，，求出，，，，證明，得出，證明，得出，證明，得出，代入數(shù)據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，即，與相切；（2）①證明：如圖，連接，，，，，，又，，即，，；②連接，如圖所示：∵，，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，即①，∵，，∴，∴，即②，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．【題型六】證切線與求弧長、面積綜合【例1】（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，的延長線交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、求弧長、等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理【分析】本題考查了圓的切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，弧長公式，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由圓周角定理得到，然后證明，由，得到，即可證明；（2）先證明，則可求，則，可證明為等邊三角形，則，可求，那么，則半徑，再由弧長公式求解．【詳解】（1）證明：連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖∵，∴，∵，∴，∴∴∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的長為．證切線：點(diǎn)在圓上則證半徑⊥直線，點(diǎn)外則證距離=半徑。求弧長面積：借切線得直角或圓心角，用弧長（L=\frac{n\pir}{180}）、面積公式（S=\frac{n\pir^2}{360}），輔分割圖形、連切點(diǎn)與圓心構(gòu)特殊三角形?！纠?】（2025·遼寧·一模）如圖，在中，，以為直徑作交于點(diǎn)D，過圓心O作交于點(diǎn)E，連接．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)詳見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、求其他不規(guī)則圖形的面積、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、圓周角定理【分析】（1）連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）如圖，連接，，根據(jù)圓周角定理得到，證出四邊形為正方形，根據(jù)正方形的面積公式和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，在與中，，，，是的半徑，與相切；（2）解：如圖，連接，，，，，，四邊形為正方形，，∴，，，，圖中陰影部分的面積=四邊形的面積-扇形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）如圖，在中，，以為直徑的分別交于點(diǎn)D，G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)(1)求證：與相切；(2)當(dāng)時(shí)，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、求其他不規(guī)則圖形的面積、等腰三角形的性質(zhì)和判定、求扇形面積【分析】（1）連接，由可得，再由可得，等量代換可得，根據(jù)同位角相等兩條直線平行可得，又因?yàn)?，根?jù)垂直于兩條平行線中的一條，與另一條也垂直，得到，即可證明結(jié)論；（2）先證明，可得，，利用含的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理可得，，結(jié)合，從而可得答案．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，為的半徑，與相切；（2）解：，，，，，，，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解扇形的面積，熟練的證明圓的切線是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2025·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，是的平分線，O是上一點(diǎn)，O經(jīng)過A，D兩點(diǎn)，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長l．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】求弧長、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定、證明某直線是圓的切線【分析】本題考查切線的判定、弧長公式、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）連接，只要證明即可解決問題；（2）作于點(diǎn)G，連接，證明為矩形，則可得求得的度數(shù)，再求得，即可利用弧長公式解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接．是的平分線，

．，．

．．

．

．是的半徑，

是的切線；（2）解：如圖，作于點(diǎn)G，連接．則，是的直徑，，四邊形為矩形，．．．

．，．，．

∴．【變式3】（2025·湖北孝感·一模）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在的延長線上，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、求其他不規(guī)則圖形的面積、用勾股定理解三角形、圓周角定理【分析】（1）連接，由等邊對(duì)等角可得，進(jìn)而可得，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，進(jìn)而可得，即，然后根據(jù)切線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）由三角形的內(nèi)角和定理可得，求出，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，由含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理可得，然后根據(jù)即可得出答案．本題主要考查了等邊對(duì)等角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，切線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理，求其他不規(guī)則圖形的面積，三角形的面積公式，求扇形面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能加以綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接．∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．∴，∴．∵為半徑∴是的切線；（2）解：，∴．∴，∴．∵，，．【題型七】圓中尺規(guī)作圖與無刻度作圖問題【例1】（2025·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，為的內(nèi)接三角形，其中是的直徑，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并解答下列問題．(1)作，交射線于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在圓外（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：為的切線；(3)若，求直徑的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角、用勾股定理解三角形、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、證明某直線是圓的切線【分析】本題考查了作圖-作一個(gè)角等于已知角、切線的判定以及勾股定理，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的步驟即可畫出圖形；（2）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90度得出，然后根據(jù)角的和差及切線的判定即可得證；（3）設(shè)的半徑為r，根據(jù)勾股定理建立方程求解即可得出答案．