武鋼某中學(xué)高二數(shù)學(xué)10月月考試卷VIP

高二數(shù)學(xué)月考試卷

一、單選題

1.關(guān)于X的方程d="+3,有唯一解，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是（）

人.々<一3或4>3B.%<-3或左>3或〃=±2A/2

C.左《一3或AN3或4=±2&D.%工一3或423

2.求過兩圓d+丁2_2）,_4=0和/+y2_4.￥+2y=0的交點(diǎn)，且圓心在直線2x+4），-1=。上的圓的方程

（）

A.x:+y2+3x+y-l=0B.x2+y2-4x-y-l=0

C.x2+y2+3x+y-4=0D.x2+y2-3x+y-\=0

3.已知橢圓「：￡+與=1（。>/7>0）的兩個焦點(diǎn)為月，F(xiàn),,過工的直線與「交于A,4兩點(diǎn).若

a-b~

\AF2\^3\F2^t\A^=2\AF[\t則「的離心率為（）

A1口石rVio0厲

5555

4.已知橢圓C：]+，=l（a>b>0）的離心率為"，直線/：〉=依（左工0）交橢圓C于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)。

在橢圓C上（與點(diǎn)A,4不重合）.若直線A。，3。的斜率分別為乙，網(wǎng),則%—4佝|的最小值為（）

3廠L

A.-B.2C.2V3D.4V2

5.過橢圓C：「+￡=1（〃>人〉°）右焦點(diǎn)少的直線/：工一丁一2二0交C于A,B兩點(diǎn),尸為的中點(diǎn)，

且。戶的斜率為一!，則橢圓。的方程為（）

2

0，

六T/2

A.—+—=1B.工+上=1

8495

C.—+^-=1D.

73106

6.在一個半圓中有兩個互切的內(nèi)切半圓，由三個半圓弧圍成“曲線三角形”，作兩個內(nèi)切半圓的公切線把“曲線三

角形”分隔成兩塊，且被分隔的這兩塊中的內(nèi)切圓是同樣大小的，如圖，若AC=2CB,則陰影部分與最大半圓

的面積比為（）

A102048

A-81C.一D.-

8?99

7.已知過點(diǎn)（1,6）動直線/與圓C：/+）,2=]6交于A,B兩點(diǎn),過A,8分別作C的切線，兩切線交于點(diǎn)

N.若動點(diǎn)M（cos，,sin4（0W0<2〃），則的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

22

8.已知橢圓三力>0）的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)尸（C,O）S>C）和點(diǎn)A,直線

/:6八一5），-28二。交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，若尸恰好為△APQ的重心，則橢圓的高?心率為（）

AO

2BT

D.偵

55

二、多選題

9下列四個命題中真命題有（）

A.直線）=x-2在y軸上的截距為-2

B.經(jīng)過定點(diǎn)A（0,2）的直線都可以月方程y二日+2表示

C.直線6x+玖y+14=0（團(tuán)￡R）必過定點(diǎn)

D.已知直線3x+4y+9=0與直線6x+〃少+24=0平行，則平行線間的距離是1

10.（多選）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（-3,0）,5（3,0）,點(diǎn)P為一動點(diǎn),且1M+|尸卻=24〃之0）,則

下列說法中正確的是（）

A.當(dāng)a=2時,點(diǎn)P的軌跡不存在

B.當(dāng)〃=4時,點(diǎn)。的軌跡是橢圓，且焦距為3

C.當(dāng)。=4時,點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為6

D.當(dāng)〃=3時,點(diǎn)P的軌跡是以AH為直徑的圓

11.橢圓c：三+上=1左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,點(diǎn)尸在橢圓r上，若方程〃tr+y+36-4=0所表示的

43

直線恒過定點(diǎn)M，點(diǎn)Q在以點(diǎn)M為圓心，。的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是()

A.橢圓C的離心率為gB.卜外歸周的最大值為4

C.△刊再的面積可能為2D./。一|尸用的最小值為26一6

12.如圖，已知橢圓C：I+二=15＞〃＞0),A，a分別為左、右頂點(diǎn)，四，B,分別為上、下頂點(diǎn)，片，

ab

y/5-l

F2分別為左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，則下列條件中能使得橢圓C的離心率為的有()

2

A.|4用.內(nèi)闋=|甲珠

B.Z.FXBiA2=90

C.尸耳J_x軸，且PO〃&4

D.四邊形482As的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)1，F(xiàn)2

三、填空題

13.經(jīng)過點(diǎn)A(3,4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對值相等的直線方程為

22

14.若橢圓為+菅=1(攵＞0)的焦距為6,則Z的值為.

