2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年初中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共三大題25小題，共6頁，滿分120分．考試用時120分鐘．注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考生號和座位號填寫在答題卡上，再用2B鉛筆將考生號、座位號對應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．第一部分選擇題（共30分）一、選擇題。（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.下列各數(shù)為無理數(shù)的是（）。A.3 B.3.14 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查無理數(shù)的概念，無限不循環(huán)小數(shù)就是無理數(shù)，這是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)的概念逐一分析判定．【詳解】A．3是整數(shù)，屬于有理，不符合題意；B．3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；C．是無理數(shù)，符合題意；D．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；故選：C．2.如圖表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)是（）。A.點(diǎn)與點(diǎn) B.點(diǎn)與點(diǎn) C.點(diǎn)與點(diǎn) D.點(diǎn)與點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)定義求解即可．【詳解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互為相反數(shù)，則點(diǎn)A與點(diǎn)D表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．3.位參加歌唱比賽的同學(xué)的成績各不相同，按成績?nèi)∏拔贿M(jìn)入決賽．如果小尹知道了自己的成績后，要判斷自己能否進(jìn)入決賽，他還要知道這位同學(xué)成績的（）。A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.方差 D.中位數(shù)【答案】D【解析】【分析】參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前6名，只需要了解自己的成績與全部成績的中位數(shù)的大小即可．【詳解】由于總共有12個人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，要判斷是否進(jìn)入前6名，只要把自己的成績與中位數(shù)進(jìn)行大小比較.故應(yīng)知道中位數(shù)的多少.故選D.【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計量的選擇，解題關(guān)鍵在于掌握中位數(shù)的意義.4.下列運(yùn)算正確的是（）。A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，根據(jù)二次根式的加減，乘法計算，然后逐項判斷即可．【詳解】解：A．與不是同類二次根式，不可以合并，故運(yùn)算錯誤；B．，故原運(yùn)算錯誤；C．5與不是同類二次根式，不可以合并，故運(yùn)算錯誤；D．，故原運(yùn)算正確，故選：D．5.分式方程的解是（）。A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，注意驗根．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：，去分母，得，移項、合并同類項，得，檢驗：把代入，∴分式方程的解為，故選：B．6.在中，對角線、交于點(diǎn)O，若，，，的周長為（）。A.13 B.16 C.18 D.21【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)對角線互相平分，進(jìn)而得出，的長，即可得出的周長．【詳解】解：∵的兩條對角線交于點(diǎn)O，，，，∴，，，∴的周長為：．故選：A．7.如圖，中，，，，是上的一點(diǎn)，，垂足為，若，則的長為（）。A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)即判定，利用相似三角形的性質(zhì)建立比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理求出的長，利用相似三角形的判定方法判定出，再通過相似的性質(zhì)建立邊的比值關(guān)系求出的長，再利用勾股定理運(yùn)算求解即可．【詳解】解：∵中，，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∵，∴，故選：A．8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將菱形向右平移個單位，使點(diǎn)剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（）。A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．過作軸于點(diǎn)，利用勾股定理求出菱形的邊長，再求出的坐標(biāo)后，代入反比例函數(shù)解析式求出的值，利用平移的性質(zhì)得到點(diǎn)的坐標(biāo)后，代入反比例函數(shù)解析式中運(yùn)算求解即可．【詳解】解：過作軸于點(diǎn)，如圖所示：∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，∴把代入可得：，∴，又∵點(diǎn)向右平移個單位后的坐標(biāo)為：，∴把，代入可得：，解得：，故選：C．9.如圖，在塔前的平地上選擇一點(diǎn)，由點(diǎn)看塔頂?shù)难鼋鞘?，在點(diǎn)和塔之間選擇一點(diǎn)，由點(diǎn)看塔頂?shù)难鼋鞘牵魷y量者的眼睛距離地面的高度為，，，，則塔的高度大約為（）。m．（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，熟悉利用三角函數(shù)邊的比值關(guān)系建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)銳角三角函數(shù)邊的比值關(guān)系建立等式運(yùn)算求解即可．【詳解】解：由題意可建立如圖所示平面圖：∴，，∵，∴設(shè)，則，∴，即，解得：，∴，∴，即塔高為m，故選：A．10.已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，，），經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸是直線．則下列結(jié)論：①；②關(guān)于x的方程無實數(shù)根；③當(dāng)時，y隨x增大而減小；④.其中正確的結(jié)論有（）個。A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)解析式中的系數(shù)與圖象的有關(guān)系是解題的關(guān)鍵．利用對稱軸判定④，根據(jù)，結(jié)合拋物線的解析式判定①，根據(jù)，結(jié)合對稱軸判定③，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判定②．【詳解】∵對稱軸直線，∴，整理，得，④正確；即：，把點(diǎn)代入解析式，得，即，∴，∵，∴，解得：，，∴，①正確；∵，∴拋物線的開中向下，當(dāng)時，y隨x增大而減小，③錯誤；∵，∴直線與拋物線有兩個交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，②錯誤；綜合分析可得，正確的有：①④，故選：B.