2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第4講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系講義理含解析VIP

PAGEPAGE10第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[考綱解讀]1.能依據(jù)給定直線、圓的方程推斷直線與圓的位置關(guān)系；能依據(jù)給定兩個(gè)圓的方程推斷圓與圓的位置關(guān)系．(重點(diǎn))2.能夠求出圓的切線、弦長(zhǎng)、能利用圓系解決相關(guān)問題，同時(shí)在解題時(shí)留意基本運(yùn)算、等價(jià)轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．(難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講為高考必考內(nèi)容．預(yù)料2024年高考將會(huì)考查：①直線與圓位置關(guān)系的推斷及應(yīng)用；②直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)問題；③利用直線與圓位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問題．試題以客觀題形式呈現(xiàn)，難度一般不大，屬中檔題型．此外也不要忽視在解答題中出現(xiàn)的可能性.1．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．3．必記結(jié)論當(dāng)直線與圓相交時(shí)，由弦心距(圓心到直線的距離)，弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形．(1)兩圓相交時(shí)公共弦的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，因此留意檢驗(yàn)C2是否滿意題意，以防丟解)．(3)弦長(zhǎng)公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]).1．概念辨析(1)“k＝2”是“直線x＋y＋k＝0與圓x2＋y2＝2相切”的必要不充分條件．()(2)過圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.()(3)假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(4)從兩相交圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小題熱身(1)直線x－y＋1＝0與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為()A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離答案B解析圓心(0,0)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而0<eq\f(\r(2),2)<1.故選B.(2)已知直線l：y＝k(x＋eq\r(3))和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝()A．0 B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)或0 D．eq\r(3)或0答案D解析因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝eq\r(3).故選D.(3)圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直線方程為________．答案x－y＋2＝0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.(4)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為________．答案eq\f(2\r(55),5)解析圓心為(2，－1)，半徑r＝2.圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2×－1－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))2)＝eq\f(2\r(55),5).題型eq\a\vs4\al(一)直線與圓的位置關(guān)系1．直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交或相切或相離 B．相交或相切C．相交 D．相切答案C解析解法一：直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，恒過定點(diǎn)(1,2)，因?yàn)?2＋22－2×1－8<0，所以點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．解法二：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3.圓心到直線kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))<2，所以直線與圓相交．解法三：由kx－y＋2－k＝0得y＝kx＋2－k，代入x2＋y2－2x－8＝0，得x2＋(kx＋2－k)2－2x－8＝0，整理得(1＋k2)x2－(2k2－4k＋2)x＋k2－4k－4＝0，Δ＝[－(2k2－4k＋2)]2－4(1＋k2)(k2－4k－4)＝4(k2－2k＋1)2－4(1＋k2)(k2－4k－4)＝4(9k2＋5)>0.所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．2．若直線l：x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]C．[－eq\r(2)－1，eq\r(2)－1] D．[－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1]答案D解析解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,x2＋y2－4x－2y＋1＝0，))消去y整理得2x2＋(2m－6)x＋m2－2m＋1＝0.由Δ＝(2m－6)2－4×2×(m2－2m＋1)＝－4(m2＋2m－7)≥0，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1.解法二：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.圓心坐標(biāo)為(2,1)，半徑r＝2.由題意得圓心到直線x－y＋m＝0的距離d＝eq\f(|2－1＋m|,\r(12＋－12))≤2，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1.3．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點(diǎn)有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)答案B解析圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點(diǎn)有2個(gè)．故選B.推斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ推斷．見舉例說明．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可推斷直線與圓相交．如舉例說明1解法一．上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題．1．已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，滿意直線ax＋by＋2c＝0與圓x2＋y2＝4相離，則△ABC是()A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上狀況都有可能答案C解析∵直線ax＋by＋2c＝0與圓x2＋y2＝4相離，∴圓心到直線的距離eq\f(2c,\r(a2＋b2))>2，即c2>a2＋b2.故△ABC是鈍角三角形．故選C.2．直線y＝－eq\f(\r(3),3)x＋m與圓x2＋y2＝1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．(eq\r(3)，2) B．(eq\r(3)，3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))答案D解析當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(0,1)時(shí)，直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)m＝1；當(dāng)直線與圓相切時(shí)有圓心到直線的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2))＝1，解得m＝eq\f(2\r(3),3)(切點(diǎn)在第一象限)，所以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則1<m<eq\f(2\r(3),3).故選D.題型eq\a\vs4\al(二)圓與圓的位置關(guān)系1．(2024·合肥模擬)已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為()A.eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,4) D．2eq\r(3)答案C解析由圓C1與圓C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，依據(jù)基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．故選C.2．已知圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)．解(1)證明：圓C1的圓心C1(1,3)，半徑r1＝eq\r(11)，圓C2的圓心C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圓C1和C2相交．(2)圓C1和圓C2的方程相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長(zhǎng)為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).條件探究1將舉例說明1中條件“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值．解由圓C1與圓C2相內(nèi)切，可得(a＋b)2＝1，依據(jù)基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，所以ab的最大值為eq\f(1,4).條件探究2將舉例說明1中條件“相外切”變?yōu)椤叭魞蓤A有四條公切線”，試推斷直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置關(guān)系．解由兩圓存在四條公切線，故兩圓外離，eq\r(a＋b2＋－2＋22)>3，所以(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.又圓心(a，b)到直線x＋y－1＝0的距離d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))>1，所以直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1相離．推斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)．(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．1．圓心為(2,0)的圓C與圓x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，則C的方程為()A．x2＋y2＋4x＋2＝0 B．x2＋y2－4x＋2＝0C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2－4x＝0答案D解析圓x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圓心為M(－2,3)，半徑r＝3，|CM|＝eq\r(2＋22＋－32)＝5，∴圓C的半徑為5－3＝2，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.2．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝________.答案1解析兩圓的方程作差易知公共弦所在的直線方程為y＝eq\f(1,a)，如圖，由已知得|AC|＝eq\r(3)，|OA|＝2，∴|OC|＝eq\f(1,a)＝1，∴a＝1.題型eq\a\vs4\al(三)直線與圓的綜合問題角度1直線與圓的相切問題1．已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿意下列條件的圓的切線方程：(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)過切點(diǎn)A(4，－1)．解(1)設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0(b≠－4)，則eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，∴b＝1±2eq\r(5)，∴切線方程為x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，則eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，∴m＝±5eq\r(2)，∴切線方程為2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.角度2與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)問題2．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.答案4解析由題意可知直線l過定點(diǎn)(－3，eq\r(3))，該定點(diǎn)在圓x2＋y2＝12上，不妨設(shè)點(diǎn)A(－3，eq\r(3))，由于|AB|＝2eq\r(3)，r＝2eq\r(3)，所以圓心到直線AB的距離為d＝eq\r(2\r(3)2－\r(3)2)＝3，又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線l的斜率k＝－m＝eq\f(\r(3),3)，即直線l的傾斜角為30°.如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為H，所以|CH|＝2eq\r(3)，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.1．求過圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可干脆寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可干脆寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程．2．求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的兩種方法幾何法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程代數(shù)法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出3．求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法(1)幾何法：直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓C的半徑為r，則|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)．則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．1．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P，Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為原點(diǎn))，則k的值為()A．－eq\r(3)或eq\r(3) B．eq\r(3)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．eq\r(2)答案A解析由題意可得圓心O到直線y＝kx＋1的距離等于eq\f(1,2)，所