15.已知直線《：(〃-3)x+(l—a)y—l=0,/2：(〃-l)x+(2a—3)y+l=0,則當(dāng)實(shí)數(shù)。=時,

//4?

22

16.已知產(chǎn)(JI0)為橢圓。：［+烏=1(。＞人＞())的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/與橢圓。交于A8兩點(diǎn)，尸為

a“鏟

A3的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若△OFP是以QF為底邊的等腰三角形，且自尸外接圓的面積為2看4，則橢圓C

的長軸長為

四、解答題

22.在平面直角坐標(biāo)系工Oy中，①已知點(diǎn)"卜6,0),G是圓氏一十,2一2百十一21=0上一個動點(diǎn)，線段

"G的垂直平分線交GE于點(diǎn)P；②點(diǎn)S,7分別在x軸、)，軸上運(yùn)動，且|5刀=3,動點(diǎn)。滿足

OP=-OS+—OT.

33

(1)在①，②這兩個條件中任選一個，求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分)

(2)設(shè)圓。：V+V=2上任意一點(diǎn)A處的切線交軌跡C于M,N兩點(diǎn),試判斷以MN為直徑的圓是否過定

點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

1.B

【解析】方程=有唯一解，等價于），=與丁二履+3的圖象有唯一交點(diǎn),

y=表示半圓/++'2=1（），之0），

當(dāng)直線＞="+3與圓相切時，/：=1,解得衣=土2顯，

V&-十1

當(dāng)直線y=日+3分別過點(diǎn)（一1,0）和（1,0）時，火分別為3和一3,

由圖可知，實(shí)數(shù)2的取值范圍為攵＞3或A＜一3或4=±2血.

故選：B

2.D

【解析】f-2),一4=0與f+)/一4工+2),=0相減得：y=x-\,

將y=x-l代入_?+),2-43+2)，=0得：X2+(X-1)2-4X+2(J-1)=0,

即2/-41=0,

設(shè)兩圓f+），-2y-4=0和V+）,2一?+2），=0的交點(diǎn)為A（%,y）,3（%,%）?

則x=］土等，+x2=-^=2,則弘+），2=*_1+工2_1=2_2=0,

不妨設(shè)恪，坐］,

I22J

所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為!上黃，笑&）=（1,0）,

因?yàn)橹本€AB的斜率為1,所以線段A8的垂直平分線的斜率為T，

所以線段A笈的垂直平分線為丁=一（工一1）=一工十1,

31

y=一工+1與2x+4y-]=0聯(lián)立得：x=—,y=--,

31(1、27

所以圓的方程為x——+y+—=—>

2)I2)2

整理得：/+y2-3工+＞一1=0故選：D

【解析】設(shè)|用目=加,則恒閭=3肛|蝴=2|4周=4m.

由橢圓的定義可知忸用+忸聞=勿=5九所以〃2=/,所以|A四=514用=/?

555

在中,cos=-MF=⑴⑺⑺=1

2ABxAK2Mx他4

5Ti

所以在△AK乃中,錯=\AF^+|，4巴「-2|A娟|AK|COS4,

刖一(4。丫(4aYJ4〃Y1超出7c22

即4c~=——+——-2——x—整理可得：e~=—=-,

I5JI5JI5J4a25

所以c=@0故選：c

5

4.B

【解析】解:設(shè)A（%,y）,。（％。2），則B（T,f）?

L號=i,,,,,

￡”:兩式相減，得三戈+上二E=o.

二點(diǎn)8,。都在橢圓C上,

44=h°b

I。-b-

.(X—%)(?+%)=b?

??(xrJQ+xJ—7,即3:

4

*-4止￡=同+后沖|.向=2.

當(dāng)且僅當(dāng)仁二±1時取

故選：B.

5.A

【解析】依題意，焦點(diǎn)尸（2,0）,即橢圓C的半焦距c=2,設(shè)4$,），）8（々,%），P（/，）'o），

2222

則有<b2xf2+a2yf>=a2b廣，兩式相減得：〃22（工多4）（不一工,）+分,.（,+）,,）（乂一%）二0，

b~x^+ay；=a~b~

而玉+々=2,%,）1+%=2%，且四=一；，即有一2/（%-12）+/（,一為）=。，

“02

又直線/的斜率江2=1，因此有片二?2,而/一從二/二小解得/=8,從=4,經(jīng)驗(yàn)證符合題意,

所以橢圓C的方程為三+匕=1.

