甘肅省蘭州市2023−2024學(xué)年高一下冊7月期末考試數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/甘肅省蘭州市2023?2024學(xué)年高一下冊7月期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．樣本數(shù)據(jù)2，3，4，5，6，8，9的第30百分位數(shù)是（

）A．3 B．3.5 C．4 D．52．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若則（

）A． B．0 C．5 D．93．下列說法中：（1）某種中獎的概率是，因此買100張該種一定會中獎（2）做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是（3）若事件兩兩互斥，則（4）若事件A，B滿足，則A，B互為對立事件正確的說法有（

）個A．0 B．1 C．2 D．34．已知數(shù)列的通項公式為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．設(shè)m、n為空間中兩條不同直線，α，β為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的為（）A．若m上有兩個點到平面α的距離相等，則m//αB．若m⊥α，n?β，則“m//n”是“α⊥β”的既不充分也不必要條件C．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nD．若m，n是異面直線，m?α，m//β，n?β，n//α，則α//β6．在四面體ABCD中，AB＝CD，且異面直線AB與CD所成的角為50°，M，N分別是邊BC，AD的中點，則異面直線MN和AB所成的角為（

）A．25°或50° B．25°或65° C．50° D．65°7．圓臺的上?下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則下面說法不正確的是（

）A．圓臺的母線長是20 B．圓臺的表面積是C．圓臺的高是 D．圓臺的體積是8．已知是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．在復(fù)平面對應(yīng)的點位于第二象限 B．的虛部是C． D．10．將一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的骰子隨機擲兩次，記錄每次正面朝上的數(shù)字，甲表示事件“第一次擲出的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次擲出的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是7”.則（

）A．事件甲與事件丙是互斥事件B．事件甲與事件丁是相互獨立事件C．事件乙包含于事件丙D．事件丙與事件丁是對立事件11．如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為的中點，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點C與點G到平面的距離相等三、填空題（本大題共3小題）12．甲、乙兩名考生填報志愿，要求甲、乙只能在A，B，C這3所院校中選擇一所填報志愿．假設(shè)每位同學(xué)選擇各個院校是等可能的，則院校A，B至少有一所被選擇的概率為．13．已知，則.14．如圖，從正四面體的4個頂點處截去4個相同的正四面體，得到一個由正三角形與正六邊形構(gòu)成的多面體.若該多面體的表面積是，則該多面體外接球的表面積是.

四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，正方體的棱長為2.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.16．某高校承辦了2024年上海帆船公開賽的志愿志選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．(1)求、的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；(2)在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個來自同一組概率．17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.(1)求；(2)若D在邊BC上且，，求AD的長.18．已知點是邊長為2的菱形所在平面外一點，且點在底面上的射影是與的交點，已知，是等邊三角形.(1)求證：；(2)求點到平面的距離；(3)若點是線段上的動點，問：點在何處時，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值時線段的長.19．如果數(shù)列滿足：且則稱為n階“歸化”數(shù)列.(1)若某3階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，且單調(diào)遞增，寫出該數(shù)列的各項；(2)若某11階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；(3)若為n階“歸化”數(shù)列，求證

答案1．【正確答案】C【分析】利用百分位數(shù)的求法計算即可.【詳解】易知，則該組數(shù)據(jù)的第三個數(shù)4為第30百分位數(shù).故選C2．【正確答案】B【分析】由求和公式結(jié)合角標(biāo)性質(zhì)求解.【詳解】.故選B3．【正確答案】A【分析】根據(jù)隨機事件的概念即可說明（1）、（2）；舉例即可說明（3）；由對立事件的定義判斷（4）.【詳解】對于（1）：由于事件結(jié)果的隨機性，購買100張不一定會中獎，故錯誤；對于（2）：做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是，不是概率為，故錯誤；對于（3）：事件兩兩互斥，比如投擲質(zhì)地均勻的骰子試驗中，三個事件：投擲出1點，2點，3點，這三個事件兩兩互斥，但這三個事件的和事件發(fā)生的概率為，故錯誤；對于（4）：比如事件“拋擲一枚硬幣，正面朝上”，事件“拋擲一個骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點”，滿足，但是事件可以同時發(fā)生，故錯誤；故選A.4．【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用遞增數(shù)列的定義列式求解即得.【詳解】由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，，而，則，，而恒成立，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故選D.5．【正確答案】D【詳解】對于A，當(dāng)直線m與α相交時，直線m上關(guān)于交點對稱的兩點到平面的距離相等，故A錯誤；對于B，若m⊥α，n?β，m//n，則n⊥α，又n?β，所以α⊥β；當(dāng)α⊥β時，m⊥α，當(dāng)m?β時，n?β，m,n可以相交，所以“m//n”是“α⊥β”的充分不必要條件，故B錯誤；對于C，若α⊥β，m?α，n?β，m與n位置關(guān)系不固定，可以是各自平面內(nèi)的任意直線，故C錯誤；對于D，若m、n是異面直線，m?α，m//β，n?β，n//α，則在直線m任取一點P，過直線n與點P確定平面γ，γ∩α=c，又n//α，則n//c，n?β，c?β，所以c//β，又m//β，m?α,c?α,m∩c=P，所以α//β，故D正確.故選D.6．【正確答案】B【分析】取中點，分情況討論的大小，然后根據(jù)異面直線所成角的定義求解．【詳解】取中點，連接，∵M(jìn)、N分別為邊BC和AD的中點，∴，且，∴異面直線AB與CD所成的角是或其補角，由，，得，異面直線MN和AB所成的角是或其補角．異面直線AB與CD所成的角為50°，則或，若，則，異面直線MN和AB所成的角是，若，則，異面直線MN和AB所成的角是，故選B．7．【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，作出圓臺側(cè)面展開圖，求出圓臺的母線長和高，再利用表面積和體積公式求解判斷作答.【詳解】依題意，圓臺側(cè)面展開圖，如圖，