【詳解】（1）解：作如圖所示．（2）證明：如圖，連接，為的直徑，，即，，，，即，為的半徑，為的切線．（3）解：由（2）知，，，設(shè)的半徑為r，，解得，，答：直徑的長為．圓中作圖技巧：找圓心作兩弦垂直平分線交點(diǎn)；作切線過圓上點(diǎn)連半徑作垂線，圓外點(diǎn)用圓心與點(diǎn)連線中點(diǎn)畫弧找切點(diǎn)；等分圓算圓心角（360°/n），輔半徑、垂線、角平分線，借對(duì)稱性與基本定理（垂徑、切線性質(zhì)）構(gòu)圖?！纠?】（2025·河南鄭州·一模）尺規(guī)作圖與圓結(jié)合如圖，在中，，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓與邊相切于點(diǎn)D．(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作交于點(diǎn)E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）．(2)連接并延長交于點(diǎn)F．若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角、用勾股定理解三角形、切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)；（1）以圓心，任意半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、，再以圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，以圓心，長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)，連接射線交于點(diǎn)E．即可得到，則；（2）如圖，連接過的直徑，交于，由切線得到，再由，，得到，，，再由，得到，，，推出，代入后得到，，再由垂徑定理得到，最后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：作，如圖即為所求：（2）解：如圖，連接過的直徑，交于，∵長為半徑的圓與邊相切于點(diǎn)D，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，，，∴，∴，解得，，∵即，∴，∴．【變式1】（2025·河南周口·一模）如圖，正方形內(nèi)接于，是的中點(diǎn)，．(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的判定定理、圓周角定理、正多邊形和圓的綜合、求弧長【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，正多邊形與圓，勾股定理，圓周角定理以及弧長公式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)三角形的角平分線交于一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，即可求解；（2）根據(jù)（1）可得，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)求得半徑，再根據(jù)弧長公式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，∵正方形內(nèi)接于，∴，是的角平分線，∵是的中點(diǎn)，則∴，即是的角平分線，∴是的角平分線，∴又∵∴∴；（2）解：如圖，連接由（1）可得又∵∴∴【變式2】（2025·河南平頂山·一模）如圖，為的外接圓，且為的直徑．(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)作的切線，交的延長線于點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)為等腰直角三角形，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、切線的性質(zhì)定理、過圓外一點(diǎn)作圓的切線(尺規(guī)作圖)【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、圓周角定理、切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定．（1）利用尺規(guī)作圖以點(diǎn)為圓心為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，再作線段的垂直平分線交線段的延長線于點(diǎn)，直線即為所求；（2）根據(jù)可知，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可知，所以，所以可證是等腰直角三角形．【詳解】（1）解：如下圖所示，以點(diǎn)為圓心為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，分別以點(diǎn)、為圓心大于為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過兩交點(diǎn)作直線交的延長線于點(diǎn)C，直線即為所求．（2）解：為等腰直角三角形．理由如下：，，為的直徑．，，為的切線，，，，為等腰直角三角形．【變式3】（2025·浙江·一模）按要求作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）(1)如圖，的頂點(diǎn)、在上，點(diǎn)在內(nèi)，，僅利用無刻度直尺在圖中畫的內(nèi)接三角形，使；(2)如圖，在中，，以為直徑的交邊于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作．請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)；若，則．【答案】(1)見解析；(2)見解析，．【知識(shí)點(diǎn)】作垂線(尺規(guī)作圖)、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、利用兩角對(duì)應(yīng)相等判定相似【分析】（）延長交圓于，連接并延長，交圓于，根據(jù)相似三角形的判定方法即可求證；（）過點(diǎn)，作的垂線即可；由，，可得，而點(diǎn)在以為直徑的圓上，為的切線，可得，證明，即可作答．【詳解】（1）解：延長交圓于，連接并延長，交圓于，如圖，理由：∵是的直徑，∴，∵，∴；（2）解：如圖：過點(diǎn)，作的垂線，∴直線即為所求直線；∵，∴，∵，∴，∴，即，∵為的直徑，∴，，∵為的切線，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，全等三角形判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【題型八】圓與（特殊）平行四邊形綜合問題【例1】（2025·廣東梅州·一模）如圖，四邊形為矩形，E為邊的中點(diǎn)，連接，以為直徑的交于點(diǎn)F，連接，，交于點(diǎn)G．(1)若，，求的長；(2)求證：四邊形是平行四邊形；(3)求證：是的切線．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、證明某直線是圓的切線、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明、利用矩形的性質(zhì)證明【分析】（1）如圖，連接，證明是等邊三角形，從而可得答案；（2）證明，，即可得到結(jié)論；（3）如圖所示：連接，證明，即可得到結(jié)論；【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴；（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∵E為邊中點(diǎn)，，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；（3）證明：如圖所示：連接，∵四邊形是平行四邊形；∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，又為的半徑，∴與相切；【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．圓與平行四邊形結(jié)合，若內(nèi)接于圓則必為矩形（對(duì)角互補(bǔ)且相等），對(duì)角線即直徑；菱形與圓相切時(shí)，利用切線性質(zhì)及菱形對(duì)角線垂直平分，邊長等于半徑或借勾股定理。