84

故選：A

6.B

【解析】設(shè)3C=2r,則AC=4r.AB=6r,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則C（0,0）,O,（-2r,0）,O（-r,0）,O2（r,0）.

設(shè)Q(—4"),O4(Z7,v),則(2廠+〃『一(2廠—4『=產(chǎn)

（圓?！璔外切與勾股定理結(jié)合），得r=2j赤，所以0,（一。,2j赤卜

由圓。與圓。3內(nèi)切，得J（—〃+9）+（2\/2〃廠）=3廠一〃，解得。二§廠.

同理（，?+〃『一上一/^二聲（圓。一。4外切與勾股定理結(jié)合），

得U=2>/^7，由圓O與圓。4內(nèi)切，得J（〃+r）2+QJ^7）=3r-b?

2

解得6=§〃.設(shè)陰影部分的面積為，，最大半圓的面積為S2,

S}二；jr（3r）2_g兀（2r）2_gu2_2兀?（,）

IOKF2

所以馥尹生.

S??”281

2

故選:B.

7.B

【解析】

MV

【詳解】

易得圓心C（0,0）,半徑為4,如圖，連接CAC5,則C4_LN4,C8_LNB,則N,A,C,8四點(diǎn)在以NC為直徑

的圓上,

,半徑為業(yè);十乂,圓的方程為

廝+無

設(shè)NCv。,%）,則該圓的圓心為（x

22)4

又該圓和圓C的交點(diǎn)弦即為A8,

[f、222

故A8:f+）,2_1血-y-A=16-無土苑，整理得/x+），o），=16,又點(diǎn)在直線A8上,

故事+g%=16,即N點(diǎn)軌跡為工+6），-16=0,又M在圓工2+）,2=I上，故|MV|的最小值為

16

圓心（0,0）到直線“+6），-16=0的距離減去半徑1,即1=7.

x/3+I

故選：B.

8.C

【解析】由題設(shè)尸（G0）,A（0,〃）,P（x，y）,Q（X2，%），則線段尸。的中點(diǎn)為8（小,兄），

—.3cb

x=

由三角形重心的性質(zhì)知A/=2五8，即9一。）=2（$-c，）'o），解得：o-^yo=--

即8（手,一§]代入直線/:6x-5y-28=0,得9c+也一28=0①.

、22）2

又3為線段PQ的中點(diǎn)，則%+%=3c，x+%=一人，

又尸,Q橢圓上兩點(diǎn)，.?.工+”=1.與+￡=i,

a2b2a2b2

以上兩式相減得(i)L)+=0,

a2b2

12

V'l-V2bx,+x2b3c6八mzi「、

所以左PO=---------=------=—7x—r=7,化簡得2a-=5bc?

x1-x2a~+y2a-b5

。=2石

由①②及解得：b=4,即離心率6=包.

c5

c=2

故選：C.

二、多選題

9.AC

【解析】對直線方程y=x-2,令x=o解得)=-2,故該直線在y軸上的截距為一2,故A正確；

經(jīng)過點(diǎn)A(。,2)的直線若斜率存在，可用y="+2表示；若斜率不存在，則無法用y=^+2表示，故B錯

誤，

6(7、(7、

當(dāng)〃2。0時，6x+my+14=0可整理為：y=---x+—\,恒過定點(diǎn)一；,0：

"?I3)\3>

當(dāng)〃?=0時，6x+/〃y+14=°即為x=,過點(diǎn)(一(,())；

(7}

故直線6x+沖+I4=0(〃ZWR)必過定點(diǎn)-,C正確，

直線3x+4y+9=0與直線6x+w+24=0平行，則〃?=8,

此時6x+陽+24=0即6%+8y+24=0,也即3n+4y+12=0,

則兩,行線間的距離"=,!=￡,故D錯誤.

V32+425

綜上所述，正確的選項(xiàng)是：AC.

故選：AC.

10.AC

【解析】對A,2a=4<\AB\,故點(diǎn)P的軌跡不存在，A正確；

對BC,2a=8>|AB|,故點(diǎn)。的軌跡是橢圓，且焦距為|4卻=6,故B錯誤，C正確；

對D,2a=6=\AB\t故點(diǎn)夕的軌跡為線段48,D錯誤.

