第1章 特殊平行四邊形 北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)單元測(cè)試卷含答案

第一章特殊平行四邊形時(shí)間:90分鐘滿(mǎn)分:100分一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分.每小題有四個(gè)選項(xiàng),其中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意)1.(2022·廣東深圳羅湖區(qū)期中)矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是()A.兩組對(duì)邊分別平行且相等B.鄰角互補(bǔ)C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線相等2.(2022·貴州六盤(pán)水期中)如圖,四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形,且點(diǎn)G在CD上.若∠BAG=20°,則∠DGF=()A.70°B.60°C.80°D.45°(第2題)(第3題)3.如圖,點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn).若BC=8,OB=5,則OM的長(zhǎng)為()A.1 B.2 C.3 D.44.(2021·海南中學(xué)模擬)如圖,菱形ABCD中,AC交BD于點(diǎn)O,DE⊥BC于點(diǎn)E,連接OE.若∠ABC=140°,則∠OED的度數(shù)為()A.15° B.20° C.25° D.30°(第4題)(第5題)5.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后,給同桌小文出了一道題.有下列四個(gè)條件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD.從中選擇兩個(gè)作為補(bǔ)充條件,使平行四邊形ABCD(如圖)為正方形.小文有下列四種選法,你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是()A.①② B.②③ C.①③ D.②④6.(2022·山東滕州期中)如圖,菱形ABCD的周長(zhǎng)為8,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,兩相鄰角度數(shù)比是1∶2,則菱形ABCD的面積是()A.23 B.22 C.42 D.43(第6題)(第7題)7.(2022·四川達(dá)州期中)如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BD,CD,AC的中點(diǎn),要使四邊形EFGH是菱形,四邊形ABCD應(yīng)滿(mǎn)足的一個(gè)條件是()A.AB=CD B.AC⊥BDC.AC=BD D.AD=BC8.(2022·山東濟(jì)南歷城區(qū)期中)如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上,且EC=AE,Rt△FEG的兩直角邊EF,EG分別交BC,DC于點(diǎn)M,N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,則陰影部分的面積為()A.8 B.6 C.4 D.2(第8題)(第9題)9.(2022·四川成都青羊區(qū)期中)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上,EF⊥AB于點(diǎn)F,連接DE.若AB=10,AE=32,則ED=()A.7 B.210 C.58 D.88210.如圖,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)B,C分別在邊OM,ON上,當(dāng)B在OM上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)C隨之在ON上運(yùn)動(dòng),矩形ABCD的形狀保持不變,其中CD=5,BC=24,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是()A.24 B.25 C.213 D.26二、填空題(共5小題,每小題3分,共15分)11.如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使平行四邊形ABCD是矩形.

(第11題)(第12題)12.(2021·廣西南寧二中三模)如圖,四邊形ABCD是菱形,E,F分別是AD,BD的中點(diǎn).若EF=2,則BC的長(zhǎng)為.

13.(2022·遼寧錦州期中)四邊形具有不穩(wěn)定性,對(duì)于四條邊長(zhǎng)都確定的四邊形,當(dāng)內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時(shí),其形狀也會(huì)隨之改變.如圖,改變正方形ABCD的內(nèi)角度數(shù),正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC'D',若∠BAD'=30°,且菱形ABC'D'的面積為16,則正方形ABCD的面積為.

14.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以對(duì)角線AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF,再以對(duì)角線AE為邊作第3個(gè)正方形AEGH…如此下去,第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為.

(第14題)(第15題)15.(2022·浙江溫州期中)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),連接AE,以AE為對(duì)稱(chēng)軸作△ABE的軸對(duì)稱(chēng)圖形△AB'E,延長(zhǎng)EB'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC,垂足為E,交AB'于點(diǎn)F.若AB=9,BE=3,則EF=.