特殊平行四邊形（如正方形）結(jié)合圓心對(duì)稱，用對(duì)角線與半徑關(guān)系、直角特性轉(zhuǎn)化線段與角度。【例2】（2025·山東日照·一模）如圖，將矩形（）沿對(duì)角線翻折，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，以矩形的頂點(diǎn)為圓心、為半徑畫圓，與相切于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、矩形與折疊問題、證明某直線是圓的切線、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得，則，由矩形的性質(zhì)得，再由直角三角形兩銳角互余得，根據(jù)對(duì)頂角相等和同圓的半徑相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角對(duì)等邊得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)得，，得，解直角三角形求出，由翻折得，由得，再由矩形對(duì)邊相等得，最后在中解直角三角形求出，再由線段和差即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵與相切于點(diǎn)E，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）解：在中，，，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，由翻折可知，，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形與圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、翻折的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，正確作出輔助線，巧用解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·福建三明·一模）如圖，在中，，外接于．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、證明某直線是圓的切線、三線合一、利用平行四邊形的性質(zhì)證明【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、圓的切線的判定等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和圓的切線的判定是解題關(guān)鍵．（1）連接，先證出，再設(shè)，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）連接，延長交于點(diǎn)，先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，再設(shè)，在和中，利用勾股定理可求出的值，從而可得的長，最后利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，由圓周角定理得：，∵，∴，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：如圖，連接，延長交于點(diǎn)，由（1）已證：，設(shè)，則，由（1）已得：，∴，∴，又∵，∴（等腰三角形的三線合一），設(shè)，∵的半徑，∴，∴，∵，，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，，∴，∴的面積為．【變式2】（2025·湖南永州·一模）如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，的外接圓交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，若，求證：直線是的切線；(3)在（2）的條件下，若，求線段的長度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、證明某直線是圓的切線、用勾股定理解三角形、圓周角定理【分析】（1）先根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等得到，再由等邊對(duì)等角得到，然后由正方形的性質(zhì)得到，通過角的和差進(jìn)而得到，可證，即可證明；（2）連接，，根據(jù)正方形的性質(zhì)易證，從而得到，，結(jié)合（1）中，可推出，然后利用圓周角定理求得，從而得到，得證；（3）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓周角為直角，則有，，然后利用（2）中，，求得，可證，從而得到，，最后在中利用勾股定理并結(jié)合（1）中，即可得到答案．【詳解】（1）證明：和為所對(duì)圓周角，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，即，，．（2）證明：連接，，如圖，四邊形是正方形，，，，，，，，由（1）可知，，，，，又是所對(duì)的圓周角，是所對(duì)圓心角，，，，直線是的切線．（3）解：連接交于點(diǎn)，連接，如圖，四邊形是正方形，，，，，由（2）可知，，，，由（1）可知，，又是的直徑，，，，，，在中，，，，，即，解得，由（1）可知，線段的長度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，同弧所對(duì)圓周角相等，直徑所對(duì)圓周角為直角，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各種性質(zhì)、定理，作好輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·福建·一模）如圖，點(diǎn)在菱形的對(duì)角線上，與邊相切，切點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長線上，且，將射線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后與邊，直線分別交于，兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，等于_____；(2)若與相切于點(diǎn)，連接，如圖2．①求證：平分；②求證：，，三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)①見解析；②見解析【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)定理、角平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用菱形的性質(zhì)證明【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得：，，平分，根據(jù)得到，推出，由可得，推出，結(jié)合平分，可得，即可求解；（2）①點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、，由與相切于點(diǎn)和與邊相切，切點(diǎn)為點(diǎn)，可推出，，，根據(jù)平分，可得，推出，即可證明；②連接并延長交直線于點(diǎn)，由①得：為的切線，結(jié)合，均為的切線，可得，，，設(shè)，，，，，，則，得到，即，根據(jù)菱形的性質(zhì)和題意可得：為的中位線，且，得到，，推出，根據(jù)等腰三角形的額判定與性質(zhì)可推出，得到與點(diǎn)重合，即可證明．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，四邊形是菱形，，，平分，，，，，，，，平分，，即，，故答案為：；（2）①如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、，與邊相切，切點(diǎn)為點(diǎn)，，又平分，，與相切于點(diǎn)，，，，又，，平分；②由①得：為的切線，，均為的切線，，，，設(shè)，，，，，，則，解得：，，連接并延長交直線的延長線于點(diǎn)，，，，為的中點(diǎn)，為的中位線，，，，，，，，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，切線的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)正確添加輔助線．【題型九】生活中的實(shí)物抽象出圓的綜合問題【例1】（2025·湖南湘潭·模擬預(yù)測）“板車”具有悠久的歷史，是上世紀(jì)90年代以前農(nóng)村主要運(yùn)輸及交通工具．