函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(第一課時)VIP

必修1第二章函數(shù)2.1.1函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計（第一課時）山東省實驗中學(xué)邵麗云【教材分析】函數(shù)的概念是必修一（B版）》的第二章1.2.1的內(nèi)容。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，它貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終。在初中已初步探討了函數(shù)概念、函數(shù)關(guān)系的表示法以及函數(shù)圖象的繪制。到了高一再次學(xué)習(xí)函數(shù)，是對函數(shù)概念的再認識，是利用集合與對應(yīng)的思想來理解函數(shù)的定義，從而加深對函數(shù)概念的理解。函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其他知識緊密聯(lián)系，與方程、不等式等知識都互相關(guān)聯(lián)、互相轉(zhuǎn)化。函數(shù)的學(xué)習(xí)也是今后繼續(xù)研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在中學(xué)不僅學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象等知識，尤為重要的是函數(shù)的思想要更廣泛地滲透到數(shù)學(xué)研究的全過程。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，起著承上啟下的作用。函數(shù)又是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的樞紐，特別在應(yīng)用意識日益加深的今天，函數(shù)的實質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關(guān)系。因此對函數(shù)概念的再認識，既有著不可替代的重要位置，又有著重要的現(xiàn)實意義。本節(jié)的內(nèi)容較多，分二課時。本課時的內(nèi)容為：函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素、簡單函數(shù)的定義域及值域的求法等。（第二課時內(nèi)容為：函數(shù)概念的復(fù)習(xí)、映射與函數(shù)較復(fù)雜函數(shù)的定義域及值域等）【學(xué)情分析】知識儲備：，已經(jīng)在初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，并且知道可以用函數(shù)描述變量之間的依賴關(guān)系。然而，函數(shù)概念本身的表述較為抽象，學(xué)生對于動態(tài)與靜態(tài)的認識尚為薄弱，對函數(shù)概念的本質(zhì)缺乏一定的認識，對進一步學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象與性質(zhì)造成了一定的難度。心理基礎(chǔ)：高一是以感性思維為主的年齡階段,學(xué)生學(xué)習(xí)興趣增高,具有較強的探究意識..在第一章學(xué)習(xí)了集合概念之后，急于了解集合知識的應(yīng)用，結(jié)合原有的知識背景活動經(jīng)驗和理解進一步學(xué)習(xí)函數(shù)的近代定義是可行的。符合學(xué)生的認知水平。【教學(xué)目標】1.了解函數(shù)傳統(tǒng)定義與近代定義的本質(zhì)；理解函數(shù)的概念及函數(shù)符號，明確決定函數(shù)的要素；能判斷給定兩個變量之間的關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系；能判斷兩函數(shù)是否同一函數(shù)；會求簡單函數(shù)的定義域；理解函數(shù)符號y=f(x)的含義；2.通過學(xué)習(xí)函數(shù)概念，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題，提出問題的探究能力，進一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和抽象概括能力；啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)模型表述和解決現(xiàn)實世界中蘊含的規(guī)律，逐漸形成善于提出問題的習(xí)慣，學(xué)會數(shù)學(xué)表達和交流，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.3.體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.【教學(xué)重點】正確理解函數(shù)的概念的本質(zhì)，理解函數(shù)的概念及函數(shù)符號，理解函數(shù)三要素的作用要素；會求簡單函數(shù)的定義域?！窘虒W(xué)難點】函數(shù)概念及符號y=f(x)的理解.【教學(xué)方法】建構(gòu)主義觀點的教學(xué)方式，即通過大量實例，遵循“特殊到一般”的認識規(guī)律，提出問題，確定方向，歸納總結(jié)；通過搭建新概念與學(xué)生原有認識結(jié)構(gòu)間的橋梁，使學(xué)生心理上得到認同，建立新的認識結(jié)構(gòu)。問題探究教學(xué)法，即教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知→觀察分析→歸納類比→抽象概括，使學(xué)生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力.【學(xué)法指導(dǎo)】初中是用運動變化的觀點對函數(shù)進行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。對于一些常函數(shù)，如果用運動變化的觀點去看它，就不好解釋，顯得牽強。但如果用集合與對應(yīng)的觀點來解釋，就十分自然。因此，用集合與對應(yīng)的思想來理解函數(shù)，對函數(shù)概念的再認識，就很有必要。