小學(xué)奧數(shù)之羅伯特法填幻方

學(xué)校奧數(shù)之羅伯特

法填幻方

5-1-4-1.幻方（一）

刖儂月期第閆陽

1.會(huì)用羅伯法填奇數(shù)階幻方

2.了解偶數(shù)階幻方相關(guān)學(xué)問點(diǎn)

3.深化學(xué)習(xí)三階幻方

削Ml"第間前撥

一、幻方起源

也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方.幻方起源于我國(guó)，古人還為

它編撰了一些神話.傳奇在大禹治水的年月，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都無濟(jì)于事，

每年人們擺好祭品之后，河中都會(huì)爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎著數(shù)是3列，

每塊烏龜殼上都有幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什么意思.一次，

大烏龜又從河里爬上來，一個(gè)看吵鬧的小孩驚叫起來：“瞧多好玩啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論橫著加、豎著加還是

斜著加，結(jié)果都等于十五！”于是人們抓緊把十五份祭品獻(xiàn)給河神，說來也怪，河水果真從今不再泛濫

了.這個(gè)奇特的圖案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個(gè)相等的和叫做“幻和“洛

書.'就是幻和為15的三階幻方.如下圖：

我國(guó)北周時(shí)期的數(shù)學(xué)家孤鸞在《算數(shù)記遺》里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左

三右七，戴九履一，五居中心.”這段文字說明白九個(gè)數(shù)字的排列狀況，可見幻方在我國(guó)歷史悠久.三

介幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六

年賞月半，四周十五月團(tuán)聚.”幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)生疏了解它們.

二、幻方定義

幻方是指橫行、豎列、對(duì)角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的3x3的數(shù)陣稱作三階幻方,

4x4的數(shù)陣稱作四階幻方，5x5的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣,

115144

□口12679

E3380II5

□3LIJ133216

三、解決這幻方常用的方法

⑴適用于全部奇數(shù)階幻方的埴法有羅伯法.口訣是：一居上行正中心，后數(shù)依次右上連.上出框時(shí)往

下填，右出框時(shí)往左填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣.

⑵適用于三階幻方的三大法則有：

①求幻和：全部數(shù)的和力行數(shù)（或列數(shù)）

②求中心數(shù)：我們把幻方中對(duì)角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù)”，中心數(shù)=幻和;3.

③角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對(duì)角線的兩數(shù)和X.

四、數(shù)獨(dú)

數(shù)獨(dú)簡(jiǎn)介：（日語：數(shù)獨(dú)t?＜）是一種源自18世紀(jì)末的瑞士，后在美國(guó)進(jìn)展、并在日本得以發(fā)揚(yáng)

光大的數(shù)學(xué)智力拼圖玩耍。如今教獨(dú)的雛型首先于1970年月由美國(guó)的一家數(shù)學(xué)規(guī)律玩耍雜志發(fā)表，當(dāng)時(shí)

名為NumberPlace。現(xiàn)今流行的數(shù)獨(dú)于1984年由日本玩耍雜志《人犬及通信二nH》發(fā)表并得了現(xiàn)時(shí)的

名稱。數(shù)獨(dú)本是“獨(dú)立的數(shù)字”的省略，由于每一個(gè)方格都填上一個(gè)個(gè)位數(shù)。數(shù)獨(dú)可以簡(jiǎn)潔的數(shù)為：讓行

與列及單元格的數(shù)字成規(guī)律性變換的一類數(shù)字謎問題

解題技巧：數(shù)獨(dú)玩耍中最常規(guī)的方法就是利用每一個(gè)空格所在的三個(gè)單元中已經(jīng)消滅的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一

個(gè)空格只位于兩個(gè)單元之內(nèi)，但是同時(shí)多了一個(gè)大小關(guān)系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍。

總結(jié)4個(gè)小技巧：

1、巧選突破口：數(shù)獨(dú)中未知的空格數(shù)目很多，如何查找突破口呢？首先我們要通過規(guī)章的限制來分

析每一個(gè)空格的可選數(shù)字的個(gè)數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開頭，一般來說，我們會(huì)選擇所

在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開頭，盡可能確定方格中的數(shù)字；而大小數(shù)

獨(dú)中已知的數(shù)字往往格外少，這個(gè)時(shí)候大小關(guān)系更加直要，我們除了利用已知數(shù)字之外更加需要

考慮大小關(guān)系的限制。

2、相對(duì)不確定法：有的時(shí)侯我們不能確定2個(gè)方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中確定

不會(huì)消滅什么數(shù)字，這個(gè)就是我們說的相對(duì)不確定法。舉例說明，A1可以填入1或者2,A2也

可以填入I或者2,那么我們可以確定，1和2必定消滅在A1和A2兩者之中，A行其他位置不

行能消滅1或者2.