如圖是板車側(cè)面的部分示意圖，為車輪的直徑，過圓心的車架一端點(diǎn)著地時(shí)，地面與車輪相切于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若測得，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、圓周角定理、已知正切值求邊長【分析】本題考查了圓周角定理及其推論，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目，熟練運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由圓周角定理及其推論，切線的性質(zhì)可得，，再由得到即可得到結(jié)論，（2）根據(jù)，求出，結(jié)合（1）的結(jié)論，證明，列式，得，在中，設(shè)，則，運(yùn)用勾股定理列方程計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：連接，∵是的切線，∴，∵是的直徑，∴．∵∴∵．又∵，∴，（2）解：由（1）可知，在Rt中，，在中，由勾股定理得，∴．又，,，即，，在中，設(shè)，則，又，，解得：（負(fù)值已舍去）．的長為生活中實(shí)物抽象圓，抓圓心、半徑（直徑）：如車輪、鐘表等，將實(shí)物關(guān)鍵點(diǎn)（邊緣、中心）對(duì)應(yīng)圓上點(diǎn)與圓心，利用半徑相等、垂徑定理、切線性質(zhì)（如齒輪咬合），轉(zhuǎn)化為圓心距、弦長、位置關(guān)系（相切、相交），輔勾股定理或坐標(biāo)系建模?！纠?】（2025·河南濮陽·一模）過山車常見于游樂園和主題樂園中，深受游客的喜愛．如圖2是過山車的示意圖，其中過山車的軌道近似看成，軌道的支撐均與地面垂直，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，連接并延長與交于點(diǎn)G，連接．已知為的直徑且．(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)，的半徑為時(shí)，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、已知正弦值求邊長、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角【分析】（）由為的直徑可得，再由得到，即可得，即可求證；（）由得，進(jìn)而得，，作于點(diǎn)，可得，即可根據(jù)求解；【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴,∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵，的半徑為，，∴，∵，∴，∴，，∴，作于點(diǎn)，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線的性質(zhì)，切線的判定，三角函數(shù)，解直角三角形，三角形的面積，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖1，在矩形硬紙板上剪去矩形，把它與一塊圓形硬紙板拼在同一平面內(nèi)，使圓恰好與點(diǎn)、點(diǎn)及邊相接觸（紙板厚度忽略不計(jì)）．已知，．(1)求該圓形紙板的半徑；(2)如圖2，在上述基礎(chǔ)上，再拼接一塊硬紙板（即圖中），并繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)圓形紙板，使之恰好與點(diǎn)和點(diǎn)相接觸．若，，請(qǐng)你求出（劣?。┑拈L度．【答案】(1)該圓形紙板的半徑為；(2)的長度為．【知識(shí)點(diǎn)】求弧長、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、利用垂徑定理求值、切線的性質(zhì)定理【分析】（）設(shè)切點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，在矩形中，有，，則有四邊形是矩形，由垂徑定理得，，連接，設(shè)的半徑為，然后由勾股定理即可求解；（）連接，，由勾股定理求出，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，則，，然后由，得出，，最后由弧長公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)切點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)∴，，在矩形中，有，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，連接，設(shè)的半徑為，在中，，即，解得：，∴該圓形紙板的半徑為；（2）解：如圖，連接，，在中，有，∴，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，∵，∴，，在中，有，∴，，∴的長度為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，弧長公式，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2025·河北唐山·一模）漆扇屬于國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，它利用了漆不溶于水的特點(diǎn)制作而成，淇淇把自己制作的圓形漆扇放在支架上，如圖14-1所示．圖14-2是其平面示意圖，為圓形漆扇的直徑，點(diǎn)O為圓心，扇柄，且A，O，C，B在同一直線上，為支架，與相切于點(diǎn)C，，點(diǎn)A到桌面的距離為，且與相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)B與H的距離．(1)求的度數(shù)；(2)求的長度；(3)不改變現(xiàn)有漆扇的大小和位置，直接寫出支架點(diǎn)D到圓形漆扇的最大距離．【答案】(1)；(2)的長度為；(3)支架點(diǎn)D到圓形漆扇的最大距離為．【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)定理、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、求弧長【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，弧長公式．（1）根據(jù)切線的性質(zhì)求得，在中，利用三角函數(shù)的定義求解即可；（2）連接，在中，求得，，再求得圓的半徑，利用弧長公式求解即可；（3）連接并延長交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，在和中，先后求得、和的長，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵與相切于點(diǎn)C，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，在中，，，，∴，，∵，∴，∵為圓的直徑，，∴，∴的長度；（3）解：連接并延長交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，此時(shí)為支架點(diǎn)D到圓形漆扇的最大距離，在中，，，∴，，在中，，∴，∴，∴支架點(diǎn)D到圓形漆扇的最大距離為．【變式3】（2025·河南鶴壁·一模）物理實(shí)驗(yàn)課上，在做過單擺實(shí)驗(yàn)后，小明想到“數(shù)學(xué)來源于生活”，于是從中抽象出了一個(gè)數(shù)學(xué)平面圖形：如圖（1），直線為水平桌面，線段為支架，虛線為鉛錘P的運(yùn)動(dòng)軌跡．現(xiàn)根據(jù)圖形設(shè)計(jì)出了以下兩個(gè)問題．(1)若點(diǎn)到和的距離相等，則稱此時(shí)點(diǎn)P的位置為“黃金位置”．過點(diǎn)P作的切線交于點(diǎn)D，如圖（2），若，證明此時(shí)點(diǎn)P處于“黃金位置”．(2)已知，，在射線上有一點(diǎn)E，且，連接，如圖（3），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)與相切時(shí)，求點(diǎn)P到的距離．【答案】(1)見解析(2)點(diǎn)P到的距離為或．