山東省德州市2024屆高三二模數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2024屆高三二模數學試題一、選擇題1.已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題意知：，所以，所以在復平面內對應的點位于第四象限.故選：D.2.若隨機變量，且，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】B【解析】由隨機變量，根據正態(tài)分布性質可知：，因，可得，再根據正態(tài)分布曲線的對稱性可知：，所以，故選：B.3.若拋物線的焦點到直線的距離為4，則的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】拋物線的焦點坐標為，則有，解得.故選：C.4.已知，，若是的充分不必要條件，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】命題，即，因為是的充分不必要條件，顯然當時滿足，所以當時恒成立，則在上恒成立，又函數在上單調遞增，且，所以.故選：A5.展開式中的系數為（）A B. C. D.【答案】C【解析】現有8個相乘，從每個中三項各取一項相乘時，若結果為的常數倍，則所取的8項中有4個，2個，2個.所以，總的選取方法數目就是.每個這樣選取后相乘結果都是，即給系數的貢獻總是，所以的系數就是全部的選取數.故選：C.6.將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，若為圖象的一條對稱軸，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得：，又因為是的一條對稱軸，所以，即，下面結合選項對整數k取值（顯然k取負整數）：時，；時，；時，；時，.故選：B.7.在中，交于點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可建立如圖所示坐標系：由圖可得：，又，故直線的方程：，可得，所以，故選：C.8.歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數，且與互質的正整數的個數，例如.已知，，是數列的前項和，若恒成立，則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因為3為質數，在不超過的正整數中，所有能被3整除的正整數的個數為，，所以，則，所以，，，兩式相減可得：，所以，因為，所以在在單調遞增，所以恒成立，所以，所以的最小值為.故選：A.二、選擇題9.已知函數，則（）A.是奇函數 B.的最小正周期為C.的最小值為 D.在上單調遞增【答案】AC【解析】對于A，函數定義域為，有，所以是奇函數，A正確；對于B，有，所以，這表明不是的周期，B錯誤；對于C，我們有，而之前已計算得到，故的最小值為，C正確；對于D，由于，，故，所以在上并不是單調遞增的，D錯誤.故選：AC.10.已知雙曲線的離心率為，過其右焦點的直線與交于點，下列結論正確的是（）A.若，則B.的最小值為C.若滿足的直線恰有一條，則D.若滿足的直線恰有三條，則【答案】ACD【解析】A：當時，因為，所以，故A正確；B：當過其右焦點的直線與交于左右兩支時，的最小值為，（此時為雙曲線的兩頂點）當過其右焦點的直線與交于同一支時，最短弦長為通徑，即交點的橫坐標為，代入雙曲線方程為，解得，此時弦長為，由于不一定等于，故B錯誤；C：若滿足的直線恰有一條，由選項B可知直線與雙曲線的兩支分別相交，與同一支不相交，所以，此時，故C正確；D：若滿足的直線恰有三條，則該直線與雙曲線的兩支分別相交，且有兩條直線與雙曲線的同一支相交，所以，所以，又，所以，故D正確；故選：ACD.11.如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動點，且，，，則（）A.存在使得B.存在使得平面C.若長度為定值，則時三棱錐體積最大D.當時，直線與所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【解析】如圖，由題意可建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則由題：，所以，，，，又，，，所以，即，，即，所以，對A，由上，故A錯誤；對B，由題意是平面的一個法向量，，故當時，此時平面，故B正確；對C，由上，，設平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設點Q到平面的距離為d，則由得，又由題意可知，故，因為長度為定值，所以為定值，故當時，三棱錐體積最大，故C正確；對D，設直線與所成角為，由上當時，當且僅當即時等號成立，故D對.故選：BCD.三、填空題12.已知集合，若，則實數的值為______．【答案】1或2【解析】因為集合，若，所以，所以或或或，或或或或，解得：或或或或或或或，當時，，不滿足；當時，，滿足；當時，，滿足；當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，不滿足；綜上：實數的值為1或2.故答案為：1或2.13.在中，內角的對邊分別為，，且，則面積的最大值為______．【答案】【解析】因為，所以由余弦定理，得，所以，又，則，所以由余弦定理以及基本不等式得：，即，當且僅當時等號成立，所以，即面積的最大值為，故答案為：.14.當時，，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】令，則，由，故，即，即“”是“當時，”的必要條件，當時，令，則，故在上單調遞增，即，即，則有，令，則，故在上單調遞增，即，即，則有，即有，令，則，由，，故，即在上單調遞增，則有，即，故“”是“當時，”的充分條件，故實數的取值范圍為.故答案為：.四、解答題15.已知是公差不為0的等差數列，其前4項和為16，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.解：（1）設的公差為，由題意知，即，即有，因為，可得，，所以；（2）設數列的前項中的奇數項之和為，偶數項之和為，則，，所以．16.ChatGPT是AI技術驅動的自然語言處理工具，引領了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.某數學興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關系，從某社區(qū)使用過該程序的人群中隨機抽取了200名居民進行調查，并依據年齡樣本數據繪制了如下頻率分布直方圖.（1）根據頻率分布直方圖，估計年齡樣本數據的分位數：（2）將年齡不超過（1）中分位數的居民視為青年居民，否則視為非青年居民.（i）完成下列列聯表，并判斷是否有的把握認為年齡與是否喜歡該程序有關聯？

青年非青年合計喜歡

20

不喜歡60

合計

200（ii）按照等比例分層抽樣的方式從樣本中隨機抽取8名居民.若從選定的這8名居民中隨機抽取4名居民做進一步調查，求這4名居民中至少有3人為青年居民的概率.參考公式：，其中．參考數據：0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）由頻率分布直方圖可知，年齡在40歲以下的居民所占比例為，年齡在50歲以下的居民所占比例為，所以分位數位于內，由，所以，樣本數據的分位數為45；（2）（i）由題知，列聯表為：青年非青年合計喜歡9020110不喜歡603090合計15050200根據列聯表中的數據，可得：所以，有的把握認為年齡與是否喜歡該程序有關聯；（ii）按照分層抽樣，青年居民應抽取人，非青年居民應抽取2人．設從中隨機抽取的4名居民中為青年居民的人數為，，，所以，所以，這4名居民中至少有3人為青年居民的概率為．17.如圖，在三棱錐中，，為的中點，為內部一點且平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．（1）證明：連接，取中點，連接．因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．又因為平面，平面，所以．所以，在中，，同理，因為，所以．因為為中點，所以，因為，且在同一平面內，所以，又因為平面，平面，所以平面．又因為，平面，所以平面平面．因為平面，所以平面．（2）解：以為坐標原點，分別以以及與垂直向上的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．在直角中，因為，所以，在中，，所以，又，所以．設面的一個法向量，則，即，取，則，所以．設面的一個法向量，則，即，取，則，所以．設二面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為．18.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）由題可知，，且在定義域上單調遞增，當時，恒成立，此時在上單調遞減，當時，令，則，所以時，，此時單調遞減；時，，此時單調遞增，當，即時，此時在恒成立，單調遞增，綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增.（2）因為，所以，又，所以，即，故時，恒成立，令，，則，當時，，為增函數，當時，，為減函數，所以，從而．將兩邊同時取以為底的對數可得整理可得．令，則，且在上單調遞增，因為且，所以在上恒成立，所以恒成立，令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，所以，又因為，所以．19.已知橢圓的右焦點為，過點且不垂直于坐標軸的直線交于兩點，在兩點處的切線交于點．（1）求證：點在定直線上，并求出該直線方程；（2）設點為直線上一點，且，求的最小值．（1）證明：由題意可知，，所以，所以橢圓方程