第二部分非選擇題（共90分）二、填空題。（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。）11.代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義時，應(yīng)滿足的條件是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟悉掌握二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的概念運(yùn)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．12.因式分解___________．【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，準(zhǔn)確計算．13.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，則BD＝_____cm．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)30°直角三角形的比例關(guān)系求出AD,再根據(jù)外角定理證明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD．【詳解】∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AC＝2CD＝6cm，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查30°直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識并靈活運(yùn)用．14.關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程的定義，以及根的判別式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得且，解得：且．∴的取值范圍為且．故答案為：且．15.如圖，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)），點(diǎn)恰好落在邊上，則的度數(shù)為________．【答案】105【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，再根據(jù)等腰三角形點(diǎn)性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，得到，然后根據(jù)平行四邊形和平行線的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，故答案為：105．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形點(diǎn)性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16.如圖，已知正方形的邊長為2，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上的一個動點(diǎn)，連接，將沿折疊得，若延長交邊于點(diǎn)M，則的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正方形與折疊問題，一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問題，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，則由勾股定理得到；由折疊的性質(zhì)可得，則點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動，據(jù)此可得當(dāng)點(diǎn)H在上時，有最小值，最小值為；當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)D時，有最大值，利用勾股定理求出最大值即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵正方形的邊長為2，E為的中點(diǎn)，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)H在上時，有最小值，最小值為；∵點(diǎn)F在上運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)D時，有最大值，∴，∴，故答案為：．三、解答題。（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.解方程：x2+6x+5=0．【答案】x1=-1，x2=-5【解析】【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【詳解】x2+6x+5=0(x+1)(x+5)=0∴x+1=0或x+5=0∴x1=-1．x2=-5【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程??因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．18.如圖，在四邊形中，平分和．求證：，．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，由角平分線的定義得到，進(jìn)而利用證明，據(jù)此可證明，．詳解】證明：∵平分和，∴，又∵，∴，∴，．19.已知．（1）化簡；（2）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，反比例函圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征，因式分解等知識點(diǎn)，熟練運(yùn)用運(yùn)算法則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解對分式進(jìn)行通分，再運(yùn)算化簡即可；（2）把點(diǎn)代入得到關(guān)于的式子后，代入運(yùn)算即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：∵在反比例函數(shù)上，∴把，代入可得：，整理得：，∴．20.“2023廣州黃埔馬拉松”比賽當(dāng)天，某校玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)小組針對其中一個項目“半程馬拉松”（21.0975公里）進(jìn)行調(diào)查．（1）為估算本次參加“半程馬拉松”的人數(shù)，調(diào)查如下：調(diào)查總?cè)藬?shù)2050100200500參加“半程馬拉松”人數(shù)7173158150參加“半程馬拉松”頻率0.350.340.310.290.30已知共有20000人參與“2023廣州黃埔馬拉松”比賽，請估算本次賽事中，參加“半程馬拉松”項目的人數(shù)約為______人；（2）本賽事某崗位還需要2名志愿者參與服務(wù)工作，共有4人參加了志愿者遴選，其中初中生2名，高中生1名，大學(xué)生1名，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好錄取2名初中生志愿者的概率．【答案】（1）6000（2）【解析】【分析】本題主要考查的是頻率，用列表法或樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是正確的畫出表格或數(shù)狀圖．（1）利用表格中的數(shù)據(jù)確定出參加“2023廣州黃埔馬拉松”比賽的頻率，根據(jù)頻率求頻數(shù)；（2）列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【小問1詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得：本次賽事參加“半程馬拉松”人數(shù)的頻率為，∴參加“半程馬拉松”項目的人數(shù)約為：（人），故答案為：6000；【小問2詳解】列表得：