【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，利用證明，推出，即可得解；（2）分當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到左側(cè)和右側(cè)，兩種情況討論，利用勾股定理求得，，求得，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，∵為的切線，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，即此時(shí)點(diǎn)P處于“黃金位置”；（2）解：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到左側(cè)，且與相切時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，∵，，∴，∵與相切，∴，∴，∴，同理，，∴，∴，∴，在中，，解得（負(fù)值已舍去），∴點(diǎn)P到的距離為．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，且與相切時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，∵，，∴，∵與相切，∴，∴，∴，同理，，∴，∴，∴，在中，，解得（負(fù)值已舍去），∴點(diǎn)P到的距離為．綜上，點(diǎn)P到的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．【題型十】圓中動(dòng)點(diǎn)探究型問題【例1】（2025·江蘇淮安·一模）如圖，的直徑垂直弦于點(diǎn)E，且，動(dòng)點(diǎn)P是延長線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)Q，連接交于點(diǎn)F．(1)當(dāng)Q是弧的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)設(shè)，，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并說明理由；(3)連接，若是以為腰的等腰三角形，試求的長．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析；(3)或【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等等，熟知圓的相關(guān)知識(shí)和相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，易證，由易得，進(jìn)而即可得證；（2）連接，易求得，證，得到，進(jìn)而求出和，即可得解；（3）分類討論，或，先根據(jù)勾股定理求出和以及的長，從而得到的長，在利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)證，代入求出即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵Q是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：如圖所示，連接，∵，∴，∵，且為直徑，∴，在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，，∴，即；（3）解：①當(dāng)時(shí)，在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴；②當(dāng)時(shí)，在中，，∴，在中，，同理可得，∴，即，解得；綜上，的長為或．圓中動(dòng)點(diǎn)問題：抓軌跡（圓或圓?。?，用幾何法（圓心距、三角形三邊關(guān)系、切線性質(zhì)）或代數(shù)法（參數(shù)方程、坐標(biāo)運(yùn)算），結(jié)合最值臨界位置（如直徑端點(diǎn)、切點(diǎn)），借勾股、相似、圓定義轉(zhuǎn)化條件?！纠?】（2025·貴州·一模）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)E是半圓O上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)O作，交半圓O于點(diǎn)C，垂足為G，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，垂足為D．(1)寫出圖中一對(duì)全等三角形（用“”連接），圖中直角三角形的個(gè)數(shù)有個(gè)；(2)求證：；(3)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)（答案不唯一）；4(2)見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、求扇形面積、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】（1）根據(jù)證明，；根據(jù)直角三角形的判定方法得出答案即可；（2）根據(jù)得出答案即可；（3）根據(jù)，求出，得出，求出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∵，，∴；圖中直角三角形有，，，，共4個(gè)．（2）證明：根據(jù)解析（1）可知：，∴；（3）解：在中，，∴，∴，由（2）可知，∴，．在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，三角形全等的判定和性質(zhì)，扇形面積計(jì)算，余角的性質(zhì)，三角形分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．【變式1】（2025·河北·一模）如圖，半圓O與直線相切于點(diǎn)，為半圓O的直徑，．P為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作射線，，射錢隨點(diǎn)P的移動(dòng)而平移．(1)如圖1，移動(dòng)點(diǎn)P，使得射線與半圓O交于點(diǎn)D，E，連接，．當(dāng)時(shí)，求的長．(2)如圖2，移動(dòng)點(diǎn)，使得射線經(jīng)過點(diǎn)C，射線與半圓O交于另一點(diǎn)F，求的長．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)定理、求弧長【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)，可得，進(jìn)而判定為等邊三角形，根據(jù)弧長公式即可求解；（2）連接，作，根據(jù)題意求得的度數(shù)，然后根據(jù)勾股定理，即可求解；【詳解】（1）解：，；，為等邊三角形，，則；（2）解：連接，作；，半圓O與直線相切于點(diǎn)，，，，，，；【變式2】（2025·河北石家莊·一模）如圖1，的半徑為10，直線l經(jīng)過的圓心O，且與交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在上，且，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與圓心O不重合），直線與交于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)C到的距離；(2)如圖2，當(dāng)與相切時(shí)，求的長；(3)如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求與之間的距離；(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出的長．