3、相對(duì)排解法：某一單元中消滅好幾個(gè)空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個(gè)空格的可選數(shù)

字進(jìn)行對(duì)比分析來確定它們中的某一個(gè)或者幾個(gè)空格。舉例說明，A行中已經(jīng)確定5個(gè)數(shù)字，還

有4個(gè)數(shù)字（我們假設(shè)是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個(gè)空格所在的其他單元我們知道AI

可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2、3,A4可以填入1、3,這個(gè)時(shí)候

我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可鼠確定填入4,我們就可以不用考慮A1,這

樣就可以發(fā)覺2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他方法進(jìn)行確定。

4、假設(shè)法：假如找不到能夠確定的空格，我們不妨進(jìn)行假設(shè)，當(dāng)然，假設(shè)也是原則的，我們不能進(jìn)

行無意義的假設(shè)，假設(shè)的原則是：假如通過假設(shè)一個(gè)空格的數(shù)字，可以確定和這個(gè)空格處在同一

個(gè)單元內(nèi)的其它某一個(gè)或者某幾個(gè)空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設(shè)為佳。舉例

說明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,這個(gè)時(shí)候我們就應(yīng)

當(dāng)假設(shè)B3填入2,這樣就可以確定A3填入3,B4填入1,然后以這個(gè)為基礎(chǔ)進(jìn)行推理，假如推

出違反規(guī)章的狀況消滅，那么這個(gè)假設(shè)就是錯(cuò)誤的，我們回到假設(shè)點(diǎn)重新開頭。

模塊一、構(gòu)造幻方

【例1】3x3的正方形中，在每個(gè)格子里分別填入I?9的9個(gè)數(shù)字，要求每行每列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)

的和相等（請(qǐng)給出至少一種填法）.

【考點(diǎn)】構(gòu)造幻方【難度】I星【題型】填空

【解析】方法一：第一步：求幻和：（1+2+3++9）+3=15

其次步：求中心數(shù)：我們把幻方中對(duì)角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù)”，認(rèn)真觀看可以發(fā)覺：除

了對(duì)角線外，其次行、其次列也分別經(jīng)過中心數(shù)，那么，經(jīng)過中心數(shù)的四條線

段上的數(shù)字總和是幻和的4倍，即15x4=60,明顯，在這個(gè)總和中，中心數(shù)用

了四次，其余各教正好各用一次，所以中心數(shù)應(yīng)是：（60-45）+3=5

第三步：確定四個(gè)角上的數(shù).由于在同一條直線上的三個(gè)數(shù)的和是15,所以假如某格中

的數(shù)是奇數(shù)，那么與這個(gè)數(shù)在同一條直線上的另兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同，所以四

個(gè)角上的數(shù)必為偶數(shù).

第四步：用嘗試法填一個(gè)基本解，以基本解為息礎(chǔ)，可繞中心旋轉(zhuǎn)與對(duì)調(diào)得到其它各解,

共8解，下圖為其中一解，其余解均可由其翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)得到：

方法二(對(duì)易法)：

南宋數(shù)學(xué)家楊輝概括為:“九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出”.即：先把1到9九

個(gè)數(shù)字按挨次斜著排列，再把上下的數(shù)字1和9對(duì)調(diào)，左右的數(shù)字7和3對(duì)調(diào)，最終把4

個(gè)不在邊上也不在最中心的數(shù)字拉到角上，一個(gè)三階幻方就形成了.

階梯法也叫樓梯法，是法國(guó)數(shù)學(xué)家巴赫特制造的.這個(gè)方法看起來有點(diǎn)像對(duì)易法，但又

完全不一樣，格外簡(jiǎn)潔而奇妙，適用于全部奇數(shù)階幻方.這個(gè)方法把〃階方陣從四周向

外擴(kuò)展成階梯狀，然后把/個(gè)自然數(shù)順階梯方向先碼放好，再把方陣以外部分平移到方

陣以內(nèi)其對(duì)邊部分去，即構(gòu)成幻方.下圖表示了如何用階梯法構(gòu)成3階幻方.