本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要注意運動變化觀和集合對應(yīng)觀兩個觀念下函數(shù)定義的對比研究；注意借助熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)加深對函數(shù)這一抽象概念的理解；要重視符號f(x)的學(xué)習(xí)，借助具體函數(shù)來理解符號y=f(x)的含義，由具體到抽象，克服由抽象的數(shù)學(xué)符號帶來的理解困難，從而提高理解和運用數(shù)學(xué)符號的能力。如何有效地激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生積極參與到學(xué)習(xí)活動中，達到理解知識、掌握方法、提高能力的目的，使學(xué)生獲得有益有效的學(xué)習(xí)體驗和情感體驗，是在教學(xué)設(shè)計中應(yīng)思考的問題。函數(shù)的概念及其相關(guān)知識點較為抽象，難以理解，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下問題：1、根據(jù)“主體、活動性”教學(xué)原則，結(jié)合問題探究法，讓學(xué)生開展小組討論，運用觀察、分析、歸納、類比、概括等方法，探索發(fā)現(xiàn)知識，實現(xiàn)學(xué)生在教學(xué)中的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。面向全體，因材施教，分類要求。加強學(xué)法指導(dǎo)，既讓學(xué)生學(xué)會，還讓學(xué)生會學(xué)?！窘虒W(xué)過程設(shè)計】復(fù)習(xí)回顧，導(dǎo)入新知今天我們研究的內(nèi)容是函數(shù)的概念，函數(shù)并不像我們前面學(xué)習(xí)的集合一樣一無所知，而是比較熟悉。所以我先找同學(xué)說說對函數(shù)的認識。問題1：什么是函數(shù)？初中學(xué)過什么函數(shù)？試舉例說明（讓學(xué)生盡可能用自己的語言表述初中學(xué)過的函數(shù)定義，并舉出學(xué)過的函數(shù)的例子。）函數(shù)傳統(tǒng)定義（板書）變量觀點：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量）；指出用函數(shù)可以描述變量之間的依賴關(guān)系；強調(diào)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型?！驹O(shè)計意圖】復(fù)習(xí)學(xué)生初中已學(xué)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)、函數(shù)的變量觀點下的定義，為后面學(xué)習(xí)集合對應(yīng)觀點下的函數(shù)定義鋪路，又能讓學(xué)生了解函數(shù)發(fā)展的過程。以學(xué)生熟悉的情境入手激活學(xué)生的原有知識，形成學(xué)生的“再創(chuàng)造”欲望，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識和原知識形成聯(lián)系，符合學(xué)生的認知規(guī)律。同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。思考：是函數(shù)嗎？（學(xué)生討論，發(fā)表各自意見，有的同學(xué)認為不是，因為沒有兩個變量，有的同學(xué)認為是，理由是，它可以表示為y=0x+1.）教師由此指出爭論的焦點，其實是函數(shù)定義不完善的地方，這也正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性，新的定義在與原來的定義不相違背的基礎(chǔ)上從更高的觀點，將它完善與深化。【設(shè)計意圖】用已有概念不太容易回答的問題，引發(fā)學(xué)生的認知沖突，激活學(xué)生的探究新知的熱情，有著承上啟下的作用。既是對初中已學(xué)的函數(shù)概念的進一步深入，又是為下一步用集合語言來刻畫函數(shù)的本質(zhì)做好伏筆。二、觀察分析探索新知活動：自學(xué)閱讀：書29-30思考：各實例中的自變量、因變量及其范圍是什么？兩個變量的關(guān)系如何確定的？實例分析（1）學(xué)生好奇心與年齡的關(guān)系思考1：你能得出11歲、12歲、13歲，15歲時好奇心指標嗎？其中，年齡x的變化范圍是什么？好奇心指標y的變化范圍是什么？x的變化范圍是數(shù)集，好奇心指標y的變化范圍是數(shù)集.從問題的實際意義可知，對于數(shù)集A中的任意一個時間x，按照對應(yīng)關(guān)系（﹡），在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng).發(fā)現(xiàn)數(shù)集B中的某些值卻有多個x和它對應(yīng)，并不唯一確定。(2)玉米生長的各個時段與植株高度之間的關(guān)系思考2：觀察分析圖中曲線，時間x的變化范圍是多少？植株高度y的變化范圍是多少？嘗試用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系.根據(jù)圖中曲線可知，時間x的變化范圍是數(shù)集，y的變化范圍是數(shù)集.思考3：y=100時，對應(yīng)的x是多少？對于數(shù)集A中的任意一個時間x，按照圖中曲線，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng).(3)我國從1998年到20XX年，每年的國民生產(chǎn)總值表1中國民生產(chǎn)總值隨時間（年）變化的情況表明，20XX年以來，我國的國民身產(chǎn)總值發(fā)生了顯著變化.思考4：我國的國民身產(chǎn)總值與時間之間的關(guān)系是否和前兩個實例中的兩個變量之間的關(guān)系相似？如何用集合與對應(yīng)的語言來描述這個關(guān)系？請仿照（1）（2）描述表中我國的國民身產(chǎn)總值和時間（年）的關(guān)系.根據(jù)上表，可知時間t的變化范圍是數(shù)集，y的變化范圍是數(shù)集.并且，對于數(shù)集A中的任意一個時間t，根據(jù)表1，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng).（4）在電路中，電流I與電阻R之間的變化規(guī)律電壓不變，只要測出電路中的電阻值，就可以計算出唯一的電阻值。