“哪種方式更合算”教學設(shè)計

體驗概率統(tǒng)計在生活決策中的意義——“哪種方式更合算”教學設(shè)計高定照（福建省福鼎市民族中學355200）1教材分析本課選自新課標數(shù)學教科書北師大版九年級下冊第四章第二節(jié)。在學生學過加權(quán)平均數(shù)和利用加權(quán)平均數(shù)解決與統(tǒng)計有關(guān)的問題之后，本課結(jié)合概率與頻率的關(guān)系，引導學生認識和理解隨機變量均值的計算,并將隨機變量均值計算運用于“合算”的評判和決策之中。教材注意知識的前后聯(lián)系，選擇了一個學生以前研究過的問題情境，以降低學生解決問題的難度；同時在解決問題的過程中，又強調(diào)了學生的體驗，讓學生首先通過實驗獲得初步的感受，再通過和前一節(jié)中運用加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系，逐步獲得對問題的理論解釋。2學習者分析在日常生活中經(jīng)常會遇到各種搖獎活動，通過以前的學習，學生已初步認識了這些活動中獲勝或獲獎的可能性，但尚未具有正確的評判能力和決策能力。因此應(yīng)該給予學生一定的數(shù)學工具，讓學生知道如何評判某項活動是否“合算”。由于學生已學過加權(quán)平均數(shù)及其在統(tǒng)計中的運用，只要學生能理解頻率和概率的關(guān)系，并將它們有機結(jié)合起來學習隨機變量均值的計算應(yīng)該不會有太大的困難。3教學目標知識與技能：學會利用加權(quán)平均數(shù)的知識計算隨機變量的均值，初步體會如何評判事情是否“合算”，進一步建立和發(fā)展良好的隨機觀念。過程與方法：經(jīng)歷猜想、實驗探究和理論推導的活動過程，領(lǐng)會“合算”方案的隨機數(shù)學原理，增強學生的數(shù)學應(yīng)用意識和能力。情感態(tài)度價值觀：通過數(shù)學探究活動，發(fā)展合作交流意識和能力，進一步體會概率與統(tǒng)計的聯(lián)系，體驗隨機數(shù)學的應(yīng)用價值。4教學重難點重點：學會評判某項活動是否“合算”的數(shù)學實驗和理論計算的方法。難點:理解和應(yīng)用理論的方法計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)。5教學方法首先創(chuàng)設(shè)學生熟悉的生活情境，激起學生的認知沖突，激發(fā)學生解決“合算”問題的學習動機。教學過程按照“直覺猜想

、實驗感悟

、理論計算

、實踐應(yīng)用”的認知規(guī)律進行設(shè)計，注重實驗估算與理論計算相結(jié)合，注重解決問題的活動過程，這樣既促進了學生的理解，同時也滲透了概率統(tǒng)計之間的聯(lián)系。組織學生合作探究、解釋發(fā)現(xiàn)，進一步發(fā)展學生的合作交流意識和能力。鼓勵學生思維的多樣性，引導學生積極反思，體驗學習成功的樂趣。6教學媒體教師準備多媒體教學的課件、轉(zhuǎn)盤及彩票廣告等。學生課前做一個和課本中一樣的某商場使用的自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤。7教學過程7.1創(chuàng)設(shè)情境，問題引入師:你研究過搖獎活動中獲得各種獎項的可能性嗎?你想知道每一次活動的平均收益嗎?讓我們一起來研究其中的奧秘吧!(多媒體演示)某商場為了吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤1，并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會。如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物，如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得購物券10元。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，你認為哪種方式更合算?轉(zhuǎn)盤1師:當轉(zhuǎn)盤停止后，指針可能落在哪些區(qū)域？獲得購物券的機會分別有多大？生：指針可能指向各種顏色的區(qū)域，根據(jù)各種顏色區(qū)域在轉(zhuǎn)盤中所占的比例：紅色為，黃色為，綠色為白色為，那么可能獲得100元、50元、20元購物券的概率分別為0.05、0.1和0.2，指針指向白色區(qū)域的概率為0.65，此時不能獲得購物券。師:如果不轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，可以直接獲得購物券10元，如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，就會出現(xiàn)多種可能的結(jié)果，放棄轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，意味著放棄了獲得100元、50元、20元購物券的機會。