第3章函數(shù)的概念與性質(zhì) 單元測試（含答案） 2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊VIP

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)單元測試

一、選擇題1．令定義在R上的非常數(shù)奇函數(shù)的表達式為，且，則的值為()A. B. C. D.42．若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),,則()A.0 B.1 C. D.e3．函數(shù)的值域是()A.R B. C. D.4．1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805—1859）認為“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù).”此外，他還給出了“狄利克雷函數(shù)”：自此，人們對函數(shù)的本質(zhì)有了深刻的理解，設(shè)則（）A.1 B.0 C. D.5．已知,則()A.e B.2e C. D.6．已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意的,,,則()A. B.0 C.2 D.17．某跳水運動員離開跳板后,他達到的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式是（距離單位：米,時間單位：秒）,則他在0.5秒時的瞬時速度為()A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒 D.2.75米/秒8．若函數(shù)是奇函數(shù),則()A.1 B. C. D.二、多項選擇題9．設(shè)是R上的奇函數(shù),且對都有,當時,,則下列說法正確的是()A.的最大值是1,最小值是0 B.當時,C.點是函數(shù)的對稱中心 D.在區(qū)間上是增函數(shù)10．已知函數(shù),下列結(jié)論正確的是()A.是奇函數(shù)B.若在定義域上是增函數(shù),則C.若的值域為R.則D.當時,若,則11．設(shè)均是定義在R上的函數(shù),下列說法正確的是()A.若,,均是定義域上的增函數(shù),則,,中至少有一個函數(shù)是定義域上的增函數(shù)B.若,,均在定義域內(nèi)存在最小值,則,,中至少有一個函數(shù)在定義域內(nèi)存在最小值C.若,,均是定義域上的奇函數(shù),則,,均是定義域上的奇函數(shù)D.若,,均是以為周期的周期函數(shù),則,,均是以T為周期的周期函數(shù)三、填空題12．已知函數(shù)，的最小值是，則實數(shù)________.13．已知函數(shù),則不等式的解集是________.14．某個體戶計劃同時銷售A,B兩種商品,當投資額為x千元時,在銷售A,B商品中所獲收益分別為千元與千元,其中,,如果該個體戶準備共投入5千元銷售A,B兩種商品,為使總收益最大,則B商品需投_______________千元.15．已知函數(shù)若,則________.四、解答題16．設(shè)函數(shù),.(1)解方程：;(2)令,求的值(3)若是實數(shù)集R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.17．已知函數(shù)（,,）是定義在上的奇函數(shù).（1）求和實數(shù)b的值;（2）當時,若滿足,求實數(shù)t的取值范圍;（3）若,問是否存在實數(shù)m,使得對定義域內(nèi)的一切t,都有恒成立?18．已知定義域為R的函數(shù)為奇函數(shù),且滿足,當時,,求.19．已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點,為奇函數(shù).(1)求的解析式;(2)判斷的單調(diào)性,并用定義法證明;(3)若不等式對任意的恒成立,求k的取值范圍.20．已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)利用定義法證明函數(shù)是增函數(shù);(3)已知,當且僅當時,等號成立.設(shè),證明：存在唯一的正實數(shù),使得.

