復(fù)數(shù)數(shù)系擴(kuò)充問題研究5900字【論文】VIP

復(fù)數(shù)數(shù)系擴(kuò)充問題研究 2 2 2 32數(shù)域的擴(kuò)張 42.1數(shù)的理論擴(kuò)充 42.2實(shí)數(shù)域 2.3實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù) 3復(fù)數(shù) 93.1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 93.2復(fù)數(shù)域 4復(fù)數(shù)的其它表達(dá)形式 4.1復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式 14.2復(fù)數(shù)的指數(shù)表達(dá)式 15復(fù)數(shù)的應(yīng)用舉例 5.1利用復(fù)數(shù)簡(jiǎn)化問題 6四元數(shù) 摘要：數(shù)的產(chǎn)生方便了我們的生活，古往今來，數(shù)不斷的在擴(kuò)經(jīng)從整數(shù)擴(kuò)充到了復(fù)數(shù).本篇文章就關(guān)于復(fù)數(shù)域的擴(kuò)張進(jìn)行研究和論述.采用文獻(xiàn)綜述法與分析法從復(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景，數(shù)系擴(kuò)充的條件，從實(shí)數(shù)域出發(fā)闡述復(fù)數(shù)域是如何從實(shí)關(guān)鍵詞：數(shù)域；域的擴(kuò)張；復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域的擴(kuò)充是一個(gè)漫長(zhǎng)而復(fù)雜的過程，起初人類為了記錄物體的數(shù)量而產(chǎn)生了數(shù)，目前數(shù)的發(fā)展歷經(jīng)了自然數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù)這幾個(gè)過程，而在近代開始慢慢產(chǎn)生數(shù)域的理論，目前所學(xué)的數(shù)域包括有理數(shù)域，實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域.那么本文在參考借鑒他人的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，以及查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料后詳細(xì)闡述復(fù)數(shù)域的擴(kuò)充.1.1選題背景角度把實(shí)數(shù)作為一個(gè)整體來考慮也沒有啟用抽象的公里定義它，更沒有形成域的概念.域的具體概念在19世紀(jì)末開始形成，歷史上數(shù)域的發(fā)展過程對(duì)數(shù)學(xué)這一學(xué)科產(chǎn)生了十分重?cái)?shù)的產(chǎn)生反駁了萬物公比的理論.然而隨著時(shí)代的進(jìn)步，產(chǎn)生新的數(shù)不單單只是為了服務(wù)于人類，比如復(fù)數(shù)的產(chǎn)生.域是在群和環(huán)的基礎(chǔ)上提出來的.對(duì)于四則運(yùn)算封閉的數(shù)的集合1.2研究的問題本研究以數(shù)系的擴(kuò)充歷史以及數(shù)域的擴(kuò)張為前提進(jìn)行復(fù)數(shù)域史的擴(kuò)張分析研究.其中主要研究復(fù)數(shù)域在實(shí)數(shù)域上的擴(kuò)張以下介紹的群、環(huán)、域都是滿足運(yùn)算封閉的.定義非空集合G的代數(shù)運(yùn)算。滿足以下條件：則稱G對(duì)這個(gè)代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)群如果對(duì)群G的任意兩個(gè)元素a,b均有3、乘法對(duì)加法滿足左右分配律則稱R對(duì)這兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)環(huán).如果環(huán)的乘法滿足交換律，即對(duì)任意的元素a,b都有則稱該環(huán)為交換環(huán).定義設(shè)R是一個(gè)環(huán)，如果|R|>1,又R有單位元且每個(gè)非零元都有逆元，則稱R是要弄清楚域的擴(kuò)張首先我們得搞明白數(shù)的擴(kuò)張.縱觀歷史，我把數(shù)系的擴(kuò)充分為了四有理數(shù)數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充，引入了無理數(shù)，解決了除不盡的問題.第擴(kuò)充，引入了虛數(shù)，解決了在實(shí)數(shù)域上二次方程沒有根的問題41.每算帶來了新的生機(jī)和挑戰(zhàn).那么下面我們一起來討論一下數(shù)域是怎么擴(kuò)張的?2.1數(shù)的理論擴(kuò)充后指出新數(shù)系的某一個(gè)子集與以前的數(shù)系是同構(gòu)的7.從一個(gè)數(shù)系A(chǔ)擴(kuò)充到另一個(gè)數(shù)系B,應(yīng)當(dāng)遵循以下原則：(2)在B上建立各種運(yùn)算，A的元素間所定義的運(yùn)算在B中是一致的.(3)B結(jié)構(gòu)和A的結(jié)構(gòu)可能有本質(zhì)不同.也就是說A中不是所有運(yùn)算都能運(yùn)行，但在B中卻可以進(jìn)行.