三、解答題(共6小題,共55分)16.(8分)(2021·江蘇無(wú)錫濱湖區(qū)期中)如圖,∠ABC=∠ADC=90°,點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn).(1)求證:OB=OD.(2)若∠ACD=30°,OB=6,求△AOD的周長(zhǎng).17.(8分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為點(diǎn)E.(1)求證:四邊形ADCE為矩形;(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí),四邊形ADCE為正方形?并給出證明.18.(9分)(2022·寧夏銀川期中)如圖,E為菱形ABCD的對(duì)角線BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),連接AE,CE.(1)求證:AE=CE;(2)若BC=10,AE=13,∠ABC=60°,求BE的長(zhǎng).19.(9分)(2021·上海奉賢區(qū)期末)如圖,四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且BE=DF,過(guò)點(diǎn)F作AE的平行線交對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接EG.(1)求證:四邊形AEGF是菱形;(2)如果∠B=∠BAE=30°,求證:四邊形AEGF是正方形.20.(10分)如圖(1),在正方形ABCD中,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且PA=PE,PE交CD于點(diǎn)F,連接PC.(1)求∠CPE的度數(shù);(2)把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,如圖(2),當(dāng)∠ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.圖(1)圖(2)21.(11分)在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O的兩條直線分別交邊AB,CD,AD,BC于點(diǎn)E,F,G,H.(1)感知如圖(1),若四邊形ABCD是正方形,且AG=BE=CH=DF,則S四邊形AEOG=S正方形ABCD;

