安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)考2024~2025學(xué)年 高三下冊階段性檢測數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)考2024_2025學(xué)年高三下冊階段性檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．若，則（

）A． B． C． D．4．2024年春節(jié)檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒·逆轉(zhuǎn)時空》異?；鸨?，甲、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看的方法有（

）A．243種 B．162種 C．72種 D．36種5．已知向量，滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知正項等比數(shù)列的前項和為，設(shè)，若為某一等比數(shù)列的前項和，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．－27．已知某圓臺的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．8．當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓，直線，則（

）A．直線過定點B．圓被軸截得的弦長為C．圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為D．直線與圓相交于、兩點，不可能為10．正三棱柱的各棱長相等，且均為在內(nèi)及其邊界上運動，則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得平面B．三棱錐的體積的取值范圍為C．為中點，若平面，則動點的軌跡長度為D．為中點，若，則動點到平面的最大距離為11．已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．0是的極小值點B．當(dāng)時，C．若，則D．若存在極大值點，且，其中，則三、填空題（本大題共3小題）12．某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識競賽，每名學(xué)生的成績，成績不低于90分為優(yōu)秀，依此估計優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為（結(jié)果填整數(shù)）.附：若，則，.13．已知雙曲線的右焦點，過點作直線交雙曲線左右兩支于兩點，且，過點作直線的垂線交雙曲線于點，若點、兩點關(guān)于原點對稱，則雙曲線的離心率為．14．設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分期為a，b，c，已知點D在邊AC上，且，．(1)證明：是等腰三角形(2)若，求16．如圖，在三棱柱中，平面平面，為線段上一點．

(1)求證：；(2)是否存在點，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.17．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，求m的最大值．18．已知橢圓過點，且的右焦點為．(1)求的方程；(2)設(shè)過點的一條直線與交于兩點，且與線段交于點．（i）證明：直線平分；（ii）若的面積等于的面積，求的坐標(biāo)．19．對于數(shù)列，如果存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得，則稱數(shù)列是“優(yōu)分解”的．(1)證明：如果是等差數(shù)列，則是“優(yōu)分解”的．(2)記，證明：如果數(shù)列是“優(yōu)分解”的，則或數(shù)列是等比數(shù)列．(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，如果和都是“優(yōu)分解”的，并且，求的通項公式．