方法二和方法三中將1~9按8個(gè)不同的方位排列就可以得到本題8個(gè)不同的解.

方法四(羅伯法)：

把1(或最小的數(shù))放在第一行正中，按以下規(guī)律排列剩下的數(shù)：

(1)每一個(gè)數(shù)放在前一個(gè)數(shù)的右上一格；

(2)假如這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最頂行，那么就把它放在最底行，仍舊要放在右一

列.

(3)假如這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍舊要放在上一

行.

(4)假如這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)填好了其它的數(shù)，或者同時(shí)超出了最頂行和最右列，那么

就把它放在前一個(gè)數(shù)的下面，具體如下圖：

1111

33

2242

1616816816

35357357357

424242492

這是法國(guó)人羅必特總結(jié)出的方法，所以叫“羅伯法”.羅伯法的口訣：一居上行正中心，

后數(shù)依次右上連.上出框時(shí)往下填，右出框葉往左填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)

樣.它對(duì)于構(gòu)造連續(xù)自然數(shù)(以及能構(gòu)成等差數(shù)列的數(shù))幻方是最簡(jiǎn)潔易行的，適用于

全部奇數(shù)階幻方.

【客案】

【例2】3x3的正方形格子中，在每個(gè)格子里分別填入2~10的9個(gè)數(shù)字，要求每行每列及對(duì)角線上的三

個(gè)數(shù)的和相等（請(qǐng)給出至少一種填法）.

【考點(diǎn)】構(gòu)造幻方【難度】2星【題型】填空

【解析】第一步：求幻和：（2+3+4++9+10）+3=18.

其次步：求中心數(shù)：我們把幻方中對(duì)角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù)”，認(rèn)真觀看可以發(fā)覺：除了對(duì)角線

外，其次行、其次列也分別經(jīng)過中心數(shù)，那么，經(jīng)過中心數(shù)的四條線段上的數(shù)字總和是

幻和的4倍，即18x4=72,明顯，在這個(gè)總和中，中心數(shù)用了四次，其余各數(shù)正好各用

一次,所以中心數(shù)應(yīng)是：（72—54）+3=6.

第三步：確定四個(gè)角上的數(shù)：用嘗試法，不難推知，四個(gè)角只能是奇數(shù).

第四步：用嘗試法填一個(gè)基本解，以基本解為基礎(chǔ)，可統(tǒng)中心旋轉(zhuǎn)與對(duì)調(diào)得到其它各解，共8解.下

圖為其中一解，其余解均可由其翻轉(zhuǎn)或旋轉(zhuǎn)得到:

其他方法這里不再做介紹，同學(xué)們可以自己嘗試練習(xí).

【率案】

【例3】用11,13,15,17,19,21,23,25,27編制成一個(gè)三階幻方。

【考點(diǎn)】構(gòu)造幻方【難度】2星【題型】填空

【解析】方法一；給出的九個(gè)數(shù)杉成一個(gè)等差數(shù)列，1~9也是一個(gè)等差數(shù)列.不難發(fā)覺：中間方格里的數(shù)

字應(yīng)填等差數(shù)列的中間數(shù)，也就是第五個(gè)數(shù)，即應(yīng)填19;填在四個(gè)角上方格中的數(shù)是

位

于偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)，即13,17,21,25,而且對(duì)角兩數(shù)的和相等,即13+25=17+21;余

下

各數(shù)就不難填寫了（見下圖）.

與幻方相反的問題是反幻方.將九個(gè)數(shù)填入3x3（三行三列）的九個(gè)方格中，使得任一

行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻

方.

方法二：用階梯法，在三階幻方的上下左右的中間添加一格，先將數(shù)字按從小到大的挨次，以斜

行方向從左下向右上依次埴寫，再把添加格內(nèi)的數(shù)填到本行（或本列）中相隔丙行（或兩列）

的方格中.

方法三：對(duì)易法：九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維提出.

II

171317

231915T23

252125

27

方法四：用羅伯法的口訣：一居上行正中心，后數(shù)依次右上連.上出框時(shí)往下填，右出框時(shí)往左

填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣.

【客案】

［例4］如下圖的3x3的陣列中填入了1~9的自然數(shù)，構(gòu)成大家熟知的3階幻方.現(xiàn)在另有一個(gè)3x3的

陣列，請(qǐng)選擇9個(gè)不同自然數(shù)填入9個(gè)方格中，使得其中最大者為20,最小者大于5,且要求

橫加、豎加、對(duì)角線方式相加的3個(gè)數(shù)之和都相等.