(4)在A的具有上述三個(gè)性質(zhì)的所有擴(kuò)充.在同構(gòu)意義下的是最小唯一擴(kuò).數(shù)系的每一次擴(kuò)充解決了原數(shù)系的某些矛盾，從而適用范圍擴(kuò)大了，但每一次擴(kuò)充也失去了一些性質(zhì)，如實(shí)數(shù)域中有順序性在復(fù)數(shù)域失去了.2.1.2有理數(shù)到實(shí)數(shù)在今天的教學(xué)中，負(fù)數(shù)的引入就是通過算術(shù)的方法來引入的，通常是一個(gè)較小的數(shù)字減去一個(gè)較大的數(shù)字，就可以得到一個(gè)負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)的引入解決了不夠減的問題.如今也廣泛得應(yīng)用到人們的生活中比如溫度，水位，盈虧等等.2.2實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)充并不是一蹴而就的，在初中階段學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)就會(huì)遇到某些方程如：x2+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，此時(shí)符合該方程的判別式小于零.為了解決這類特殊方程無解的情形，由此引入了虛數(shù)i,并將實(shí)數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，這也是數(shù)集的一次巨大飛躍.上面提到的方程x2+1=0的解可以表示為x=±√-1,而在初中階段學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)，所以√-1在實(shí)數(shù)內(nèi)是不符合條件的.此時(shí)必須要引入新的數(shù).接下來科學(xué)家們就開始考慮有沒有一個(gè)數(shù)是的它的平方等于-1,經(jīng)過長(zhǎng)久的發(fā)現(xiàn)，終于找到i,且令i2=-1所以x2+1=0的解就可以表示為x=±i.一些方程的解不能在實(shí)數(shù)集上表示.就此就引入了虛數(shù)單位.把a(bǔ)與i相加就得到a+i,把b與i相乘得到bi,把a(bǔ)和bi相加就得到a+bi,于是所有的復(fù)數(shù)寫成z=a+bi(詳細(xì)證明過程在下文),把所有復(fù)數(shù)集中在一起，寫作：的解.2.3復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域的定義有異于域的定義.如果能證明實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的一個(gè)子集，實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)是同構(gòu)的，就可以說復(fù)數(shù)對(duì)于加法和乘法做成一個(gè)域.②數(shù)對(duì)的加法(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);③數(shù)對(duì)的乘法(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).定義1全體有序?qū)崝?shù)對(duì)的集合C。關(guān)于上述加法和乘法構(gòu)成一個(gè)域.分析若需證明集合C。關(guān)于上述加法和乘法構(gòu)成一個(gè)域.則需證明①加法的結(jié)合律；②加法的交換律；⑤乘法的結(jié)合律；⑥乘法的交換律；⑦乘法對(duì)加法的分配律；⑧乘法有單位元；⑨對(duì)C?的每一個(gè)非零元素，都有乘法逆元.證明以上的證明選擇一兩條證明，證明過程如下：②加法的交換律令α?=(a,b),α?=(c,d)……因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以a+c=c+a,b+d=d+b即③加法有零元因?yàn)閿?shù)對(duì)證明設(shè)φ:R?→R,φ:(a,0)→a即有φ[(a,O)+(b,O)]=φ(a,O所以有R?與R同構(gòu).設(shè)R?是C?中所有形如(a,0)的實(shí)數(shù)對(duì)作成的集合.所以φ是R?到R上的一個(gè)同構(gòu)映射.所以φ是C。到C的——映射.其中所以是具有兩種代數(shù)運(yùn)算(加法和乘法)的集合7.集合C關(guān)于這樣定義的兩種運(yùn)算與域C同構(gòu).所以C是一個(gè)域.做復(fù)數(shù)域.在上文我們提到i2=-1,那么到底是證明得來的呢?下面我們進(jìn)行詳細(xì)的證明.-i=-(0,1)=(0,-1),按照上述法則(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)有；(-i)2=(-i)(-i)=(0,-1)(所以(-i)2=-1.綜上可得在上文提到的方程x2+1=0在C中的解就可以表示為我們C叫做復(fù)數(shù)域，那C中的數(shù)應(yīng)該怎么表示呢?定理2在復(fù)數(shù)域C中，任意的一個(gè)數(shù)α都可以表示為α=a+bi的形式，且a,b∈R證明因?yàn)镃與C?同構(gòu)(CC?),所以，C?中的運(yùn)算法則在C中也同樣適用.(a,b)=(a,O)+(0,b),(0,b即(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,所以i為虛數(shù)單位且i2=-1.叫做純虛數(shù).