【答案】(1)點(diǎn)到的距離為6(2)(3)與之間的距離為(4)5或25【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、切線的性質(zhì)定理、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作于M，解求出的長即可得到答案；（2）由切線的性質(zhì)可得，解得到，設(shè)，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）求出，得到，則，設(shè)點(diǎn)到的距離為h，利用等面積法求出h的值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；（4）分點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊和左邊兩種情況，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為H，設(shè)出線段的長，解直角三角形表示出的長，再利用線段的和差關(guān)系建立方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作于M，在中，，∴，∴點(diǎn)到的距離為6；（2）解：由切線的性質(zhì)可得，在中，，設(shè)，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)C作于M，同理可得，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)到的距離為h，∵，∴，∵，∴與之間的距離為；（4）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊時(shí)，過點(diǎn)P作于H，在中，，在中，，由（2）可知，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O左邊時(shí)，過點(diǎn)P作，交延長線于H，同理可得，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴；綜上所述，的長為5或25．【變式3】（2025·廣東茂名·一模）閱讀理解：（1）【學(xué)習(xí)心得】學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，有一些幾何問題，如果添加輔助圓，可以使問題變得容易．我們把這個(gè)過程稱為“化隱圓為顯圓”．這類題目主要是兩種類型．①類型一，“定點(diǎn)定長”：如圖1，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．解：由題意，若以點(diǎn)（定點(diǎn)）為圓心，（定長）為半徑作輔助圓（可在圖1中畫出輔助圓），則點(diǎn)、必在上，是所對(duì)的圓心角，而是所對(duì)的圓周角，從而可容易得到________．②類型二，“定角定弦”：如圖2，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求線段長的最小值．請(qǐng)將以下解題過程補(bǔ)充完整．解：∵，∴，∵，∴，∴_______，（定角）∴點(diǎn)在以（定弦）為直徑的上，如圖2，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最?。?qǐng)完成后面的解題過程．（2）【方法應(yīng)用】如圖3，在矩形中，已知，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則線段的最小值為________（直接寫結(jié)果）．（3）【能力拓展】如圖4，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上移動(dòng)，且滿足．連接和，交于點(diǎn)P．點(diǎn)E從點(diǎn)D開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長．【答案】（1）①28；②見解析；（2）4；（3）【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、圓周角定理、求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度、根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解【分析】（1）①根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半即可得；②先求出，從而可得點(diǎn)在以（定弦）為直徑的上，然后連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，利用勾股定理求出的長，根據(jù)線段長的最小值等于即可得；（2）連接，先利用矩形的性質(zhì)、勾股定理可得，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，從而可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的值最小，最小值為，由此即可得；（3）先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是在以為直徑的圓的上，再利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，，最后利用弧長公式計(jì)算即可得．【詳解】解：（1）①∵，，∴如圖1，以點(diǎn)（定點(diǎn)）為圓心，（定長）為半徑作輔助圓，則點(diǎn)、必在上，∵是所對(duì)的圓心角，而是所對(duì)的圓周角，且，∴，故答案為：28．②∵，∴，∵，∴，∴，（定角）∴點(diǎn)在以（定弦）為直徑的上，如圖2，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最?。叩闹睆?，∴，在中，，∴線段長的最小值為．（2）如圖3，連接，∵在矩形中，，，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，∴，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的值最小，最小值為，故答案為：4．（3）如圖4，連接，交于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，始終有，又∵點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是在以為直徑的圓的上，如圖4，取的中點(diǎn)，連接，∴，，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、弧長公式、正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，較難的是題（3），正確找出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是解題關(guān)鍵．【題型十一】圓中新定義探究綜合問題【例1】（24-25九年級(jí)上·浙江湖州·階段練習(xí)）定義：若圓內(nèi)接三角形是等腰三角形，我們就稱這樣的三角形為“圓等三角形”．

(1)如圖1，是的一條弦（非直徑），若在上找一點(diǎn)，使得是“圓等三角形”，則這樣的點(diǎn)能找到__________個(gè)．(2)如圖2，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連結(jié)對(duì)角線，和均為“圓等三角形”，且．①當(dāng)時(shí)，求度數(shù)．②如圖3，當(dāng)，時(shí)，求陰影部分的面積．【答案】(1)4(2)①或或；②陰影部分面積為：【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解、求其他不規(guī)則圖形的面積【分析】（1）過作直線的垂線交于，，分別以和為圓心，為半徑作弧與圓的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；（2）①根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到推出是等邊三角形，得到．連接．根據(jù)圓周角定理得到，，求得，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過作直線的垂線交于，，分別以和為圓心，為半徑作弧與圓的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；如圖所示：

滿足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)，故答案為：4；（2）解∶①，，為“圓等三角形，當(dāng)時(shí)，，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：的度數(shù)為或或；②，，為“圓等三角形”，是等邊三角形，，連接，,交于,