492

357

816

【考點(diǎn)】構(gòu)造幻方【難度】3星【題型】填空

【解析】觀看原表中的各數(shù)是從1?9不同的九個(gè)自然數(shù)，及中最大的數(shù)是9,最小的數(shù)是1,且橫加、豎

加、對(duì)角線方式相加結(jié)果相等.依據(jù)題意，要求新制的幻方最大數(shù)為20,而9+11=20,因此，

假如原表中的各數(shù)都增加II,就能符合新表中的條件了.如下圖.

【客案】

【例5】從1、2、3…20這20個(gè)數(shù)中選出9個(gè)不同的數(shù)放入3x3的方格表中，使得每行、每列、每條對(duì)

角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。這個(gè)9個(gè)數(shù)中最多有個(gè)質(zhì)數(shù)。

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】走美杯，四班級(jí)，初賽，第4題

【解析】

1779

31119

1315

5最多有7個(gè)質(zhì)數(shù)

【答案】7

【例6】請(qǐng)你將1~25這二十五個(gè)自然數(shù)填入5x5的空格內(nèi)使每行、每列、每條對(duì)角線上的五數(shù)之和相

等.

【考點(diǎn)】構(gòu)造幻方【難度】2星【題型】填空

【解析】①羅伯法：老師邊寫邊說口訣：“一居上行正中心，后數(shù)依次右上連.上出框時(shí)往下填，右出框

時(shí)往左填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣”.見其次個(gè)圖.這是法國(guó)人羅伯特總結(jié)出的“羅

伯法”，它對(duì)于構(gòu)造連續(xù)自然數(shù)（以及能構(gòu)成等差數(shù)列的數(shù)）幻方是最簡(jiǎn)潔易行的，適用于全部

奇數(shù)階幻方.

17241815

23571416

46132022

101219213

11182529

②階梯法：階梯法也叫樓梯法，是法國(guó)數(shù)學(xué)家巴赫特制造的.這個(gè)方法格外簡(jiǎn)潔而奇妙，適用于

全部奇數(shù)階幻方.這八方法把〃階方陣從四周向外擴(kuò)展成階梯狀，然后把/J個(gè)自然數(shù)順階梯方

向先碼放好，再把方陣以外部分平移到方陣以內(nèi)其對(duì)邊部分去，即構(gòu)成幻方.下面的圖⑴和圖

⑵表示了如何用階梯法構(gòu)成5階幻方.圖⑴中頂邊以上的4、5、10三個(gè)數(shù)在圖⑵中被移入底邊

上方相應(yīng)的3個(gè)原先為空的方格中，其余三側(cè)照此處理.

5

31692215

20821142

72513119

24125186

114171()23

21

⑴⑵

⑵練習(xí)：大家一起梟練習(xí)用羅伯法寫個(gè)七階的幻方，留意強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié).上出框與右出框的處理有時(shí)

不簡(jiǎn)潔把握，老師隆重推舉大家一種方法——“卷紙筒”，即把上下邊重合在一線，則上出框后

往右上填的位置正好在下邊的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上.強(qiáng)調(diào)這種方法適用于任意奇數(shù)階幻方.

【答案】

17241815

23571416

46132022

101219213

II182529

模塊二、幻方性質(zhì)

【例7】將九個(gè)數(shù)填入下圖的九個(gè)空格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于

定數(shù)3則中心方格中的數(shù)必為攵+3.

二米一

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【奉度】4星【題型】解答

【解析】略

【答案】由于每行的三數(shù)之和都等于左,共有三行，所以九個(gè)數(shù)之和等于女.如右上圖所示，經(jīng)過中心方

格的有四條虛線，每條虛線上的三個(gè)數(shù)之和都等于k,四條虛線上的全部數(shù)之和等于4攵，其中只

有中心方格中的數(shù)是“重僉數(shù)”，九個(gè)數(shù)各被計(jì)算一次后，它又被重復(fù)計(jì)算了三次.所以有：

九數(shù)之和+中心方格中的數(shù)x3=4〃,

3氏+中心方格中的數(shù)x3=4A,

中心方格的數(shù)=k+3

留意：例題中對(duì)九個(gè)數(shù)及定數(shù)k都沒有特殊要求.這個(gè)結(jié)論對(duì)求解3x3方格中的數(shù)陣問題很有

用.