故選：AC

11.ABD

c1

【解析】對于選項(xiàng)A,由橢圓。的方程知a=2,b=6c=\,所以離心率6=一二一，故選項(xiàng)A正確；

a2

對于選項(xiàng)B,由橢圓的定義可得|PK|+|P用=4,所以|尸制.|尸叫J怛粵招=4,即歸耳卜|尸鳥|的最

大值為4,故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時，△尸￡鳥的面積取得最大值gx2xG=G<2,故選項(xiàng)C錯

誤；

對于選項(xiàng)D,易知M(—3,4),則圓M:(x+3『+(y-4)2=4,所以

儼口一歸用二仍0|—(4一|可|”|2用一42|巾|一2-4=26-6,故選項(xiàng)D正確，

故選：ABD.

12.BD

--X2V2

【解析】由橢圓C：r+4=l(a>〃>0),

a~b-

可得A(—a,0).A?(?0).B40.b),B2(0,—b),6(-c,0).兄(c.0).

對于A,14Ml.優(yōu)闋二忻段2,即(〃_C)2=(2C)2,化簡得。一C=2C,即e=?=g,不符合題意，故A錯

誤；

對于B,/耳用4=90°,則|&耳|2=|右耳|2+|用4|2,即3+。)2=°2+52+從),

化簡得c2+〃c—〃2=o,即有/+6一1=0,解得6=且二！Q=一石T舍去),符合題意，故B正確；

22

/,2\b2_h

對于C,Pf；_Lx軸，且尸?！?4,所以P-c,—,由即。=心用，可得丁二二￡，

解得〃=c，又/=/+/,所以C=￡=QL=Y2,不符合題意，故C錯誤；

ci\J2c2

對于D,四邊形4與4片的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)"，F(xiàn)2,即四邊形人生&g的內(nèi)切圓的半徑為C,

則"=°戶萬，結(jié)合〃一，/一。2,即/一3/+1—。，解得/一出叵（舍去）或/一三5,即

22

6二縣]，符合題意，故D正確；

2

故選：BD

13.4x-3y=?；蚬?），-7=0或x-y+l=0

4

【解析】若截距〃都為0,即直線過原點(diǎn)，則直線方程為曠=3%=4,[3），=0；

若截距。不為0,令直線為二+2=1或二一2=1,

aaaa

v-A!34

當(dāng)一-2=1,則=十-=1=＞。=7,故直線方程為x+y-7=（）；

aaaa

Yv?34

當(dāng)±-2=1,則-----=i=〃=_],故直線方程為x-y+l=0；

aaaa

綜上，直線方程為4x—3y=。或x+y—7=0或x-y+l=0.

故答案為：41-3），=?；蚬?），-7二?；虿灰唬?，+1=。

14.31或49【解析】

因?yàn)闄E圓器+t=1（攵＞（））的焦距為6,所以c=3.

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在工軸上時，因?yàn)?=40，從二女，所以”J40-1=3,解得k=31；

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在丁軸上時，因?yàn)?=攵，82=40，所以。=〃-40=3,解得々=49.

綜上所述，A的值為31或49.故答案為：31或49

小

3

【解析】若4〃/2,則（。一3）（2〃-3）=（1-。）（。一1）,解得或〃=2,

當(dāng)a=2時，4和4重合，舍去，所以〃=

故答案:—.

3

16.26

【解析】由△QQ外接圓的面積為耳，則其外接圓半徑為如.

3&

???△0匹P是以。尸為底邊的等腰三帶形，設(shè)""二a，則/02/=萬一2口,

叵_0_2瓜

得sin2a———

sinzfOPFsin2a32

?，?a=巳或a=巳.

63

不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸下方，由△OEP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，知：火"二—%?=#或

又根據(jù)點(diǎn)差法可得女""8二-1,有:=’,而4=3（此時焦點(diǎn)在）'軸上，舍去）?

a~a~3a~

x~V2

為橢圓。：二十與=l(a>〃>0)的右焦點(diǎn),

a2b2

:.a=6故橢圓C的長軸長為2萬.故答案為:26

17.

【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為石=1,

a=2>/3

2c=2V6

則<b2+c2=a2=<b=瓜

(陶c=\/6

3r?

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+￡=i

126

（2）由（1）知，橢圓的長半軸長為a=2』，

頂點(diǎn)強(qiáng)標(biāo)為（26,0）、（—26,0）、（0,76）,（0,-76）,

吉、說c

離心型e=—=—V6=—V2?

a2yJ32

18.

【解析】（1）

點(diǎn)M（4/）關(guān)于直線y=一工的對稱點(diǎn)必（。⑼,

b-\.