復(fù)數(shù)x+yi和x-yi稱為互為共軛復(fù)數(shù)，即x+yi是x-yi的共軛復(fù)數(shù)，或x-yi是x+yi的共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)3,常記為z,于是Z?+Z?=(a+bi)+(c+di)=(a+cZ?+Z?=Z?+Z?;(z1+z2)+z3=(Z?+z?)+Z3.Z?-Z?=(a+bi)-(c+di)=(a-c)乘法類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，展開得：ac+adi+bci+bdi商.即復(fù)數(shù)最基本的表達(dá)式是z=a+bi,也叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)式.但是除了最基本的表達(dá)式以4.1復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式對(duì)于復(fù)數(shù)Z=a+bi有：所以我們定義：叫做復(fù)數(shù)的三角形式.當(dāng)r=1時(shí)，這種復(fù)數(shù)稱為單位復(fù)數(shù).4.2復(fù)數(shù)的指數(shù)表達(dá)式我們熟知的歐拉公式：而且可以驗(yàn)證利用上一個(gè)公式可以改寫成z=rei?也就是說任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z都可以改寫成我們稱它為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，這里的argz不必取主值.5復(fù)數(shù)的應(yīng)用舉例復(fù)數(shù)理論在數(shù)學(xué)家們的長(zhǎng)期探索下，已經(jīng)得到了發(fā)展.經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，復(fù)數(shù)理論得到了深入的探索和發(fā)展，從而揭開了虛數(shù)的神秘面紗.虛數(shù)已經(jīng)成為數(shù)系的一員，因而實(shí)數(shù)集已經(jīng)擴(kuò)展為復(fù)數(shù)集31.隨著時(shí)代的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論變得重要.它不僅對(duì)數(shù)學(xué)本的發(fā)展具有重要意義，而且在簡(jiǎn)化許多步驟.5.1利用復(fù)數(shù)簡(jiǎn)化問題復(fù)數(shù)的發(fā)展已經(jīng)有著越來越重要的地位，在數(shù)學(xué)問題，物理問題中都有著十分重要的作用，接下來主要講述一些關(guān)于復(fù)數(shù)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問題的例子：5.1.1復(fù)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用復(fù)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用廣泛，在這里僅以高三解析幾何試題的復(fù)數(shù)解法為例.在數(shù)學(xué)教學(xué)中復(fù)數(shù)和解何都是較為重要的內(nèi)容，并且是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過程中必須攻克的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，對(duì)高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生著重要的影響.在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng).對(duì)復(fù)數(shù)的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和處理解析幾何方面的問題，為學(xué)生更好的學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知例1M為拋物線y=x2-2x+3上的一點(diǎn)，連接OM,作矩形OMNP,使|OP|=2|OM|,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.解設(shè)P,M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為x+yi與x'+y'i,則由向量OM與OP或OP′間接的關(guān)系有或或者即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.以上這題向我們很好的展示了復(fù)數(shù)在解析幾何中求解動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的作用，中學(xué)階段求解動(dòng)點(diǎn)軌跡類問題都是比較復(fù)雜的，屬于難點(diǎn)問題，但是在復(fù)數(shù)中就能使得這類題型得到簡(jiǎn)捷明了的解決.例2設(shè)z?,Z?,z?滿足條件z+Z?+Z?=0,|z|=|z?|=|z3|=1試證z,Z?,z?時(shí)一個(gè)內(nèi)接于單位圓周的|z|=1的正三角形頂點(diǎn).證明由題意可知，點(diǎn)z,Z2?,z?在單位圓|z|=1上，要想證z,Z?,Z?是一個(gè)內(nèi)接于單位圓=ZZ?+Z?Z?+Z1Z?