［例8］請(qǐng)編出一個(gè)三階幻方，使其幻和為24.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】⑴依據(jù)題意，要求其三階幻方的幻和為24,所以中心數(shù)為24+3=8.

(2)既然8是中心數(shù)，那么與8在一條直線的各個(gè)組的其余兩數(shù)的和為16,想一想哪兩個(gè)數(shù)相加

為16呢？1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,

7+9=16

⑶按上述條件進(jìn)行估算后填出，然后再進(jìn)行調(diào)整即可得正確的答案.

【鞏固】將九個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入下圖的九個(gè)空格,使每一橫行及每一豎列的三個(gè)數(shù)之和都等于60.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】介紹三階幻方時(shí)，我們巳經(jīng)知道了1~9的填法及各行各列三個(gè)數(shù)相加的和均為15,現(xiàn)在要求每

一橫行及每一豎列的三個(gè)數(shù)之和為60,明顯1~9每個(gè)數(shù)增加(60-15)+3=15就可以了.右上圖

為其中一個(gè)解.

【例9】將九個(gè)數(shù)填入下圖的空格中，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，證明:

c=(a+Z?)+2

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】4星

【解析】略

【答案】設(shè)中心數(shù)為d(如上圖)，因此每行、每列以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于34,第一行中間

的數(shù)為2d-b,右下角的數(shù)為2d-c.依據(jù)第一行和第三列可求出右上圖中*的數(shù)，由此可得:

3d-c-(2d-b)=3d-a-(2d-c)

3d-c-2d+b=3d-a-Id+c

d-c+b=d-a+c

2c=a+b

所以c=(〃+6)+2

【例10］在下圖中的4、B、C、。處境上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下圖成為一個(gè)三階幻方.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】⑴從1行和3列得：4+12+0=0+20+11,A+12=20+ll,4=19.

(2)觀看對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的總和，實(shí)際上它即為每行、每列的三個(gè)數(shù)的和.對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)

的和：4+15+11=19+15+11=45.

(3)^=45-(16+19)=10.

(4)0=45-(20+11)=14.

(5)0=45-(16+11)=18.，A=19、5=10、C=18、D=14.

【答案】A=19、4=10、C=1B、D=14

【鞏固】在圖的九個(gè)方格里，每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等，則可=

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】期望杯，四班級(jí)，復(fù)賽,第9題，5分

【解析】12x2-6=18

【答案】18

【鞏固】在下面兩幅圖的每個(gè)空珞中,填入7個(gè)自然數(shù)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和等

于21.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星

【解析】依據(jù)題意填法如下：

82II8310

1074975

31264116

【答案】

8211831C

1()74975

31264II6

【鞏固】在圖1所示的和方格表中填入合適的數(shù)，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和相等。

那么標(biāo)有“★”的方格內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)是_________.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】期望杯，六班級(jí)，初賽，第4題，

【解析】

【例11】在九宮圖中，第一行第三列的位置上填5,其次行第一列位置上填6,如下圖.請(qǐng)你在其他方格

中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方陣橫、縱、斜三個(gè)方向的三個(gè)數(shù)之和均為27.

5□3□□□□

J1□□□H

□□J3ZJ

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】為了敘述便利，我們將其余方格用字母表示，如上右四所示.依據(jù)題意可知：

A+8+5=27⑴

5+C+E=21(2)

5+O+G=27(3)

6+C+Z)=27(4)

A+6+E=27(5)

A+C+G=27(6)

B+C+F=27(7)

E+F+G=2J(8)

由中心數(shù)=幻和+3得知：C=27+3=9.

將C=9代入(4),得C=12,將C=9代入(2),則七二13.

將0=12代入(3),則G=10.將E=13代入(5),則A=8.將A=8代入(1),則4=14.將

8=14、C=9代入(7),則尸=4.

由分析可知，中心方格必需煩數(shù)字9,其他方格中也只有一種.填法.見右上圖.

【容案】

【鞏固】在下圖的空格里填入七個(gè)自然數(shù)，使每一行、每一列及每一條對(duì)角線上的上的三個(gè)數(shù)的和都等于90.