八A/必=--------=1

a4

~解得q=_l]=-4,所以必(一1,一4),

1+b4+。

22

由于E1C過點(diǎn)A(4,0),8(0,4),因?yàn)閳A心。在直線：/：x+y-6=0上，

AB垂直平分線的方程為)'=x,聯(lián)立)'=x與x+y-6=()得圓C的圓心。(3,3,

3-H)_7

則反射光線/,必經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)C,匕%

c-h3-(-1)4

7

由點(diǎn)斜式得(為：y-3=-(x-3)f/|：7x-4y-9=0,

(2)設(shè)點(diǎn)。(%，%)，則/+%-6=0,則為=6-%又242+。52=(%-4)2+為2乜)2+(%-4)2

22

=2x(；+2y-8^()-8y0+32=2x0+2y0-16=4(x0-3)+20,

故當(dāng)當(dāng)=3時，Ql+QB?的最小值為20.

19.如圖所示，四棱錐尸-ABC。的底面A3。。是平行四邊形，E、b分別是棱3C、0。的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面PAB；

(2)若PA±AD,EF±AD,AP=AB=ADfNPAB=60，求二面角￡)一心一A的正切值.

【解析】

(1)證明：取A4中點(diǎn)G,如圖所示.

E、產(chǎn)分別為8C、PQ中點(diǎn),

GF//AD,且G/n,AO,

2

又ABC。是平行四邊形，

:.BE//AD，且BE」A。，

2

所以且GF=BE,

所以8同G是平行四邊形，所以所BG,

因?yàn)镋Fz平面R4B區(qū)Gu平面〃相，

所以E/。平面P45.

(2)因?yàn)镋F〃BG,AD±EF,所以AO_L3G,

因?yàn)锳DLPA,且BGcE4=GBGu平面QAu平面248,

所以AO_L平面PA,

取PB中點(diǎn)H,(如上圖)，因?yàn)镻4=AB,

所以AH工PB，因?yàn)锳D_L平面BAB,PBu平面h4區(qū)，

所以AD1PB,而A￡>cAH=4ADAHu平面AD”，

所以P8_L平面AO",QHu平面A￡W，

所以DH上PB，所以/OHA是二面角。一心—A的平面角.

設(shè)AP=A8=4O=勿，

因?yàn)閆PAB=60，所以A"=6。，

所以lan/Z)H4=——=-

AH3

20.

【解析】

(1)

解：設(shè)動圓尸的半徑為乙

依題意有IP用=3-r,\PF2\=l+r,|尸K|+|P和=4>|￡K|.

所以軌跡c是以K，K為焦點(diǎn)的橢圓，

且C=l，4=2,所以/?=y/3?

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓右頂點(diǎn)時，r=0不符合題意，舍去.

22

所以軌跡C的方程工+匕=l（x￥2）.

43

（2）解：設(shè)A（x，），J,3*2，%），

y=kx-2

聯(lián)立直線/與橢圓C的方程X2y2,可得(3+4公優(yōu)-16米+4=0,

T+T-

所以百Ix,-16〃,**=4△=]5(|2Z：2-3)>0,得k?>',

'3+4K~3+4A：-4

9

設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d=廿〒,

J1+G

所以1431=Jl+k。|Xj-x1=\!\+k2](x+x)2-4x^2=Jl+k?

2yl24,_-

所以砌八當(dāng)平

令"M—1=/,(/>()),貝ij4A2=1+/,

454x/3/4>/3

=6

所以…r+47,當(dāng)且僅當(dāng)/=2時，等號成立,

即當(dāng)上=±且時,△OA8面積取得最大值百，此時直線方程為），=±咚x-2.

2

21.

【解析】

（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c（c〉0），過/且垂直于x軸的直線被橢圓C所截得的弦長分別為殍，則

—=—：過/且垂直于x軸的直線被圓。所截得的弦長分別為2近，則2＞廬下'=20，又

a3

22

a=6rv

—/=/,解得L，所以。的方程為L+L=1.

b=y/232

(2)設(shè)P(%%)(%%工0),則*+y；=3.①

設(shè)過點(diǎn)P與橢圓C相切的直線方程為）=為=〃（X-X。）,

j：；）得（3攵2+2）x2+6M），o_5）x+3［（），o_a）y_2=0,

聯(lián)立

則△二［6火（為_5）］一4乂（3攵2+2卜3［（），0-履（））2-2=0,

整理得（片-3*-2/Y/+y：-2=0.②

2x,y2x?w2x

由題意知人,向?yàn)榉匠挞诘膬筛?，由根與系數(shù)的關(guān)系及①可得勺+%2=r彳r=二^二—-^

玉）—J->'oX）

又因?yàn)殡?=%=&，所以優(yōu)+3&=_徑?比=_2,所以（4+&）%為定值一2.

*0）'oX。

22.

（1）選①，由氏