，，，,，，,共線，，與是等邊三角形，，,陰影部分的面積扇形的面積的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，扇形的面積和三角形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．圓中新定義探究題，先精讀定義，明確核心條件（如“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”“等距圓”等），結(jié)合圓的基本性質(zhì)（半徑、弧、角、位置關(guān)系），通過畫圖、特例驗(yàn)證、代數(shù)建模（設(shè)坐標(biāo)、列方程）轉(zhuǎn)化定義，利用幾何定理（全等、相似、勾股）推關(guān)系，分類討論不同情形下的結(jié)論。【例2】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與另一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的“張望角”．(1)如圖1，點(diǎn)D在的延長線上，是中的“張望角”，求證：；(2)如圖2，內(nèi)接于，點(diǎn)D在的延長線上，點(diǎn)E在上，連接，連接，點(diǎn)F在上，，連接，連接并延長交的延長線于點(diǎn)I，求證：是中的“張望角”；(3)如圖3，在（2）的條件下，若是的直徑，過點(diǎn)I作的垂線，點(diǎn)G為垂足，交于點(diǎn)H，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、圓周角定理、已知圓內(nèi)接四邊形求角度、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）根據(jù)題中“張望角”的定義和角平分線的定義得到，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先根據(jù)圓周角定理和角平分線定義可得平分，再根據(jù)圓周角定理，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證明平分，進(jìn)而根據(jù)“張望角”的定義可得結(jié)論；（3）連接，，先證明得到，進(jìn)而證明得到，過F作于M，在上截取，連接，，證明，求得，，，過I作于K，，在中，由勾股定理求得，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）證明：是中的“張望角”，∴分別是，的平分線；（2）證明：，，，即平分，，，∵四邊形內(nèi)接于，，，，，即平分，是中的“張望角”；（3）解：連接，，是中的“張望角”，∴，∵，∴，又，∴，即，∵，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，又，∴，∴，∵是的直徑，，∴，又，∴，即，∴，∴，過F作于M，在上截取，連接，，則垂直平分，∴，∴，設(shè)，則，∵平分，，∴，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，設(shè)，又，∴，解得（負(fù)值已舍去），∴，∴，由得，則；∵，∴，∴，過I作于K，則是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，在中，由得，解得（負(fù)值已舍去），即，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了角平分線的定義，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧與弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·寧夏銀川·一模）定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)與該邊所對(duì)頂點(diǎn)連線長度的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“平方點(diǎn)”，如圖1，中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，若，則稱點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”．(1)如圖2，已知在四邊形中，平分于點(diǎn)E，，求證：點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”；(2)如圖3，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”，延長交于點(diǎn)D，若，求證：；(3)如圖4，在中，，，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊上的“平方點(diǎn)”，求線段BE的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)5或8【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了定義新運(yùn)算，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）先證，得，再由平分，得，即可得答案；（2）由點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”得，再證，得，可得，即可得答案；（3）先求出的長，設(shè)，得，解答即可．【詳解】（1）證明：，，，，，平分，，，點(diǎn)E是中BD邊上的“平方點(diǎn)”；（2）證明：點(diǎn)E是中邊上的“平方點(diǎn)”，，是的內(nèi)接三角形，，，，，，，；（3）解：，，，，，，，設(shè)，由題意得：，，，解得：，，的長為5或．【變式2】（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）綜合與探究【定義】三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，若這兩條線段長度的乘積等于這個(gè)點(diǎn)與該邊所對(duì)頂點(diǎn)距離的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形中該邊上的“亮點(diǎn)”．如圖（a），在中，是邊上一點(diǎn)，連接，若，則稱點(diǎn)是中邊上的“亮點(diǎn)”．【概念理解】（1）如圖（b），在中，，，，分別是的高線，角平分線，中線．請(qǐng)判斷，，三點(diǎn)中哪些是中邊上的“亮點(diǎn)”，并說明理由．【性質(zhì)應(yīng)用】（2）如圖（c），在中，，，．若是邊上的“亮點(diǎn)”，求的長．【拓展提升】（3）如圖（d），內(nèi)接于⊙，是中邊上的“亮點(diǎn)”且．若，求的值．【答案】（1），是中邊上的“亮點(diǎn)”，理由見解析；（2）或9；（3）【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，同弧所對(duì)的圓周角相等，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等等，正確理解“亮點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，則，據(jù)此可得答案；（2）分當(dāng)和當(dāng)兩種情況，作于點(diǎn)，解直角三角形求出的長，設(shè)出的長，表示出的長，根據(jù)，，建立方程討論求解即可；（3）延長交于點(diǎn)，連接、，證明，推出，即可得到，解直角三角形得到；設(shè)，則，，進(jìn)而得．求出．則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：（1），是中邊上的“亮點(diǎn)”，理由如下：是的高線，，，∵，∴，，，點(diǎn)是中邊上的亮點(diǎn)在中，是中線，，點(diǎn)是中邊上的亮點(diǎn)．（2）①當(dāng)時(shí)，如圖，作于點(diǎn)，在中，，∴可設(shè)，∴，∵，∴，∴∴，，在中，，∴設(shè)，則，∵是邊上的“亮點(diǎn)”，∴，∵，∴解得，（舍）∴；②當(dāng)時(shí)，由①可知，，設(shè)，則，∵是邊上的“亮點(diǎn)”，∴，∵，∴，解得，（舍）即．綜上所述，的長為4或9．（3）延長交于點(diǎn)，連接、，，，，，．點(diǎn)是中邊上的亮點(diǎn)，，．∵，∴，設(shè)，則，．．在中，．又，．解得．．【變式3】（2025·廣東韶關(guān)·一模）綜合與實(shí)踐【主題】圓形紙片與剪紙藝術(shù)【素材】圖1中半徑為2的圓形紙片（）若干．【實(shí)踐操作】活動(dòng)一：如圖2，在該圓形紙片（）上剪出一個(gè)圓周角為90°的扇形．活動(dòng)二：如圖3，在另一圓形紙片（）內(nèi)剪出一個(gè)內(nèi)接正六邊形，設(shè)該正六邊形的面積為，再連接，，剪出，設(shè)的面積為．活動(dòng)三：在活動(dòng)二的基礎(chǔ)上，裝飾粘貼上六個(gè)弧形花瓣，中心為點(diǎn)，所在圓的圓心恰好是的內(nèi)心．【實(shí)踐探索】(1)根據(jù)剪紙要求，計(jì)算圖2中的扇形的面積．(2)請(qǐng)直接寫出的值：______．(3)求弧形花瓣總的周長（圖4中實(shí)線部分的長度）．