47340

233037

2G5713

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】中心數(shù)=90+3=30,又由c=3+b）+2知第一行第三列的數(shù)為（23+57）+2=40,由"一〃知第

一行其次列的數(shù)是30x2-57=3;第一行第一列的數(shù)是90-40-3=47:其次行第三列的數(shù)是

90-23-30=37;第三行第一列的數(shù)是90-47-23=20:第三行第三列的數(shù)是90-20-57=13,

所以答案見右上圖.

47340

233037

205713

【鞏固】右圖中有九個(gè)空格，要求每個(gè)格中填入互不相同的數(shù)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)

之和都相等。問：圖中左上角的數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第9題

【解析】如圖，設(shè)相應(yīng)方格中的數(shù)為Xi,M,X3,此。

由已知條件：行、列及對(duì)角線的三個(gè)數(shù)的和都相等，可以列出下面的等式（方程）：？十航十X2

=?+X3+*4=M+X3+13=X2十19+%，這樣，前面兩個(gè)式子的和就等于后面兩個(gè)式子的和，

即有2X?+*十X2+*3+M=13+19+M十X2+X3+X4所以2X?=13+19?=史上12=

2

16,左上角的數(shù)是16

【客案】16

【鞏固】圖中是一個(gè)3x3幻方，滿足每行、每列及兩條對(duì)角線上三數(shù)之和都相等，那么其中“★”代表的數(shù)

是.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4班級(jí)，第II題

【解析】總和為I8+*,左下角應(yīng)當(dāng)是16,中間應(yīng)當(dāng)是★—8=110+16）+2=13,所以★=13+8=21

【客案】21

【鞏固】圖中A=,B=,C=,D=時(shí)，它才能構(gòu)成一個(gè)三階幻方?

AB22

2523C

D1926

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【解析】從第一列第三行可知4+25=19+26,4=20.又由兩條對(duì)角線可知0+22=20+26,得。=24.再

由每行和可知20+8+22=25+23+0=24+19+26=69,由此，其余各數(shù)都可求得，即A=20,

8=27,(7=21,0=24

【答案】A=20,8=27,C=21,D=24

【鞏固】在如圖所示的九宮圖中，不同的漢字代表不同的數(shù)，每行、每列和兩條對(duì)角線上各數(shù)的和相等。

已知中=21,學(xué)=9,歡=12,則希，望，杯的和是__________。

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】期望杯，六班級(jí)，二試，第10題，5分

【解析】可通過設(shè)未知數(shù)填出整個(gè)幻方，期望杯的和為54。

【答案】54

【例12］在下面的4x4方格中填入。?9中的數(shù)字，使得每行每列的和等于每行的右端及每列的下端所

寫的數(shù)字.其中,全部的0都已經(jīng)填好,而且同一行或者同一列中不允許消滅相同的非零數(shù)字.則

對(duì)角線上的四個(gè)數(shù)字所組成的四位數(shù)而而是________.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5班級(jí)，第9題

【解析】突破口在D,橫看D的結(jié)果可以是3也可以是1,但是豎看D若為1D上而的空格為II,不符合

方格中填0?9中數(shù)字，所以D為3,依次類推出A為1,所以答案為1963

【答案】1963

【鞏固】方格中的圖形符號(hào)“?”，“☆”代表填入方格中的數(shù)，相同的符號(hào)代表相同的數(shù)，如

圖所示，若第一列，笫三列，其次行，第四行的四個(gè)數(shù)的和分別是36,50,41,37,則第三行的

四個(gè)數(shù)的和為

3650

0O△☆

OOO☆41

??O☆7

?O△?37

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第7題，10分

3O+C-360-8

2A+20=500=12

【解析】：依據(jù)題意知道，☆一解得，,所以題目要求的第三行結(jié)果為20+0+☆-33

30+=4△A=13

3O+A=37☆=5

【答案】33

【例13］將2、4、6、8、12、18、24、36、72填入右邊的九宮格,使每行每列及兩條對(duì)角線上三數(shù)的

積都相等.每行的三個(gè)數(shù)的積是______.

Effl

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六班級(jí)，第3題

【解析】每行三個(gè)數(shù)的積相等，所以這個(gè)積的3次方等于9個(gè)數(shù)的積，這九個(gè)數(shù)是：2i3°、223°、2'3\233°>

223\2'32>233L223\2332,它們的積少叼）所以每行上的3個(gè)數(shù)的積為2633=1728.

【答案】1728

【例14】請(qǐng)將1?9這9個(gè)數(shù)填入右圖3x3表格中，使得第1,2行三數(shù)的乘積分別是70,24,第1,2列三

數(shù)的乘積分別是21.72.

