2.2.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 課件 高二數(shù)學(xué)北師版 選擇性必修2VIP

2.2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.平均變化率的幾何意義【問(wèn)題1】設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，點(diǎn)

，點(diǎn)

，則

在

上的平均變化率為結(jié)合直線斜率的定義可知：函數(shù)在點(diǎn)P0到點(diǎn)P之間的平均變化率即為割線P0P的斜率.它表示什么？

xyx0x0+?xf(x0)f(x0+?x)y=f(x)OP?P0T?f(x0+?x)-f(x0)觀察右圖，當(dāng)點(diǎn)

P沿著曲線y＝f(x)趨近于點(diǎn)

P0時(shí)，割線

P0P的變化趨勢(shì)是什么？我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y＝f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0(x0,f(x0))時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線P0T稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0

處的切線.xyOy＝f(x)f(x0)x0T切線的定義：P0P在曲線y＝f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))此切線定義與初中學(xué)過(guò)的圓的切線定義有何不同

？導(dǎo)數(shù)f

′(x0)的幾何意義：割線P0P的斜率k切線P0T的斜率k0點(diǎn)P→點(diǎn)P0函數(shù)

y＝f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f

′(x0)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0,f(x0))處切線的斜率k0導(dǎo)數(shù)f

′(x0)的幾何意義P0TP0TP0T通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P0

處的切線P0T比任何一條割線都更貼近點(diǎn)P0附近的曲線.

如圖，將點(diǎn)P0附近的曲線不斷放大，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P0附近的曲線越來(lái)接近于直線.因此，在點(diǎn)P0

附近，曲線y=f(x)可以用點(diǎn)P0處的切線P0T近似代替.PxyOT即思考：你能求出曲線y=f

(x)在點(diǎn)M(x0,f

(x0))處的切線方程是什么嗎？【例1】已知函數(shù)y=x2及自變量x0=-2.（1）分別對(duì)△x=l，0.5，0.1求y=x2在區(qū)間[x0，x0+△x]上的平均變化率，并畫(huà)出過(guò)點(diǎn)(x0，f(x0))的相應(yīng)割線；（2）求函數(shù)y=x2在x0處的導(dǎo)數(shù)，并畫(huà)岀曲線y=x2在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線.解：當(dāng)△x=l，0.5，0.1時(shí)，區(qū)間[x0，x0+△x]相應(yīng)為[-2，-1]，[-2，-1.5]，[-2，-1.9]，y=x2在這些區(qū)間的平均變化率分別為令△x趨于0，可知函數(shù)y=x2在x0=-2處的導(dǎo)數(shù)為-4.如圖，其相應(yīng)割線分別是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，4）和點(diǎn)（-1，1）的直線l1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，4）和點(diǎn)（-1.5，2.25）的直線l2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，4）和點(diǎn)（-1.9，3.61）的直線l3.（2）函數(shù)y=x2在區(qū)間[x0，x0+△x]上的平均變化率為因此，曲線y=x2在點(diǎn)（-2，4）處的切線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，4），斜率為-4的直線l，如圖.

歸納總結(jié)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟根據(jù)今天所學(xué)，回答下列問(wèn)題：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？2.如何求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的方程？1.如圖，直線l是曲線y=f(x)在x=4處的切線，則f

′(x0)=()A.0.5B.3C.4D.52.曲線y=-2x2+1在點(diǎn)P(1，-1)處的切線方程為

.A4x+y-3=03.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是(

)A.0<f'(2)<f'(3)<f(3