設(shè)圓臺的上底面周長為，由扇環(huán)的圓心角為，得，又，則，同理，于是圓臺的母線，高，表面積，體積，ABD正確，C錯誤.故選C.8．【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量運算的坐標(biāo)表示即可計算作答.【詳解】是邊長為2的正方形，則以點A為原點，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，設(shè)點，，于是得：，當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值是.故選B.【方法總結(jié)】用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種方法(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基中的向量盡量是已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算．(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算．一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法9．【正確答案】BCD【分析】先對復(fù)數(shù)化簡計算，然后逐個分析判斷即可.【詳解】，在復(fù)平面對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第二象限，故A正確；的虛部是，，，故BCD錯誤；故選BCD.10．【正確答案】AB【分析】根據(jù)題意，利用列舉法得到事件甲，乙，丙，丁，再由事件的關(guān)系，以及獨立事件的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，事件甲：第一次擲出的數(shù)字是1有：，事件乙：第二次擲出的數(shù)字是2有：，事件丙：兩點數(shù)之和為8的所有可能為：，事件?。簝牲c數(shù)之和為7的所有可能為：，其中，對于A中，事件甲與事件丙不能同時發(fā)生，所以事件甲與事件丙是互斥事件，所以A正確；對于B中，由，所以，所以事件甲與事件丁是相互獨立事件，所以B正確；對于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C錯誤；對于D中，根據(jù)對立事件的定義，可得事件丙與事件丁不對立，所以D錯誤.故選AB.11．【正確答案】BC【分析】A選項根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；B選項根據(jù)面面平行的判定定理和性質(zhì)定理判斷；C選項根據(jù)基本事實得到平面截正方體的截面為，然后求面積；D選項根據(jù)點和點與平面的位置判斷.【詳解】A選項：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；B選項：取中點，連接，，因為，，分別為，，中點，所以，，又平面，平面，所以∥平面，因為，平面，所以平面∥平面，因為平面，所以∥平面，故B正確；C選項：連接，，因為為的中點，所以，所以平面截正方體的截面為，，故C正確；D選項：連接交于點，延長交的延長線于點，因為為的中點，所以，，又，所以，即為的三等分點，不是的中點，所以點和點到平面的距離不相等，故D錯誤.故選BC．12．【正確答案】【分析】利用對立事件的概率計算公式和獨立事件的乘法公式即可得到答案.【詳解】設(shè)事件為院校A，B至少有一所被選擇，則其對立事件為兩人均選擇院校，甲選擇院校的概率為，乙選擇院校的概率為，則甲乙同時選擇院校的概率為，則.則院校A，B至少有一所被選擇的概率為.故答案為.13．【正確答案】/0.28【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式化簡求值，即得答案.【詳解】由，得，則，故/0.28.14．【正確答案】【分析】求出原正四面體外接球的半徑，從而可求出多面體外接球的球心到底面的距離，求出多面面體的棱長，即可求出其外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積.【詳解】由題意可得多面體的棱長為原正四面體棱長的，設(shè)原正四面體的棱長為，則其表面積為，由圖易知該多面體與原正四面體相比較，表面積少了8個邊長為的正三角形的面積，所以該多面體的表面積為，所以.如圖，是下底面正六邊形的中心，是上底面正三角形的中心，

由正四面體的對稱性可知截角四面體的外接球的球心在原正四面體的高上，，.設(shè)球的半徑為，在中，，所以，在中，，所以，所以，解得，所以，所以該多面體外接球的表面積.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理即可得證；（2）設(shè)，首先證明即為二面角的平面角，再由解三角形的知識求解即可得答案.【詳解】（1）在正方體，且，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面,∴平面.（2）∵在正方形ABCD中，設(shè)，連接，∴，，∵中，，∴為等腰三角形，∴，∴即為二面角的平面角，∵在中，，∴，即二面角的正弦值為.

【方法總結(jié)】二面角的求法方法一(幾何法)：找→作(定義法、三垂線法、垂面法)→證(定義)→指→求(解三角形)．方法二(向量法)：首先求出兩個平面的法向量m，n，再代入公式cosα＝±(其中m，n分別是兩個平面的法向量，α是二面角的平面角)求解(注意通過觀察二面角的大小選擇“±”)．16．【正確答案】(1)，平均數(shù)為69.5(2)【分析】（1）由每個小矩形面積代表頻率，所有頻率之和為1，可得，；根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算公式即可求解.（2）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型的概率即可．【詳解】（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；平均數(shù)為，（2）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，，，，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有，，，，，．，，，，共有10種情況，其中選出的兩人來自同一組的有，，，，，共6種情況，故選出的兩人來自同一組的概率為．17．【正確答案】(1)2(2)【分析】（1）利用余弦定理和面積公式求解；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求解.【詳解】（1）因為，，所以.所以，得即.（2）因為，所以，解得，因為，且為三角形的內(nèi)角，所以，，又因為，所以.因為，∴.所以，所以，所以.【方法總結(jié)】求向量的模的常見思路及方法：(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)點在線段上靠近點的4分點處，此時，.【分析】（1）由題可得平面，故，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；（2）由題干數(shù)據(jù)結(jié)合即可求解；（3）由線面平行的判定定理可得，可得到平面的距離即為到平面的距離，過作垂線平面交于點，要使角最大，則需使最小