【考點(diǎn)】幻方性質(zhì)【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，五班級(jí)，初賽，第3題

【解析】由于70=2x5x7,21=1x3x7,所以A=7,D等于2或5,由于DxExF=72,72不能被5整除，所

以D為2,72=2x4x9,即E為4或9,且BxExH=24。24不能被9整除，所以E為4,24=1x4x6,

也就是B=l,H=6,剩下的數(shù)易得。最終結(jié)果為：

|c周|||3|9八|

【答案】

57-4-2,幻方（二）

且wsk期第閆陽

4.會(huì)用羅伯法填奇數(shù)階幻方

5.了解偶數(shù)階幻方相關(guān)學(xué)問點(diǎn)

6.深化學(xué)習(xí)三階幻方

且削住學(xué)間

一、幻方起源

也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方.幻方起源于我國(guó)，古人還為

它編撰了一些神話.傳奇在大禹治水的年月，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都無濟(jì)于事，

每年人們擺好祭品之后，河中都會(huì)爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎著數(shù)是3列，

每塊烏龜殼上都有幾個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什么意思.一次，

大烏龜又從河里爬上來，一個(gè)看吵鬧的小孩驚叫起來：“瞧多好玩啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論橫著加、豎著加還是

斜看加，綠果都等于十五！”于是人們抓緊把十五份祭品耕、給河神，說來也怪，河水果澤從今不再泛濫

了.這個(gè)奇特的圖案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個(gè)相等的和叫做“幻和“洛

書”就是幻和為15的三階幻方.如下圖：

我國(guó)北周時(shí)期的數(shù)學(xué)家版鸞在《算數(shù)記遺》里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左

三右七，戴九履一，五居中心這段文字說明白九個(gè)數(shù)字的排列狀況，可見幻方在我國(guó)歷史悠久.三

介幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連：二七六

年賞月半，四周十五月團(tuán)聚.”幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)生疏了解它們.

二、幻方定義

幻方是指橫行、豎列、對(duì)角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣,具有這一性質(zhì)的3x3的數(shù)陣稱作三階幻方,

4x4的數(shù)陣稱作四階幻方，5x5的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣，

i15144

□口12679

□H810115

□5ZJ133216

三、解決這幻方常用的方法

⑴適用于全部奇數(shù)階幻力的堪法有羅伯法.口訣是：一居上行正中心，后數(shù)依次右上連.上出柩時(shí)往

下填，右出框時(shí)往左填.排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣.

⑵適用于三階幻方的三大法則有：

①求幻和：全部數(shù)的和：行數(shù)（或列數(shù)）

②求中心數(shù)：我們把幻方中對(duì)角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù)”，中心數(shù)=幻和;3.

③角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對(duì)角線的兩數(shù)和X.

四、數(shù)獨(dú)

數(shù)獨(dú)簡(jiǎn)介：（日語：數(shù)獨(dú)-T?f＜）是一種源自18世紀(jì)末的瑞士，后在美國(guó)進(jìn)展、并在日本得以發(fā)揚(yáng)

光大的數(shù)學(xué)智力拼圖玩耍。如今數(shù)獨(dú)的雛型首先于197（）年月由美國(guó)的一家數(shù)學(xué)規(guī)律玩耍雜志發(fā)表，當(dāng)時(shí)

名為NumberPlace。現(xiàn)今流行的數(shù)獨(dú)于1984年由日本玩耍雜志《八犬及通信二二9、發(fā)表并得了現(xiàn)時(shí)的

名稱。數(shù)獨(dú)本是''獨(dú)立的數(shù)字”的省略，由于冷一個(gè)方格都填上一個(gè)個(gè)位數(shù)。數(shù)獨(dú)可以簡(jiǎn)潔的教為：讓行

與列及單元格的數(shù)字成規(guī)律性變換的一類數(shù)字謎問題

解題技巧：數(shù)獨(dú)玩耍中最常規(guī)的方法就是利用每一個(gè)空格所在的三個(gè)單元中已經(jīng)消滅的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一

個(gè)空格只位于兩個(gè)單元之內(nèi)，但是同時(shí)多了一個(gè)大小關(guān)系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍。

總結(jié)4個(gè)小技巧：

1、巧選突破口：數(shù)獨(dú)中未扣的空格數(shù)目很多，如何查找突破口呢？首先我們要通過規(guī)章的限制