參考答案1．答案：A解析：函數(shù)是R上的非常數(shù)奇函數(shù)，則，解得，，，而不恒為0，因此，即，又x不恒為0，則，解得，經(jīng)驗證，當，時，是奇函數(shù)，所以.故選：A.2．答案：B解析：由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),得,解得.故選：B.3．答案：B解析：當時,,即;當時,;當時,.綜上可知,的值域為.故選：B.4．答案：B解析：因為為無理數(shù)，所以，所以.故選：B.5．答案：D解析：令,則,所以,即,則故選:D.6．答案：C解析：因為對任意的,,,令,,則,即;令,,則,即;可得,令,則,解得.故選：C.7．答案：C解析：函數(shù)關(guān)系式是,在秒的瞬時速度為故選：C．8．答案：B解析：由于函數(shù)是奇函數(shù),故時,,則,故,故選:B9．答案：BD解析：因為是R上的奇函數(shù),所以,又對都有,所以的圖象關(guān)于對稱,因為,即,所以,所以是周期為4的周期函數(shù),又當時,單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞增,由的圖象關(guān)于對稱,得在上單調(diào)遞增,所以在上的最大值是,最小值是,故A錯誤;當時,,則,故B正確;由對都有,得的圖象關(guān)于對稱,故C錯誤;由在上單調(diào)遞增,且周期為4,則在區(qū)間上是增函數(shù),故D正確;故選:BD10．答案：AB解析：對于A,由題函數(shù)定義域為,關(guān)于原點對稱,當時,,,;當時,,,,則函數(shù)為奇函數(shù),故A正確;對于B,若在定義域上是增函數(shù),則,即,故B正確;對于C,當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時值域為,當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時值域為.要使的值域為R,則,即,故C不正確;對于D,當時,由于,則函數(shù)在定義域上是增函數(shù),又函數(shù)是奇函數(shù),故由,得,則,且,且,解得,故D不正確.故選:AB11．答案：CD解析：對于A,設(shè),,,則,,,滿足條件,,均是定義域上的增函數(shù),但函數(shù),,在定義域上都不是增函數(shù),A錯誤;對于B,設(shè),,,則,,,此時若,,均在定義域內(nèi)存在最小值0,但函數(shù),,在定義域內(nèi)都沒有最小值,B錯誤;對于C,因為,均是定義域上的奇函數(shù),所以,兩式相減可得,又為奇函數(shù),故,所以,即,故,所以函數(shù)均是定義域上的奇函數(shù),C正確;對于D,因為,均是以T為周期的周期函數(shù),所以,,兩式相減可得,又是以T為周期的周期函數(shù),故,所以,即,故,,所以函數(shù),,均是以T為周期的周期函數(shù),D正確;故選:CD.12．答案：解析：由題意得，當時，，故在的值域為，又因為最小值是，所以，故答案為.13．答案：解析：由,在R上都單調(diào)遞減,且都是奇函數(shù),所以是單調(diào)遞減的奇函數(shù),故,則,即,所以不等式的解集為.故答案為:14．答案：解析：設(shè)投入經(jīng)銷B商品x千元,則投入經(jīng)銷A商品的資金為千元,所獲得的收益千元,則,可得,當時,可得,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,可得,函數(shù)單調(diào)遞減;所以當時,函數(shù)取得最大值,最大值為.故答案為：.15．答案：8解析：,所以,因為時,,所以,,解得,故答案為:816．答案：(1)(2)9(3)解析：(1)因為,,,所以,即,即,解得,或（舍）,所以.(2)由,則,故.(3)由題知因為是實數(shù)集R上的奇函數(shù),所以,所以,解得,所以,又因為,所以,即解得.即,經(jīng)檢驗是實數(shù)集R上的奇函數(shù),所以,在實數(shù)集R上單調(diào)遞增.由得,又因為是實數(shù)集上的奇函數(shù),所以,又因為在實數(shù)集上單調(diào)遞增,所以,即對任意的都成立,即對任意的都成立,因為,當且僅當時取等號,所以.17．答案：（1）,（2）（3）存在解析：（1）依題意,,又是上的奇函數(shù),則,即,亦即,整理得,于是,而,所以.（2）由（1）知,,顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減,由奇函數(shù)性質(zhì)及,得,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,不等式化為,解得,（3）假定存在實數(shù)m,對定義域內(nèi)的一切t,都有恒成立,即恒成立,當時,由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞增,不等式化為,整理得,于是有對任意恒成立,則,當時,,,因此;有對任意恒成立,設(shè),①當時,函數(shù)的圖象開口向上,對稱軸,（i）當,即時,必有,則;（ii）當,即時,在上恒成立,則;（iii）當,即時,在上恒成立,則;②當時,,不滿足在上恒成立,綜上得且,所以存在使得對定義域內(nèi)的一切t,都有恒成立.18．答案：解析：因為,所以,所以的周期為4,所以,因為函數(shù)為奇函數(shù),所以,因為,所以,所以.19．答案：(1)(2)函數(shù)是增函數(shù),證明見解析(3)解析：(1)設(shè)且,由,解得,所以,則,因為為奇函數(shù),所以,即,解得,經(jīng)檢驗,符合題意,所以;(2)函數(shù)是增函數(shù),證明如下：令,則,因為,所以,所以,即,所以函數(shù)是增函數(shù);(3),即為,因為函數(shù)是增函數(shù),所以,即,令,