人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊綜合質(zhì)量檢測檢測（解析版）VIP

全冊綜合質(zhì)量檢測(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x－1≥0}，則A∩(?RB)＝()A．(1,3] B．[1,3]C．(－2,1] D．(－2,1)【解析】因?yàn)锽＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，?RB＝{x|x<1}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩(?RB)＝{x|－2<x<1}．故選D.2．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的大致圖象是()【解析】f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,x－1，x<0，))結(jié)合圖形可知C適合題意．故選C.3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，則“角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱”是“cosα＝cosβ”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱可得α＝－β＋2kπ，k∈Z，故cosα＝cosβ，充分性成立，當(dāng)cosα＝cosβ時(shí)，α＝－β＋2kπ，k∈Z或α＝β＋2kπ，k∈Z，故必要性不成立，故選A.4．若2x＝5，lg2≈0.3010，則x的值約為()A．2.301 B．2.322C．2.507 D．2.699【解析】由指對數(shù)互化公式得x＝log25＝eq\f(lg5,lg2)＝eq\f(1－lg2,lg2)≈eq\f(1－0.3010,0.3010)≈2.322.故選B.5．用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－2－1的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間可選為()A．[－1,0] B．[0,1]C．[1,2] D．[2,3]【解析】f(－1)＝－eq\f(1,6)<0，f(0)＝eq\f(1,2)>0，f(1)＝eq\f(5,2)>0，f(2)＝eq\f(17,2)>0，f(3)＝eq\f(53,2)>0，則f(－1)·f(0)<0，即初始區(qū)間可選[－1,0]．故選A.6．若a＝log23，b＝log3e，c＝ln3，則()A．a(chǎn)>c>b B．b>a>cC．a(chǎn)>b>c D．c>a>b【解析】a＝log23>log22＝1，b＝log3e<log33＝1，c＝ln3>lne＝1，c＝ln3＝eq\f(1,log3e)<eq\f(1,log32)＝log23，所以a>c>b.故選A.7．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的圖象如圖所示，將該函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移θ(θ>0)個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則θ的最小值為()A.eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,12) D．eq\f(7π,24)【解析】由圖象可知函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,π)＝2，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝1，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，由于0<φ<eq\f(π,2)，故φ＝eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，將該函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移θ(θ>0)個(gè)單位長度后，得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－4θ＋\f(π,3)))的圖象，因?yàn)樵搱D象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－4θ＋\f(π,3)))為奇函數(shù)，故－4θ＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，則θ＝eq\f(π,12)－eq\f(kπ,4)，k∈Z，而θ>0，則θ的最小值為eq\f(π,12)，故選C.8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ax－2，x≤2,x＋\f(36,x)－6a，x>2))，若f(x)的最小值為f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．[2,5] B．[2，＋∞)C．[2,5) D．(－∞，5]【解析】由x>2，則f(x)＝x＋eq\f(36,x)－6a≥2eq\r(x·\f(36,x))－6a＝12－6a，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6時(shí)等號成立，此時(shí)f(x)的最小值為f(6)＝12－6a；由y＝x2－2ax－2在(－∞，a)上遞減，在(a，＋∞)上遞增，又f(x)的最小值為f(2)，故a≥2且f(2)≤f(6)?2－4a≤12－6a?a≤5，綜上，2≤a≤5.故選A.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．下列三角式中，值為1的是()A．4sin15°cos15° B．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,6)－sin2\f(π,6)))C.eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°) D．eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos\f(π,6))【解析】4sin15°cos15°＝2sin30°＝2×eq\f(1,2)＝1，故A正確；2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,6)－sin2\f(π,6)))＝2coseq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)＝1，故B正確；eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1，故C正確；eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos\f(π,6))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(2＋\r(3)),2)≠1，故D錯(cuò)誤．故選ABC.10．已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，則()A.eq\f(π,2)<α<π B．sinαcosα＝－eq\f(12,25)C．cosα－sinα＝eq\f(7,5) D．cosα－sinα＝－eq\f(7,5)【解析】sinα＋cosα＝eq\f(1,5)兩邊平方得，sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，所以sinαcosα＝－eq\f(12,25)，B正確；因?yàn)棣痢?0，π)，所以sinα>0，故cosα<0，所以eq\f(π,2)<α<π，A正確；(cosα－sinα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，因?yàn)閟inα>0，cosα<0，所以cosα－sinα<0，故cosα－sinα＝－eq\f(7,5)，C錯(cuò)誤，D正確．故選ABD.11．已知A，B是函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的圖象與直線y＝3的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．|AB|min＝eq\f(π,3)B．f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠3kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))C．f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))單調(diào)遞增D．f(x)的圖象的對稱中心為點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,6)－\f(π,18)，0))，k∈Z【解析】因?yàn)锳，B是函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的圖象與直線y＝3的交點(diǎn)，所以|AB|的最小值為函數(shù)f(x)的最小正周期，T＝eq\f(π,3)，所以|AB|min＝eq\f(π,3)，故A正確；令3x＋eq\f(π,6)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x≠eq\f(π,9)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z，所以f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,9)＋\f(kπ,3)，k∈Z))))，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，所以3x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，因?yàn)楹瘮?shù)y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上不單調(diào)，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；令3x＋eq\f(π,6)＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，解得x＝－eq\f(π,18)＋eq\f(kπ,6)，k∈Z，所以f(x)的對稱中心為點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)＋\f(kπ,6)，0))，k∈Z，故D正確．