第17講 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（思維導(dǎo)圖+4知識(shí)點(diǎn)+7考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)）（解析版）-2025新高二數(shù)學(xué)暑假提升講義（精講精練）VIP

第17講橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；2．理解并掌握橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3．掌握用定義法、待定系數(shù)法和相關(guān)點(diǎn)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義1、定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半叫做半焦距．2、橢圓定義的集合語(yǔ)言表示：3、對(duì)定義的理解：定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當(dāng)時(shí)，其軌跡為線段；②當(dāng)時(shí)，其軌跡不存在．知識(shí)點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：（1）怎樣建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？以經(jīng)過點(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1．（2）橢圓可以看作是哪些點(diǎn)的集合？用坐標(biāo)如何表示？設(shè)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為（＞0）.焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，圖1又設(shè)M與的距離的和等于常數(shù)．圖1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因?yàn)?，所以?）遇到根式怎么辦？?jī)蓚€(gè)根式在同一側(cè)能不能直接平方？即兩邊平方得整理得再平方并整理得兩邊同除以得考慮,應(yīng)有，故設(shè)，就有．2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比3、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解（1）利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟=1\*GB3①定位：確定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上；=2\*GB3②定量：依據(jù)條件及確定的值；=3\*GB3③寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）求橢圓方程時(shí)，若沒有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為；（3）當(dāng)橢圓過兩定點(diǎn)時(shí)，常設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組求得系數(shù)．知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系1、根據(jù)橢圓的定義判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，有如下結(jié)論：點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部；點(diǎn)P在橢圓上；點(diǎn)P在橢圓外部．2、對(duì)于點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，有如下結(jié)論：點(diǎn)在橢圓外；點(diǎn)在橢圓內(nèi)；點(diǎn)在橢圓上；知識(shí)點(diǎn)4橢圓的焦點(diǎn)三角形1、定義：橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”．一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識(shí)，建立QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的關(guān)系，采用整體代入的方法解決焦點(diǎn)三角形的面積、周長(zhǎng)及角的有關(guān)問題．（設(shè)QUOTE為QUOTE）2、兩條性質(zhì)性質(zhì)1：QUOTE，QUOTE（兩個(gè)定義）拓展：QUOTE的周長(zhǎng)為QUOTEQUOTE的周長(zhǎng)為QUOTE性質(zhì)2：QUOTE（余弦定理）．考點(diǎn)一：橢圓定義及其辨析例1．（23-24高二上·北京延慶·期末）已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓方程可知：，由橢圓定義可知：到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，故選：D.【變式1-1】（23-24高二下·陜西·開學(xué)考試）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，由橢圓的定義可知：，又因?yàn)椋獾茫?故選：B.【變式1-2】（23-24高二下·安徽·月考）如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．線段【答案】D【解析】方程表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定點(diǎn)的距離之和為3，即，所以點(diǎn)M的軌跡是線段．故選：D【變式1-3】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多選）下列是真命題的是（

）A．已知定點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的軌跡為橢圓B．已知定點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的軌跡為線段C．到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓D．若點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的和等于點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的和，則點(diǎn)的軌跡為橢圓【答案】BD【解析】對(duì)于A，，根據(jù)橢圓定義，點(diǎn)的軌跡不存在，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)的軌跡為線段，故B正確；對(duì)于C，到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，到定點(diǎn)的距離的和為，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓，故D正確．故選：BD.考點(diǎn)二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2.（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．5 C．6 D．9【答案】B【解析】由已知可得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，，，則，即.故選：B【變式2-1】（23-24高二上·吉林·期末）若橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過點(diǎn)，焦距為6，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得橢圓焦點(diǎn)在軸上且經(jīng)過點(diǎn)，焦距為6，所以，，則，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【變式2-2】（23-24高二上·河南南陽(yáng)·月考）焦點(diǎn)在x軸上，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn),.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．1 C． D．1【答案】A【解析】由于橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，所以，設(shè)橢圓方程為，將代入橢圓可得，解得，所以橢圓方程為，故選：A【變式2-3】（22-23高二上·陜西咸陽(yáng)·月考）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦距的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】由橢圓方程得兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距為，當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以①，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以②，聯(lián)立①②解得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以③，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以④，聯(lián)立③④解得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：D.考點(diǎn)三：橢圓方程的參數(shù)問題例3.23-24高二下·重慶·月考）已知,則方程可表示焦點(diǎn)在軸上的不同橢圓的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】由題意可知，則有如下，，共7種情況.故選：C【變式3-1】（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．且【答案】D【解析】方程表示橢圓，，得，得且．故選：D．【變式3-2】（23-24高二下·廣西·月考）已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意,要使方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,需滿足，解得.故選：B.【變式3-3】（23-24高二上·江蘇泰州·月考）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，故.故答案為：考點(diǎn)四：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系例4.（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)滿足，則（

）A．點(diǎn)在橢圓外 B．點(diǎn)在橢圓內(nèi)C．點(diǎn)在橢圓上 D．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系不能確定【答案】A【解析】若在橢圓上，則，，點(diǎn)在橢圓外.故選：A.【變式4-1】（23-24高二上·河南南陽(yáng)·月考）點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在橢圓上 B．點(diǎn)在橢圓內(nèi)C．點(diǎn)在橢圓外 D．不確定【答案】B【解析】由于，所以在內(nèi)，故選：B【變式4-2】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則的值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】由題意知，解得．故選：BC【變式4-3】（23-24高二上·江蘇徐州·期末）（多選）已知直線與圓相切，橢圓，則（

