廣西北海市2023−2024學年高一下學期期末教學質量檢測 數(shù)學試卷（含解析）

廣西北海市2023?2024學年高一下學期期末教學質量檢測數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．在平行四邊形中，點滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為6，則該圓錐的體積是（

）A． B． C． D．4．在中，內角的對邊分別為，且，則（

）A． B． C． D．5．密位制是度量角的一種方法．把一周角等分為份，每一份叫做1密位的角．以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四個數(shù)碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不寫.密位的寫法是在百位數(shù)與十位數(shù)字之間畫一條短線，如7密位寫成“”，密位寫成“”．1周角等于密位，記作1周角，1直角.如果一個半徑為的扇形，它的面積為，則其圓心角用密位制表示為（

）A． B． C． D．6．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為奇函數(shù)，則可能的取值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在正四面體ABCD中．點E是線段AD上靠近點D的四等分點，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若的圖象與函數(shù)的圖象交于A，B兩點，則(O為坐標原點)的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在方格中，向量的起點和終點均為小正方形的頂點，則（

）

A． B． C． D．10．如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，是線段上的一個動點，則下列說法正確的是（

）A．正方體的內切球的表面積為B．C．三棱錐的體積隨著的變化而變化D．存在點，使得平面11．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸C．若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為D．將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮小為原來的，再將所得的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若時，函數(shù)有且僅有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．在單位圓上有三點，設三邊長分別為，則.13．已知向量，是單位向量，若，則與的夾角為.14．如圖，三棱臺的上、下底邊長之比為，三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，則.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知，復數(shù)是純虛數(shù)，求的值.（2）已知，設是虛數(shù)單位），求.16．已知角,，，.(1)求的值；(2)求的值.17．如圖，為了測量出到河對岸鐵塔的距離與鐵搭的高，選與塔底B同在水平面內的兩個測點C與D.在C點測得塔底B在北偏東方向，然后向正東方向前進20米到達D，測得此時塔底B在北偏東方向.

(1)求點D到塔底B的距離；(2)若在點C測得塔頂A的仰角為，求鐵塔高.18．中，內角的對邊分別為，記的面積為，且.(1)求角；(2)若為的中點，且，求的內切圓的半徑.19．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，分別為的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.

參考答案1．【答案】A【分析】先根據復數(shù)的運算求出復數(shù)，然后求出其共軛復數(shù)，從而可求得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以的虛部為.故選A.2．【答案】B【分析】借助平面向量的線性運算計算即可得.【詳解】因為，所以，所以.故選.3．【答案】C【分析】結合等腰直角三角形的性質與圓錐的母線長可計算得到圓錐的高與底面半徑，結合體積公式計算即可得解.【詳解】設該圓錐底面圓的半徑為，則，解得，所以該圓錐的高，所以該圓錐的體積.故選4．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系結合正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以，所以，由正弦定理得，所以.故選.5．【答案】B【分析】根據扇形面積公式即可求得圓心角，再根據密位制定義即可求解.【詳解】設扇形所對的圓心角為，所對的密位為，則，解得，由題意可得，解得，所以該扇形圓心角用密位制表示為．故選B.6．【答案】C【分析】根據題意，可得的解析式，根據為奇函數(shù)，可得，即可求得的表達式，對k賦值，即可求得答案.【詳解】由題意得，若函數(shù)為奇函數(shù)，可得，解得．令，可得，所以可能的取值為.故選C.7．【答案】A【分析】過點E作直線BD的平行線，交AB于點F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補角，利用余弦定理求解即可.【詳解】過點E作直線BD的平行線，交AB于點F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補角，不妨設，易得，，在中，由余弦定理得，所以異面直線EC與BD所成角的余弦值為．故選A．

8．【答案】B【解析】聯(lián)立函數(shù)可求出A，B坐標，即可求出面積.【詳解】由題意有，有，有，解得或（舍去），由可得或，則點A的坐標為，點B的坐標為.線段中點的坐標為，則的面積為.故選B.9．【答案】BCD【分析】如圖建立平面直角坐標系，設每個方格的邊長為1，利用向量的坐標運算逐項判斷.【詳解】如圖建立平面直角坐標系，設每個方格的邊長為1，

則，，.對于A：，，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故正確.故選.10．【答案】ABD【分析】根據內切球的半徑為判斷A；證明平面，即可判斷B；證明平面，即可判斷C；當點是線段的中點可證平面，即可判斷D.【詳解】棱長為的正方體內切球的半徑為，所以正方體內切球的表面積，故A正確；在正方體中，平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；因為，且平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故C錯誤；當點是線段的中點時，則點也是線段的中點，又是棱的中點，所以，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，平面，所以平面，所以平面，故D正確.故選ABD.11．【答案】AD【分析】利用輔助角公式化簡原函數(shù)，再求解最小正周期判斷A，代入檢驗法判斷B，利用三角函數(shù)的性質判斷C，D即可.【詳解】因為；所以的最小正周期為，故正確；又由，故錯誤；當時，可得，當，即時，取得最小值，因為時，恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為，故C錯誤；由題意得函數(shù)，因為，所以，又因為函數(shù)有且僅有5個零點，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故D正確.故選.12．【答案】【分析】根據合分比定理結合正弦定理求解.【詳解】單位圓的半徑為，故的外接圓直徑為，根據正弦定理得，根據合分比定理得.13．【答案】【分析】借助向量數(shù)量積公式、模長與數(shù)量積的關系及向量夾角公式計算即可得.【詳解】由題意知，，由，所以，即，所以，所以，由，得.14．【答案】【分析】利用錐體體積公式與棱臺體積公式計算出三棱錐與三棱臺的體積之比，再結合割補法即可得解.【詳解】由三棱臺的上、下底邊長之比為，可得上、下底面的面積比為，設三棱臺的高為，則點到平面的距離也為，設上底面面積為，則下底面面積為，則，，所以，所以.15．【答案】（1）（2）【分析】（1）由純虛數(shù)的概念列出方程組，求解即可.（2）根據復數(shù)相等求出的值，再求模.【詳解】（1）因為復數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得；（2）因為，所以，所以，解得，所以.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)關系求得，，從而利用兩角差的正切公式求得，最后化弦為切代入求解即可；（2）利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】（1）由題意角,，由得，則.所以，所以；（2）.17．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的長；（2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得.【詳解】（1）由題意可知，，故，在中，由正弦定理得，即，所以，所以點D到塔底B的距離為米；（2）在中，由正弦定理得，得，在中，，所以鐵塔高為米.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知等式結合三角形的面積公式和余弦定理化簡可求出角；（2）由題意得，兩邊平方化簡可求出，再利用余弦定理可求出，然后利用等面積法可求得結果.【詳解】（1）因為，所以，由余弦定理得，所以，又，所以；（2）因為為的中點，所以，因為，所以，解得或（舍），由余弦定理得，所以，設的內切圓半徑為，則，所以，解得.19．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）先證平面，從而得，接著進一步可證平面，再根據面面垂直判定定理即可得證；（2）過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，連接，接著證明平面即可得到為二面角的平面角，根據已知條件求出的余弦值即可得解.【詳解】（1）因為，所以，又，所以，所以，又,平面，所以平面，又平面，所以，因為是等邊三角形，是的中點，所以，又，,平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因為平面平面，所以平面平面，在中，過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，連接，如圖所示，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，所以