如果不放棄，就意味著有可能連獲得10元購物券的機會也沒有了，那么該如何選擇比較合算呢？下面我們先來做一個實驗，也許你會從中找到解決這個問題的辦法。[是否“合算”要從整體上計算隨機變量的均值，學生可能仍停留在確定性思維之中,因此產(chǎn)生認知上的沖突。讓學生評判某項活動是否“合算”，是提高其決策能力的關(guān)鍵，通過設(shè)置這種常見問題情境，首先讓學生通過實驗獲得初步的感受。]7.2動手實驗，揭示規(guī)律（1）每四人組成一合作學習小組，用課前制作的轉(zhuǎn)盤，通過實驗的辦法(每組實驗100次)分別求出獲得100元、50元、20元購物券以及未能獲得購物券的頻率，并據(jù)此估計每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)，看看轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購物券，哪種方式更合算。（2）全班交流，看看各小組的結(jié)論是否一致，并將各組的數(shù)據(jù)匯總（表1），計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲得購物券金額的平均數(shù)。表1轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤實驗的結(jié)果獲得100元購物券獲得50元購物券獲得20元購物券未能獲得購物券本組全班本組全班本組全班本組全班頻數(shù)頻率a1a2a3a4師:你在實驗中是如何計算每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)呢?當做100次實驗時，設(shè)獲得100元購物券的頻率為a1，獲得50元購物券的頻率為a2，獲得20元的購物券的頻率為a3，未能獲得購物券的頻率為a4，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義，可得每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)為：100a1+50a2+20a3+0a4＝100a1+50學生從統(tǒng)計表中可以看到匯總?cè)嗟臄?shù)據(jù)以后，總體上指針停在每種顏色區(qū)域上的頻率更接近各顏色區(qū)域與整個轉(zhuǎn)盤的面積比。即當試驗次數(shù)很大時，a1、a2、a3、a4將穩(wěn)定于和它相應(yīng)的理論概率。此時，我們可以用實驗頻率來估計理論概率。師:如果把上圖的轉(zhuǎn)盤改為轉(zhuǎn)盤2，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客仍分別獲得100元、50元、20元的購物券，與上圖的轉(zhuǎn)盤比，哪一個轉(zhuǎn)盤對顧客更合算?如果改用轉(zhuǎn)盤3呢？轉(zhuǎn)盤2轉(zhuǎn)盤3生：交流討論師：轉(zhuǎn)盤2和原來的轉(zhuǎn)盤對顧客而言結(jié)果是一樣的。因為指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域和綠色區(qū)域的可能性沒有變。轉(zhuǎn)盤3和原來的轉(zhuǎn)盤對顧客而言結(jié)果不一樣，轉(zhuǎn)盤3的結(jié)果對顧客來說更合算。因為未獲購物券和獲得50元購物券的可能性沒有變化，獲得20元購物券的可能性減少，獲得100元購物券的可能性增加。[通過轉(zhuǎn)盤的“變式”，讓學生理性地思考影響所獲購物券金額的平均數(shù)的因素，為學生得出后面的理論計算方法打下基礎(chǔ)。]7.3理論計算，構(gòu)建認知師:如果不用試驗的方法，你能求出每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)嗎?生:由轉(zhuǎn)盤2我們知道，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購物券的概率為，獲得50元購物券的概率為，獲得20元購物券的概率為，理論上可以認為轉(zhuǎn)動n次轉(zhuǎn)盤，獲得100元購物券的次數(shù)為n次，獲得50元購物券的次數(shù)為n次，獲得20元購物券的次數(shù)為n次，所以每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)應(yīng)該為：(100×n+50×n+20×n)÷n=100×+50×+20×=14(元)。同理，使用轉(zhuǎn)盤3，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)應(yīng)該是：100×+50×+20×=18(元)師:這種算法我們曾經(jīng)在哪里用過嗎?