初中生1初中生2高中生大學(xué)生初中生1

初中生2，初中生1高中生，初中生1大學(xué)生，初中生1初中生2初中生1，初中生2

高中生，初中生2大學(xué)生，初中生2高中生初中生1，高中生初中生2，高中生

大學(xué)生，高中生大學(xué)生初中生1，大學(xué)生初中生2，大學(xué)生高中生，大學(xué)生

由表格可得，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中恰好錄取2名初中生志愿者的情況有種，恰好錄取2名初中生志愿者的概率．21.某文具店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)，若購進(jìn)甲種圓規(guī)10個，乙種圓規(guī)30個，需要340元；若購進(jìn)甲種圓規(guī)30個，乙種圓規(guī)50個，需要700元．（1）求購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)的單價各是多少元；（2）文具店購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)共100個，每個甲種圓規(guī)的售價為15元，每個乙種圓規(guī)的售價為12元，銷售這兩種圓規(guī)的總利潤不低于480元，那么這個文具店至少購進(jìn)甲種圓規(guī)多少個？【答案】（1）購進(jìn)甲圓規(guī)每個需要10元，乙圓規(guī)每個需要8元（2）這個文具店至少購進(jìn)甲種圓規(guī)80個【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）設(shè)購進(jìn)甲圓規(guī)每個需要x元，乙圓規(guī)每個需要y元，根據(jù)“若購進(jìn)甲種圓規(guī)10個，乙種圓規(guī)30個，需要340元；若購進(jìn)甲種圓規(guī)30個，乙種圓規(guī)50個，需要700元”，可列關(guān)于x、y的二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)甲圓規(guī)m個，則購進(jìn)乙圓規(guī)個，根據(jù)“銷售這兩種圓規(guī)的總利潤不低于480元”列出關(guān)于m的不等式，求解即可．小問1詳解】解：設(shè)購進(jìn)甲圓規(guī)每個需要x元，乙圓規(guī)每個需要y元，根據(jù)題意，得，解得，答：購進(jìn)甲圓規(guī)每個需要10元，乙圓規(guī)每個需要8元；【小問2詳解】解：設(shè)購進(jìn)甲圓規(guī)m個，則購進(jìn)乙圓規(guī)個，根據(jù)題意，得，解得，答：這個文具店至少購進(jìn)甲種圓規(guī)80個．22.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：作拋物線的對稱軸，交軸于點(diǎn)，并標(biāo)記拋物線的頂點(diǎn)，連接，且與對稱軸相交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，若，求的大小及的值．【答案】（1）詳情見解析；（2）；．【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，垂直平分線的作法，一次函數(shù)的圖象性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟悉掌握各函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為的中垂線，按要求作圖即可；（2）求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，由列式運(yùn)算出的值，根據(jù)的值求出各邊的長進(jìn)而求解即可．【小問1詳解】解：由題意可知拋物線的對稱軸為的中垂線，再按要求作圖如下：【小問2詳解】解：把代入可得：，∴，把代入可得：，解得：或，∵，∴，，∴，∵，即，解得：或（舍去），∴，，，，∵的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，即，∴把代入可得：，∴，∴，∵，∴，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，則：，解得：，所以直線的表達(dá)式為：，把代入可得：，∴，∴，∵，∴．23.如圖，內(nèi)接于，，的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）若，，求和的長．【答案】（1）證明見詳解；（2）；．【解析】【分析】（1）延長交于，連接，證明，在線段的垂直平分線上，得出，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）延長交于，連接，則是的直徑，可得，由圓周角定理得出，可得，求出的長，由勾股定理求出，利用平行線判定出，由相似三角形的比值關(guān)系求出，即可得到；由三角形的中位線定理求出的長，再通過勾股定理求即可．【小問1詳解】延長交于，連接，如圖所示：∵，，∴，在線段的垂直平分線上，∴，又∵，∴平分；【小問2詳解】延長交于，連接，如圖所示：∴是的直徑，∴，，∵∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即：，解得：，∴，∵，，∴是的中點(diǎn)，∴，∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴中：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)及判定，三角函數(shù)等知識點(diǎn)，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L度最大時，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2）①；②存在，最小值是【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證，利用相似三角形的性質(zhì)準(zhǔn)備條件，再證即可；（2）①先確定當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線時，的長度最大，并畫出圖形，在中求出的長，最利用的性質(zhì)求解即可；②將繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，過P作于S，過點(diǎn)L作垂直的延長線于點(diǎn)Q，確定，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時，的長最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴【小問2詳解】∵，∴當(dāng)在矩形外，且三點(diǎn)共線時，的長度最大，如圖所示：此時，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如圖，將繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∴,過P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時，的長最小，由題意，，，，，過點(diǎn)L作垂直的延長線于點(diǎn)Q，，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識，涉及知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的知識與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線是解答的關(guān)鍵.25.已