+Z?Z?=|212+|z?2+(z?Z?+Z?Z=zZ+Z?Z?-z?z?-Z?Z?=|2|2+|就拿這道題來說，把復(fù)數(shù)類似于向量來解決問題是非常新穎的方法，同時(shí)也使得這種證明題有了更多的解題思路.5.1.2共軛思想在解題中的應(yīng)用高中階段我們所學(xué)的共軛復(fù)數(shù)是形如a+bi與a-bi這樣的，它對(duì)于解決復(fù)數(shù)的部分題型具有十分簡(jiǎn)潔的作用，使得解題步驟得到簡(jiǎn)化.以下面這道題為例.證明對(duì)于任意的復(fù)數(shù)z,由|z2=zz可知：z+z?2+|z-z?2=(z?+Z?)(Z?+=(Z?Z+Z?Z?+z?Z?+z?Z)+(z?Z?從這道題中可以明顯看出，共軛思想對(duì)于這種題型所起的簡(jiǎn)化作用是非常明顯的，從z+z?2+|z-z?l2=2(z?2+lz?2)中簡(jiǎn)化了中間的推導(dǎo)過程，學(xué)生只需要記住該公式就可以直接運(yùn)用它來解決其他問題.四元數(shù)是一種新型的數(shù)，它是復(fù)數(shù)的推廣.下面介紹四元數(shù)的產(chǎn)生與定義.哈密頓認(rèn)為，復(fù)數(shù)a+bi視為平面上的一個(gè)向量或一個(gè)點(diǎn)，那么就可以把復(fù)數(shù)從二維(平面推廣到三維(空間)或更高維空間，并依然具有復(fù)數(shù)的基本他考慮了形如的數(shù)，其中a,b,c為實(shí)數(shù)，i為復(fù)數(shù)中的單位虛數(shù)，而J為個(gè)與i不同的數(shù)，但同樣有(a?+b?i+c?j)±(a?+b?i+c?j)=(a?±a?)使得無法實(shí)現(xiàn)除法，即不能確定兩個(gè)數(shù)的商.于是哈密頓放棄了有關(guān)“三維復(fù)數(shù)”的研究，而轉(zhuǎn)為考慮“四維復(fù)數(shù)”a+bi+cj+dk定義這種數(shù)的加法與減法是容易的，與復(fù)數(shù)或前面三維情況類似接下來定義乘法.要定義乘法，首先就需要對(duì)數(shù)i,j,k相乘的積作出規(guī)定：為了解釋四元數(shù)的定義，先來解釋哈密頓的乘法公式①②在②式的左右兩邊各乘以一個(gè)k,則得到但另一方面于是得到對(duì)此兩端各乘以J有再對(duì)兩端各乘以i,可以的得到這是哈密頓為了把復(fù)數(shù)推廣到四維空間而不得不做出的“犧牲”,事實(shí)上，如果仍然j=-ji=kjk=-kj=i,ki=-ik=j③這樣由①式和②式推導(dǎo)出了③式.現(xiàn)在用乘法法則①式和③式來定義四元數(shù)的乘法=aa-bb′-cc'-dd'+(ab'+a'b+cd'-c'd)i+(ac+a'c+b'd-bd'這就是說，兩個(gè)這樣的數(shù)相乘的乘積仍然式一個(gè)這樣的數(shù)了規(guī)則①式和③式進(jìn)行轉(zhuǎn)換.四元數(shù)加減的定義與向量完全相似=(a?±a?)+(b?±b?)i+(c?±c?)j+可以看出，四元數(shù)對(duì)加法交換律成立：對(duì)加法與乘法成立結(jié)合律：四元數(shù)滿足分配律：在這些規(guī)律中，四元數(shù)與實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的情況是一致的，但是在乘法中，四元數(shù)失去了交換律，在兩個(gè)四元數(shù)相乘時(shí)一定要注意左右順序：一般來說9192,9?91不相等，兩個(gè)相等需要滿足一定的條件.四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)具有重要意義.四元數(shù)是歷史上發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)乘法不能交換而除法可以做的數(shù)系.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，四元數(shù)在實(shí)數(shù)域上形成一個(gè)四維線性空間的代數(shù)，是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的非交換可除代數(shù).[5]徐傳勝周厚春.《數(shù)學(xué)史講義概要》.[6]楊子胥.《近世代數(shù)》第三版.[9]韓嘯.若干重要定理在復(fù)數(shù)域中的推廣[J].科學(xué)大眾(科學(xué)教育),2016(12):152.[10]胡江，王玉.復(fù)數(shù)域上微分中值定理新證[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008(04):71-73.[11]張彬.APOS理論下的“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”教學(xué)研究[D].揚(yáng)州大學(xué)，2019.[12]鄒慧群.《把實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)以后》的兩點(diǎn)補(bǔ)充[J].天津教育，1981(07):24-26.[13]沈伯英.復(fù)數(shù)域之結(jié)構(gòu)及其擴(kuò)張[J].中學(xué)教研，1989(08):32-36.[14]孫自行.復(fù)數(shù)以后一一我們能走多遠(yuǎn)[J].自然雜志，1992(08):615-619.[15]焦俊萍.四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)及其意義[D].山西師