2．問題探討問題3：以上4個實例有什么不同點和共同點？活動：讓學(xué)生分小組討論交流，請小組代表匯報討論結(jié)果.歸納以上4個實例，可看出其不同點是：實例（4）是用解析式刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系，實例（2），（3）是用圖像刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系，實例（3）是用表格刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系.其共同點是：①都有兩個非空數(shù)集A，B；②兩個數(shù)集之間都有一種確定的對應(yīng)關(guān)系；③對于數(shù)集A中的每一個x，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y值和它對應(yīng).記作【設(shè)計意圖】為了更好地使學(xué)生嘗試用集合與對應(yīng)的語言進行描述，通過學(xué)生對實例的觀察、思考、討論歸納結(jié)論，體現(xiàn)了學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)方式。讓他們通過實踐來進一步體驗到在集合對應(yīng)觀下的函數(shù)內(nèi)涵，也為學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念提供了一種新的途徑和方法。3.歸納概括引導(dǎo)學(xué)生思考：在4個實例中，大家用集合與對應(yīng)的語言分別描述了兩個變量之間的依賴關(guān)系，其中一個變量都是另一個變量的函數(shù)，問題4：你能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)的概念嗎？活動：讓學(xué)生分組討論交流，討論歸納出：1.函數(shù)的概念:（板書）集合對應(yīng)一般地，設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.【設(shè)計意圖】通過觀察分析幾個例子的異同，讓學(xué)生從函數(shù)概念的變量的依賴關(guān)系過度到兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，完成對函數(shù)概念內(nèi)涵的第二次抽象認識.問提5：新的函數(shù)定義與傳統(tǒng)的函數(shù)定義有什么異同？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實質(zhì)上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應(yīng)法則實際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，近代定義的對應(yīng)法則是從集合與對應(yīng)的觀點出發(fā)。2.函數(shù)的本質(zhì)：兩個非空數(shù)集間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系.(板書)3.函數(shù)的構(gòu)成要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.強調(diào)：值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；【設(shè)計意圖】通過對兩個定義的比較，進一步加強對函數(shù)本質(zhì)的理解。問題6：能解釋與的含義嗎？4.對函數(shù)的記號的理解(板書)f(x)是函數(shù)符號，f表示對應(yīng)關(guān)系，f(x)表示x對應(yīng)的函數(shù)值，絕對不能理解為f與x的乘積.在不同的函數(shù)中f的具體含義不同，由以上三個實例可看出對應(yīng)關(guān)系可以是解析式、圖象、表格等.函數(shù)除了可用符號f(x)表示外，還可用g(x),F(x)等表示．與有何區(qū)別與聯(lián)系點撥：表示當自變量時函數(shù)的值，是一個常量，而是自變量的函數(shù)，它是一個變量，是的一個特殊值?！驹O(shè)計意圖】加深對抽象符號的理解概念應(yīng)用加深理解問題7：能從集合的角度解釋y=1是函數(shù)嗎？學(xué)生可以清楚地看到集合對應(yīng)的觀點解釋是個函數(shù)？學(xué)生可以清楚地看到其中定義域為，值域從剛才分析可以看出，集合觀點下的函數(shù)定義更具有一般性，更能揭示函數(shù)的本質(zhì)，這也是我們后面要對函數(shù)進行理論研究的一種需要，所以我們著重從集合的角度再來認識函數(shù)。【設(shè)計意圖】加強對于函數(shù)近代定義中對應(yīng)關(guān)系的理解思考辨析：下列關(guān)系式表示函數(shù)嗎？為什么？(1)(2)（3）歸納：如何判斷給定的兩個變量間是否具有函數(shù)關(guān)系？可依據(jù)定義，依據(jù)定義中的哪幾個要點？要注意函數(shù)概念中的哪些關(guān)鍵詞？由學(xué)生總結(jié)得到：(1)理解函數(shù)的定義應(yīng)注意：①符號“f:A→B”表示從A到B的一個函數(shù)；②函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B上的一種對應(yīng)；③集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性.(2)判斷函數(shù)的標準可以簡化成：兩個非空數(shù)集A，B，一個對應(yīng)關(guān)系.思考：在4個實例中，按照一定的對應(yīng)關(guān)系，哪個能看作從B到A的函數(shù)嗎？你能舉出函數(shù)的實例嗎？【設(shè)計意圖】使學(xué)生理解函數(shù)三要素的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意。判斷一個函數(shù)關(guān)系是否存在(板書)三、新知演練及時反饋下列各函數(shù)中，那一個與函數(shù)是同一個函數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）歸納：判斷兩個函數(shù)是否相同的方法？要求學(xué)生明確判斷兩個函數(shù)是否相同應(yīng)看定義域，對應(yīng)法則完全一致。