生:這種算法與上一節(jié)小明估算農(nóng)村居民的人均純收入的方法是一致的。[這樣有利于轉(zhuǎn)到下面研討小亮的做法，使學生對理論計算隨機變量的均值有個清晰的認識，如果已有學生想出了這種理論計算方法，那么應(yīng)順應(yīng)學生的思路引導他們進一步地討論。]7.4討論交流，辨析理解師:小亮根據(jù)轉(zhuǎn)盤2，繪制了一個扇形統(tǒng)計圖1，據(jù)此他認為，每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是100×5%+50×10％+20×20%＝14(元)。你能解釋小亮這樣做的道理嗎?統(tǒng)計圖1生:我認為小亮的算法是有道理的。由圖1可知，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，指針落在紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的可能性大小即概率分別為、、，我們可以把、、看作權(quán)重，因此小亮繪制的扇形統(tǒng)計圖，反映了轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針指向紅色區(qū)域、黃色區(qū)域、綠色區(qū)域的權(quán)重。由加權(quán)平均數(shù)的計算公式就可求出轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)動一次所獲購物券金額的平均數(shù)是:100×5%+50×10%+20×20%＝14(元)。師:按小亮的算法，小明一組轉(zhuǎn)了100次，總共獲得購物券應(yīng)為1400元，可實際上他們總共獲得購物券是1320元。這是為什么呢？生:因為用小亮的方法計算的平均數(shù)是用理論概率計算出來的，但實際上的頻率很難和理論概率完全相同。師:大家對實際生活中存在的不確定現(xiàn)象的認識是正確的，其實，實驗次數(shù)很多時，實驗結(jié)果應(yīng)該和理論值相近，但實驗次數(shù)再多，也很難保證實驗結(jié)果與理論值相等，這是我們作出決策和評判時應(yīng)該具備的隨機觀念。[旨在借助扇形統(tǒng)計圖，引導學生獲得這種理論計算方法，使學生認識概率與統(tǒng)計的聯(lián)系。]7.5隨堂練習，鞏固深化改用另一個轉(zhuǎn)盤進行上面的活動，小穎根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制出扇形統(tǒng)計圖2,求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)。統(tǒng)計圖2生:根據(jù)扇形統(tǒng)計圖，可知每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是：100×10%+50×15%+20×25%＝22.5(元)。7.6歸納總結(jié)，自我評價這節(jié)課我們繼續(xù)經(jīng)歷了解決問題的活動過程，學會如何評判某件事情是否“合算”，通過具體問題情境，掌握了一定的判斷方法，提高了決策能力；通過探索“平均收益”的計算方法，領(lǐng)會到隨機數(shù)學與確定數(shù)學之間的聯(lián)系。經(jīng)歷了實驗估計和理論計算的過程進一步體會到概率與統(tǒng)計之間的聯(lián)系，更好地建立了隨機觀念。7.7布置作業(yè)，檢測反饋(1)口袋里有相同的4個白球和2個紅球，從口袋里摸出2個球，如果兩個都是白球甲勝，否則乙勝，請你想一想，這個游戲中，誰合算？(2)如圖，轉(zhuǎn)盤被均勻分為37格，分別標以0~36這37個數(shù)字，游戲者每次下賭注2元，可押其中的一個數(shù)字，若轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針所指格子的數(shù)字恰為游戲者所押數(shù)字，則返還賭本并獲得獎勵70元，否則沒收賭本。該游戲?qū)τ螒蛘哂欣麊?轉(zhuǎn)動多少次后，游戲者平均每次將獲利或損失多少元?轉(zhuǎn)盤48教學反思概率統(tǒng)計的教學難在學生對事件發(fā)生的隨機性的理解，本課涉及隨機變量均值的計算，雖然學生已學過加權(quán)平均數(shù)，但那畢竟是靜態(tài)的數(shù)學。教學中首先要通過設(shè)置適合的問題情境，引起學生的認知沖突，激發(fā)學生的探究欲望。其次，教師要尋找知識聯(lián)系，通過構(gòu)筑認知平臺，為學生建立知識聯(lián)結(jié)提供幫助。如,引導學生理解轉(zhuǎn)盤中的幾何概率與實驗頻率之間的關(guān)系,借助頻率在大數(shù)次實驗下估計理論概率的核心知識，過渡到隨機變量均值的理論計算。實現(xiàn)了學生對學過知識