）A．點(diǎn)在圓O內(nèi) B．點(diǎn)在圓O上C．點(diǎn)在橢圓C內(nèi) D．點(diǎn)在橢圓C上【答案】BC【解析】由直線與圓相切，可知，圓心到直線的距離，即，所以點(diǎn)在圓O上，并且，所以圓在橢圓內(nèi)，在橢圓內(nèi).故選：BC考點(diǎn)五：利用定義解決焦三角問題例5.（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A．24 B．12 C．36 D．48【答案】A【解析】因?yàn)?，所以的周長(zhǎng)為24．故選：A.【變式5-1】（23-24高二下·天津·月考）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】由可得：，則橢圓得長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，可設(shè)，，由題意可知，，，，，△是直角三角形，其面積．故選：B．【變式5-2】（23-24高二下·浙江·月考）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓，所以，又因?yàn)?，所以，即，設(shè)，則①，且②，由①②得到，即，所以，故選：B.【變式5-3】（23-24高二上·天津·月考）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上，且，則．【答案】40【解析】由題意可得，在中，，由余弦定理，得，得，得，所以．故答案為：40．考點(diǎn)六：利用定義解決最值問題例6.（23-24高二上·河北·月考）已知橢圓：，的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，由由橢圓定義可得，，所以.故選：B.【變式6-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)，則的最大值是.【答案】5【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，所以，，，所以．如圖，因?yàn)椋ó?dāng)M在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)），，所以．所以的最大值為5，故答案為：5【變式6-2】（23-24高二上·福建寧德·期末）已知是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如圖，由題意，橢圓的焦點(diǎn)為，，則圓的圓心是橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓定義得，所以，又，所以.故選：B.【變式6-3】（22-23高二上·全國(guó)·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】由橢圓方程可知：，設(shè)右焦點(diǎn)為，則，，且，即，如圖所示，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為3.故選：C.考點(diǎn)七：與橢圓有關(guān)的軌跡問題例7.（23-24高二下·湖北黃岡·月考）已知三角形的周長(zhǎng)為，且，，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?、，所以，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，得，由橢圓的定義可知：頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，且橢圓中，，，即，橢圓方程為，因?yàn)闀r(shí)，三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形．頂點(diǎn)的軌跡方程為，故選：C．【變式7-1】（23-24高二下·上海靜安·月考）已知?jiǎng)訄AM和圓：內(nèi)切，并和圓：外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡是（

）A．直線 B．圓C．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在軸上的橢圓【答案】C【解析】設(shè)動(dòng)圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，可得，所以,根據(jù)橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，可得，則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.所以其軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓.故選：C.【變式7-2】（23-24高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·月考）已知圓，定點(diǎn)為，M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在上，點(diǎn)N不在x軸上，且滿足，則點(diǎn)N的軌跡方程為.【答案】【解析】根據(jù)已知得是的垂直平分線，則，圓的圓心，半徑為，則，因此點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，其中，故點(diǎn)N的軌跡方程是．故答案為：．【變式7-3】（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，D為垂足，點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程（當(dāng)點(diǎn)M經(jīng)過橢圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)M重合．）【答案】【解析】由題意設(shè)，則，，所以，又因?yàn)椋?，解得，由?guī)定可知，所以，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為.一、單選題1．（23-24高二上·江蘇淮安·月考）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】由橢圓，得，則，所以.故選：C.2．（23-24高二下·貴州貴陽(yáng)·月考）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．10【答案】B【解析】由題意得，，，，所以．故選：B．3．（22-23高二上·吉林·期中）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意知又橢圓過點(diǎn)，所以，且，計(jì)算得所以橢圓的方程為，選項(xiàng)B正確.故選：B.4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·月考）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知表示橢圓，則，解得.故選：A.5．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若點(diǎn)在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)不在橢圓上 B．點(diǎn)不在橢圓上C．點(diǎn)在橢圓上 D．無法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系【答案】C【解析】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，若點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，，，三點(diǎn)都在橢圓上，故選：C6．（23-24高二下·四川廣元·月考）設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．6【答案】B【解析】由橢圓的定義知∴的周長(zhǎng)為，∴當(dāng)最小時(shí)，最大．當(dāng)軸，即AB為通徑時(shí)，最小，此時(shí)，∴的最大值為．故選：B．二、多選題7．（23-24高二下·福建福州·月考）若橢圓的某兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為4，則m的可能取值有（

）A． B． C． D．2【答案】BCD【解析】由題意可知，，若這兩個(gè)頂點(diǎn)為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，；若這兩個(gè)頂點(diǎn)為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，；若一個(gè)頂點(diǎn)短軸的端點(diǎn)，另一個(gè)為長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，；故選：BCD8．（22-23高二上·吉林·月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為8 B．存在點(diǎn)，使得C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】BCD【解析】由可得,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為.對(duì)A項(xiàng),的周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤;對(duì)B項(xiàng),設(shè)存在點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和橢圓的定義得，即,解得或,故B正確;對(duì)C項(xiàng),設(shè)點(diǎn),,則,所以,,則,又因?yàn)?所以,所以的取值范圍為,故C正確;對(duì)D項(xiàng),由C知,,則,因?yàn)?所以,則,同理可得，所以,當(dāng)時(shí),取得最大值,當(dāng)或時(shí),的值,但且，所以的取值范圍為,故D正確.故選:BCD.三、填空題9．（23-24高二上·四川遂寧·月考）橢圓上一點(diǎn)P與它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.【答案】14【解析】因?yàn)闄E圓，則，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為