故選AD.三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)12．已知冪函數(shù)y＝(m2＋3m－3)xm＋1的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m＝－4.【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得m2＋3m－3＝1，解得m＝－4或m＝1，當(dāng)m＝－4時(shí)，y＝x－3不經(jīng)過原點(diǎn)，符合題意；當(dāng)m＝1時(shí)，y＝x2過原點(diǎn)，不符合題意，故m＝－4.13．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)α(α>0)是1或4(4或1).【解析】設(shè)扇形半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α(α>0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，))所以扇形的圓心角的弧度數(shù)α(α>0)是1或4.14．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－log2x，x≥1，,4x，x<1，))則f(a)＝2，則a＝2或eq\f(1,2).【解析】因?yàn)閒(a)＝2，當(dāng)a≥1時(shí)，3－log2a＝2，解得a＝2，當(dāng)a<1時(shí)，4a＝2，解得a＝eq\f(1,2).綜合得a＝2或a＝eq\f(1,2).四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分13分)已知sinα＝eq\f(1,3)，且α是第二象限角．(1)求tanα的值；(2)求eq\f(cos2α－cosαsinα,sin2α＋1)的值．【解析】(1)∵sinα＝eq\f(1,3)，且α是第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(2),4).(2)eq\f(cos2α－cosαsinα,sin2α＋1)＝eq\f(cos2α－cosαsinα,2sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tanα,2tan2α＋1)＝eq\f(1＋\f(\r(2),4),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)))2＋1)＝eq\f(4,5)＋eq\f(\r(2),5).16．(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.(1)求f(x)在R上的解析式；(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并解不等式f(x2－2x)＋f(3－2x2)<0.【解析】(1)設(shè)x<0，則－x>0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋2x，因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝x2－2x，即f(x)＝－x2＋2x，又f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x<0.))(2)x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)，不等式f(x2－2x)＋f(3－2x2)<0可化為f(x2－2x)<－f(3－2x2)＝f(2x2－3)，所以x2－2x<2x2－3，即x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1.所以不等式的解集為{x|x<－3或x>1}．17．(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)＝2cosx(eq\r(3)sinx＋cosx)＋m.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)在下列三個(gè)條件中，選擇一個(gè)作為已知，使得實(shí)數(shù)m的值唯一確定，并求函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值．條件①：f(x)的最大值為1；條件②：f(x)的一個(gè)對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))；條件③：f(x)的一條對稱軸為x＝eq\f(π,6).【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x＋m＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＋m＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋m＋1，故函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)選①，f(x)max＝2＋m＋1＝m＋3＝1，解得m＝－2，則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1，當(dāng)0≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，故當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，即f(x)min＝2sineq\f(7π,6)－1＝－2；選②，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的一個(gè)對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝2sinπ＋m＋1＝m＋1＝0，解得m＝－1，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，當(dāng)0≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，故當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，即f(x)min＝2sineq\f(7π,6)＝－1；選③，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋m＋1的一條對稱軸為直線x＝eq\f(π,6)，m的值無法確定．18．(本小題滿分17分)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明：某種紅茶用95℃的水泡制，再等到茶水溫度降至55℃時(shí)飲用可以產(chǎn)生最佳口感，現(xiàn)在室溫25℃下，某實(shí)驗(yàn)小組為探究剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔1min測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)：時(shí)間/min012345水溫/℃95.0088.0081.7076.0570.9366.30設(shè)茶水溫度從95℃開始，經(jīng)過xmin后的溫度為y℃，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①y＝eq\f(k,x)(k>0)；②y＝kax＋b(k>0,0<a<1，x≥0)；③y＝loga(x＋k)(a>1，k>0，x≥0)．(1)從上述三種函數(shù)模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用前2min的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)(1)中所求的函數(shù)模型，求剛泡好的紅茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間．參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.477，lg7≈0.845.【解析】(1)選擇②y＝kax＋b(k>0,0<a<1，x≥0)作為函數(shù)模型．對于模型①，當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)無意義，故而排除；對于模型③，由表中數(shù)據(jù)可知當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值減小，故而排除；對于模型②，所給函數(shù)單調(diào)遞減，且符合茶水溫度不低于室溫的要求；故應(yīng)選擇模型②.將前2min的數(shù)據(jù)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(95＝k＋b，,88＝ka＋b，,81.7＝ka2＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.9，,k＝70，,b＝25，))所以所求函數(shù)解析式為y＝70×0.9x＋25.(2)由(1)中模型可得70×0.9x＋25＝55，即0.9x＝eq\f(3,7)，所以x＝log0.9eq\f(3,7)，即x＝eq\f(lg3－lg7,lg0.9)＝eq\f(lg7－lg3,1－2lg3)≈eq\f(0.845－0.477,1－2×0.477)＝eq\f(0.368,0.046)＝8，所以剛泡好的紅茶放置8min能達(dá)到最佳飲用口感．19．(本小題滿分17分)已知函數(shù)f(x)＝ln(ex＋