這是三要素的又一應(yīng)用（2）判斷兩個函數(shù)是否相同(板書)例2.已知函數(shù)求函數(shù)的定義域；歸納：求函數(shù)定義域的方法？整式的定義域是實數(shù)集；分式：分母不為0；根式：偶次根的被開方數(shù)要大于等于0.例3.已知函數(shù)求:(1)(2)的值域例4．(1)已知函數(shù),求；（2）已知,求.四、提煉總結(jié)分享收獲這堂課學(xué)到了什么？你覺得哪些知識有困難容易出差錯？1.本節(jié)課探討了用集合和對應(yīng)的語言描述函數(shù)的概念，并引進了函數(shù)符號y=f(x).2.突出了函數(shù)概念的本質(zhì)：兩個非空數(shù)集間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系.3．明確了構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.五、反饋達標布置作業(yè)雙基達標：課本后課堂練習(xí)P33練習(xí)A4，5，6，8練習(xí)B1,2,4,5補充練習(xí)1．，給出如下圖中4個圖形，其中能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系有.2.判斷下列各組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)A.f(x)=|x|，g(x)=B.f(x)=，g(x)=C.f(x)=x2-x-1，g(t)=t2-t-1D.f(x)=x-1,g(x)=-1E.f(x)=，g(x)=3.求下列函數(shù)的定義域（1）（2）4.若，則+=六、課外探究拓展知識1．尋找?guī)讉€生活中函數(shù)的例子，嘗試說明其應(yīng)用。2.查閱函數(shù)的發(fā)展史，寫成一篇小論文與大家分享。案例設(shè)計說明函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.它不僅對前面學(xué)習(xí)的集合作了鞏固和發(fā)展，而且它是學(xué)好后繼知識的基礎(chǔ)和工具．函數(shù)與代數(shù)式﹑方程﹑不等式﹑數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的聯(lián)系也非常密切，函數(shù)的基礎(chǔ)知識在現(xiàn)實生活、社會、經(jīng)濟及其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用；函數(shù)概念及其反映出的數(shù)學(xué)思想方法已廣泛滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).因此，函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的基本概念之一，本節(jié)課用集合與對應(yīng)的語言進一步描述函數(shù)的概念，讓學(xué)生感受建立函數(shù)模型的過程和方法，初步運用函數(shù)思想理解和處理生活、社會中的簡單問題.《函數(shù)的概念》的教學(xué)需要兩課時，本節(jié)課是第一課時，是一節(jié)函數(shù)的概念課.學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，概念從運動的觀點刻畫了兩變量之間的相互依賴關(guān)系，在已有認識的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)的概念，并體會函數(shù)是描述客觀世界中變量間依賴關(guān)系的重要模型，是本節(jié)課的教學(xué)重點.本節(jié)課的教學(xué)難點是：函數(shù)概念及符號y=f(x)的理解.函數(shù)的概念比較抽象，但函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學(xué)生周圍，因此本節(jié)課教學(xué)設(shè)計的整體指導(dǎo)思想是：讓學(xué)生通過觀察分析，去發(fā)現(xiàn)，并歸納概括出函數(shù)的概念，從而更好的理解函數(shù)的概念，熟練的去應(yīng)用概念解決問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題，提出問題的探究能力；培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和抽象概括能力；啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)模型表述和解決現(xiàn)實世界中蘊含的規(guī)律，學(xué)會數(shù)學(xué)表達和交流，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；同時使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.本節(jié)課對重難點的處理方法是：（1）為了讓學(xué)生抽象概括出函數(shù)的概念，首先以4個實際問題引入，讓學(xué)生認識到生活中充滿著變量間的依賴關(guān)系，先建立起函數(shù)的背景，為學(xué)生理解函數(shù)概念打下感性基礎(chǔ).在4個不同的實例中，通過對關(guān)鍵詞的強調(diào)和引導(dǎo)，給學(xué)生思考、探索的空間，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、概括出它們的共同特征.進而引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中抽象概括出函數(shù)的概念，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力.教學(xué)中讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，提高分析問題，解決問題的能力.高一的學(xué)生是以感性思維為主的年齡階段，在第一個例子中，通過對于每一個時間t，都有唯一確定的h與它對應(yīng).這樣設(shè)計符合他們的認知規(guī)律，化抽象為直觀，學(xué)生更容易理解.第二、三個例子，讓學(xué)生仿照前例，嘗試用集合與對應(yīng)的語言去描述兩個變量之間的依賴關(guān)系，學(xué)會數(shù)學(xué)表達和交流