(2)拓展如圖(2),若四邊形ABCD是矩形,且S四邊形AEOG=14S矩形ABCD,設(shè)AB=a,AD=b,BE=m,求AG的長(zhǎng)(用含a,b,m的代數(shù)式表示(3)探究如圖(3),若四邊形ABCD是平行四邊形,且AB=3,AD=5,BE=1,試確定F,G,H的位置,使直線EF,GH把平行四邊形ABCD的面積四等分.圖(1)圖(2)圖(3)第一章特殊平行四邊形12345678910DACBBADCCB11.∠ABC=90°(答案不唯一)12.413.3214.(2)n-115.51.D2.A∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形,∴∠FGA=90°,CD∥AB,∴∠DGA=∠BAG=20°,∴∠DGF=90°-∠DGA=90°-20°=70°.3.C∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,OA=OC,∠ABC=90°,∴AC=2OB=10,∴AB=102-82=6,∴CD=6.∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),∴OM是△ACD的中位線,∴4.B∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=140°,∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=70°,BO=DO.∵DE⊥BC,∴OE=OD=OB,∠BDE=20°,∴∠OED=∠ODE=205.B當(dāng)AB=BC時(shí),平行四邊形ABCD是菱形,當(dāng)∠ABC=90°時(shí),菱形ABCD是正方形,故A中的選法正確;當(dāng)∠ABC=90°時(shí),平行四邊形ABCD是矩形,再添加AC=BD,不能推出矩形ABCD為正方形,故B中的選法錯(cuò)誤;當(dāng)AB=BC時(shí),平行四邊形ABCD是菱形,當(dāng)AC=BD時(shí),菱形ABCD是正方形,故C中的選法正確;當(dāng)∠ABC=90°時(shí),平行四邊形ABCD是矩形,當(dāng)AC⊥BD時(shí),矩形ABCD是正方形,故D中的選法正確.6.A∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為8,∴AB=BC=2,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°.∵兩相鄰角度數(shù)比為1∶2,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AC=AB=2,∴OA=1.在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理得OB=AB2-OA2=22-12=3,∴BD=2OB=23,∴菱形ABCD的面積=127.D∵點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BD,CD,AC的中點(diǎn),∴GH∥AD,EF∥AD,FG∥BC,HE∥BC,且GH=12AD,EH=12BC,∴EF∥GH,HE∥FG,∴四邊形EFGH是平行四邊形.當(dāng)AD=BC時(shí),GH=EH,此時(shí)平行四邊形EFGH8.C(轉(zhuǎn)化思想)如圖,連接ED.∵AE=EC,∴E是AC的中點(diǎn).∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DEC=90°,DE=EC,∠EDN=∠ECM=45°,∴∠DEN+∠NEC=90°.根據(jù)題意得,EF⊥EG,∴∠MEC+∠NEC=90°,∴∠DEN=∠CEM,∴△MEC≌△NED,∴S△MEC=S△NED,∴S陰影部分=S△MEC+S△NEC=S△NED+S△NEC=S△DEC∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∴AC=42,∴ED=EC=22,∴S△DEC=12ED·EC=12×22×22=4,∴陰影部分的面積為9.C如圖,連接BE,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠DAC=45°,AB=AD.∵AE=AE,∴△ABE≌△ADE,∴BE=DE.∵EF⊥AB于點(diǎn)F,AE=32,∴AF=EF=3.∵AB=10,∴BF=7,∴BE=72+32=58,10.B如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接OE,DE,OD,則CE=12BC=12.在Rt△CED中,由勾股定理,得DE=CD2+CE2=52+122=13.∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∠BOC=90°,∴OE=12BC=12.由三角形三邊關(guān)系,可知OD≤OE+DE∴當(dāng)D,E,O三點(diǎn)共線時(shí),OD的長(zhǎng)最大,且最大為OE+DE=12+11.∠ABC=90°(AC=BD,答案不唯一)12.4∵E,F分別是AD,BD的中點(diǎn),∴AB=2EF=4∵四邊形ABCD是菱形,∴BC=AB=4.13.32如圖,過(guò)點(diǎn)D'作D'M⊥AB于點(diǎn)M,則∠D'MA=90°.∵四邊形ABC'D'為菱形,∴AB=AD',菱形ABC'D'的面積=AB·D'M.∵∠BAD'=30°,∴D'M=12AD'=12AB,∴菱形ABC'D'的面積=AB×12AB=12AB2=16,∴正方形ABCD的面積=AB2=2×14.(2)n-1∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=BC=1,∠B=90°,∴AC2=AB2+BC2=12+12,∴AC=2.同理可求得AE=(2)2,AG=(2)3,…,∴第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(2)n-1.15.5由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知AB'=AB=9,∠AB'E=∠B=90°,B'E=BE=3,∠B'AE=∠BAE.∵EF⊥BC,AB⊥BC,∴EF∥AB,∴∠FEA=∠BAE,∴∠FEA=∠B'AE,∴FA=FE,∴FB'=AB'-AF=9-FE.在Rt△EFB'中,根據(jù)勾股定理,得EF2=FB'2+EB'2,即EF2=(9-EF)2+32,解得EF=5.16.【參考答案】(1)證明:∵∠ABC=∠ADC=90°,點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn),∴OB=12AC,OD=12∴OB=OD.(3分)(2)∵OB=6,OD=OB,∴OD=6.∵∠ADC=90°,O為線段AC的中點(diǎn),∴AC=2OD=12,OA=6.(5分)∵∠ACD=30°,∠ADC=90°,∴AD=12AC=∴△AOD的周長(zhǎng)=OA+AD+OD=6+6+6=18.(8分)17.【解題思路】(1)由已知條件可知∠ADC=∠CEA=90°,故只需證明∠DAE=90°即可.(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足∠BAC=90°時(shí),四邊形ADCE是正方形.【參考答案】(1)證明:在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四邊形ADCE為矩形.(4分)(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足∠BAC=90°時(shí),四邊形ADCE為正方形.(5分)證明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=∠B=45°.∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴DC=AD.∵四邊形ADCE為矩形,∴矩形ADCE是正方形.(8分)18.【思路導(dǎo)圖】【參考答案】(1)證明:如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD是菱形,∴BD垂直平分AC,即直線BD是線段AC的垂直平分線,∴AE=CE.(4分)(2)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠ABO=12∠ABC=30°,AB=BC=∴∠AOB=∠AOD=90°,∴OA=12AB=∴OB=AB2-OA2∴OE=AE2-O∴BE=OB+OE=53+12.(9分)19.【思路導(dǎo)圖】【參考答案】(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D,∠BAC=∠DAC.(2分)∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∠BAE=∠DAF,∴∠EAG=∠FAG.∵FG∥AE,∴∠EAG=∠FGA,∴∠FAG=∠FGA,∴FG=AF=AE,∴四邊形AEGF是平行四邊形.∵AF=AE,∴四邊形AEGF是菱形.(6分)(2)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴BC∥AD,∴∠B+∠BAD=180°.∵∠B=∠BAE=30°,△ABE≌△ADF,∴∠DAF=∠BAE=30°,∴∠BAD=180°-∠B=150°,∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°.由(1)得,四邊形AEGF是菱形,∴四邊形AEGF是正方形.(9分)20.【參考答案】(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADP=∠CDP=45°.又PD=PD,∴△ADP≌△CDP,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E.∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=90°.(4分)(2)AP=CE.(5分)理由:∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°.又PB=PB,∴△ABP≌△CBP,∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴PC=PE,∠DAP=∠AEP,∴∠DCP=∠AEP.∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠CFP-∠PCF=180°-∠EFD-∠AEP,即∠CPF=∠EDF=1