答案1．【正確答案】D【詳解】由，得，即，解得，∴，.故選D.2．【正確答案】B【詳解】因為，所以，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，因此在第二象限.故選B.3．【正確答案】D【詳解】，且.故選D.【關(guān)鍵點撥】對于三角函數(shù)的給值求值問題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：（1）已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和或差．（2）已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補”關(guān)系．4．【正確答案】B【詳解】先安排甲、乙兩人，有種方法，再安排其余3人，每人有3種安排方法，故共有（種）方法.故選B.5．【正確答案】B【詳解】因為，所以，所以，從而在上的投影向量為．故選B.6．【正確答案】B【詳解】當(dāng)時，，，不滿足，所以.當(dāng)時，由題意，所以，即，解得（舍去）.所以.所以.又為某一等比數(shù)列的前項和，設(shè)該等比數(shù)列首項為，公比為，則，又，所以.所以實數(shù)的值為.故選B.7．【正確答案】C【詳解】如圖，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內(nèi)切球的球心O一定在的中點處，設(shè)球O與母線切于M點，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過A作，垂足為G，則，，所以，所以，所以，所以，所以該圓臺的體積為.故選C.8．【正確答案】C【詳解】解：令當(dāng)時故是的一個根.當(dāng)時令則所以在上單調(diào)遞增，所以所以時即方程在無實數(shù)根.當(dāng)時在上單調(diào)遞減，且如圖所示：與的圖象在上有兩個交點，所以方程在有兩個不同的根.綜上所述，曲線與的交點個數(shù)為故選C.9．【正確答案】AD【詳解】將直線的方程變形為.令，用第一個方程減去第二個方程可得：，即，解得.把代入，得，解得.所以直線過定點，A選項正確.在圓的方程中，令，則，即，，，解得，.所以弦長為，B選項錯誤.已知圓：，則圓心，半徑.由前面可知直線過定點，.當(dāng)直線與垂直時，圓被直線截得的弦長最短，此時直線的斜率.又直線過點，根據(jù)點斜式方程可得直線的方程為，即，C選項錯誤.若，則圓心到直線的距離.點到直線的距離.假設(shè)，兩邊平方可得，即，，此時，方程無解，所以不可能為，D選項正確.故選AD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，取的中點，的中點為，連接，由為等邊三角形，所以，又由正三棱柱中，可得，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，因為平面平面，過作于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，在矩形中，，所以，如圖所示，此時的延長線與線段無公共點，所以不存在點，使得平面，A選項錯誤；對于B,三棱錐的體積.的面積的取值范圍是（當(dāng)在內(nèi)運動時，大于，當(dāng)在BC邊的高的端點時取到最大值）.點到平面的距離就是正三棱柱的高.根據(jù)三棱錐體積公式（為底面積，為高），可得，所以的取值范圍是，B選項正確.對于C，由點為中點，取的中點，連接，可得，，因為平面，且平面，所以平面，同理可得平面，又因為，且平面，所以平面平面，因為平面平面，由平面，所以動點的軌跡為線段，其長度為，C選項正確；對于D，以中點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)（x，y滿足的邊界條件）.，.因為，所以，即.平面的法向量，設(shè)，，.由，令，可得，，即.點到平面的距離，將代入可得.結(jié)合在內(nèi)及其邊界上，可得當(dāng)時，取得最大值，D選項正確.故選BCD.1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.11．【正確答案】ACD【詳解】由題意可得，令，當(dāng)時，得或，對于A，當(dāng)時，令，解得或，則在和上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，同理，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故A正確；對于B，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又，，所以，故B錯誤；對于C，若，則，則.所以，，則，故C選項正確.對于D，若存在極大值點，則，即，因為，所以，所以，，即，又，所以，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】23（22也可以）【詳解】由每名學(xué)生的成績，得，則，則優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)另一個焦點為，連接，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的對稱性可得是的中點，也是的中點，所以四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形為矩形，所以，所以在中，，所以，化簡得，在中，，則，所以，得，所以，所以離心率.14．【正確答案】【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由正弦定理可知，又，所以，又因為，所以所以是等腰三角形（2）設(shè)，，則，，，所以在中，由余弦定理，得：，在中，∵，∴∴16．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，或【詳解】（1）連接，因為在三棱柱中，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為菱形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以;（2）如圖，以的中點為坐標(biāo)原點，過O作射線,則可以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為，則，，設(shè)，則，記平面的法向量，則，即，得，易得平面的法向量，由題意：，解得：或，經(jīng)驗證，或均符合題意．所以或.17．【正確答案】(1)答案見解析(2)0【詳解】（1）的定義域為，，①當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)選減；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：，則的定義域為，，若有兩個極值點，則方程的判別式，且，得，所以因為，所以令設(shè)由，得在上單調(diào)遞減，所以，所以，即所以的最大值為0．18．【正確答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）或．【詳解】（1）根據(jù)題意有，且由橢圓的幾何性質(zhì)可知，所以．所以的方程為．（2）（i）因為橢圓的長軸右端點橫坐標(biāo)為，所以的斜率一定存在（否則與橢圓沒有交點）設(shè)的方程為，代入的方程有：，其中，故，設(shè)，則，若直線平分，且易知軸，故只需滿足直線與的斜率之和為0．設(shè)的斜率分別為，則：，代入，有，故命題得證．（ii）由（i）知直線平分，即．因為的面積等于的面積，故，即，故．故，在線段的垂直平分線上．易知線段的垂直平分線為，與的方程聯(lián)立有，故的坐標(biāo)為或．19．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）是等差數(shù)列，則，令，可得結(jié)論；（2）設(shè)，可得，進而可得結(jié)論；（3）設(shè)，可得是首項為2，公比為的等比數(shù)