（結(jié)果保留）【答案】(1)(2)2(3)【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、正多邊形和圓的綜合、求弧長、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題考查正多邊形和圓，弧長的計(jì)算，圓周角定理，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，弧長的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理可得為的直徑，即可求得的長，利用扇形面積公式即可解答；（2）連接，證明，即可解答；（3）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)及半徑，由弧長公式求出弧的長，再計(jì)算長的6倍即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，，為的直徑，即，，，扇形的面積為；（2）解：如圖，連接，六邊形為正六邊形，，,，等邊三角形，，，，，同理可得，，故答案為：2；（3）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，六條等弧所對(duì)應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形，中心為點(diǎn)，，，是等邊三角形，，，點(diǎn)是的內(nèi)心，，，在中，，，，的長為，花窗的周長為．【題型十二】圓與函數(shù)的綜合問題【例1】（2025·浙江舟山·一模）如圖1，以點(diǎn)為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B、C、D，直線與相切于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)．(1)填空：的長為______；的長為______；的半徑為______；的長為______；(2)如圖2，點(diǎn)P是直徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），連結(jié)并延長交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求的值；②設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)5，，2，2(2)①；②y與x的函數(shù)關(guān)系式為【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與幾何綜合、切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】（1）利用直線解析式求出點(diǎn)E和點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而得到和的長度，再根據(jù)邊角關(guān)系可得，繼而得到和；（2）①易證，從而求出的長，進(jìn)而即可得解；②構(gòu)造8字型相似，作軸于點(diǎn)K，軸于點(diǎn)J，則，，解直角三角形可得，進(jìn)而得到、和，再在中，，進(jìn)而建立等式求解．【詳解】（1）解：直線交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，令得，，解得，；令得，，；，，連接，則，，，，，即的半徑為2；，，是等邊三角形，；故答案為：5，，2，2；（2）解：①連接、，，，，，，，，為直徑，，，，；②由①知，，如圖，作軸于點(diǎn)K，軸于點(diǎn)J，則，，，，，，，在中，，，，，，，在中，，，即，整理得，與x的函數(shù)關(guān)系式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、特殊直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，難度大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．圓與函數(shù)結(jié)合，聯(lián)立方程（如圓與直線、拋物線方程），用判別式判位置關(guān)系，參數(shù)方程轉(zhuǎn)三角函數(shù)求最值，借圓心距公式（如點(diǎn)到直線距離）算弦長、切點(diǎn)，坐標(biāo)法設(shè)點(diǎn)代入，結(jié)合幾何性質(zhì)（垂徑、對(duì)稱）簡化運(yùn)算。【例2】（2025·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若在拋物線上存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為的圓，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．【答案】(1)(2)存在，或或(3)【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、特殊三角形問題(二次函數(shù)綜合)【分析】（1）根據(jù)題意，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，分類討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；分別求出直線的解析式，再聯(lián)立二次函數(shù)為二元一次方程組求解即可；（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，可證，得，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸，，∴，．∴將代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在點(diǎn)，理由如下：直線的解析式為，將代入得解得：∴直線的解析式為：∵拋物線對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，∵，，二次函數(shù)對(duì)稱軸為，∴，，軸，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，且，∴，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，直線的解析式為，解方程組，得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②∵，，∴∴∴是直角三角形，當(dāng)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則直線經(jīng)過點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；（3）解：已知，以點(diǎn)為圓心，畫半徑為的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，，∴，，，又，，，即，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與特殊三角形，圓的基礎(chǔ)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，最短路徑等知識(shí)的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)，最短路徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·北京·一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P與，若將點(diǎn)P繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)Q，直線剛好與相切，則稱點(diǎn)P為的“旋切點(diǎn)”．(1)已知的半徑為1，①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)是的“旋切點(diǎn)”，其中；②已知點(diǎn)，點(diǎn)N為的“旋切點(diǎn)”，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)，，，若線段上每個(gè)點(diǎn)都是的“旋切點(diǎn)”，且，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①，②或(2)或【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)定理、根據(jù)旋