中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)練-二次函數(shù)綜合題 課件

專(zhuān)練二次函數(shù)綜合題二次函數(shù)壓軸題?？碱}型與方法總結(jié)類(lèi)型常考問(wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法母題如圖Z2-1，拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（-1，-4），與y軸相交于點(diǎn)C（0，-3），與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），求拋物線的解析式.

圖Z2-1由待定系數(shù)法將點(diǎn)D，C的坐標(biāo)代入，求得b，c的值進(jìn)而得出解析式

圖Z2-1以下對(duì)于上述母題設(shè)計(jì)若干常考問(wèn)題，并進(jìn)行分析類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與特殊三角形（直角三角形）（1）如圖Z2-2，連接AC，CD，AD.試判斷△ACD的形狀，并說(shuō)明理由.

圖Z2-2先應(yīng)用勾股定理或平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求出三角形各邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形的形狀

圖Z2-2類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與特殊三角形（等腰三角形與動(dòng)點(diǎn)）（2）如圖Z2-3，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCB是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖Z2-3設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，t）后，分三種情況，若∠BPC為頂角，則PB=PC；若∠PBC為頂角，則BP=BC；若∠PCB為頂角，則CP=CB，分別用兩點(diǎn)間的距離公式求出或表示各線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)上述等式列方程求解即可

圖Z2-3

圖Z2-3類(lèi)型常考問(wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與角度（3）如圖Z2-4，若點(diǎn)P在拋物線上，且∠PCA=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖Z2-4利用直線AC的解析式與△AOC的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，列出有關(guān)的方程，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)解：∵A（-3，0），C（0，-3），∴在Rt△AOC中，OA=OC=3.∴∠OAC=45°.∵∠OAC=∠PCA=45°，點(diǎn)P在拋物線上，∴CP∥x軸.令y=-3，得x2+2x-3=-3.解得x1=0，x2=-2.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-3）.圖Z2-4類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與相似

（4）如圖Z2-5，△ACD與△COB是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖Z2-5用兩點(diǎn)間的距離公式分別求出兩個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)度，再用相似的判定方法進(jìn)行判定.注意相似中沒(méi)有指明對(duì)應(yīng)邊時(shí)，要進(jìn)行分類(lèi)討論

圖Z2-5類(lèi)型常考問(wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與相似（動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線）（5）如圖Z2-6，若Q是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），QE∥AC交BC于點(diǎn)E，當(dāng)△QCE的面積最大時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

圖Z2-6△QCE是三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形，把該三角形分割成大三角形減去小三角形的差.根據(jù)平行線的性質(zhì)得出兩個(gè)三角形相似，從而有面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方，最后該動(dòng)三角形的面積可表示為與動(dòng)點(diǎn)Q（t，0）的坐標(biāo)有關(guān)的開(kāi)口向下的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解

圖Z2-6

圖Z2-6類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與特殊四邊形（6）如圖Z2-7，若E為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C，A，E，F(xiàn)構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖Z2-7以其中一個(gè)已知點(diǎn)（如：點(diǎn)A）作為起點(diǎn)，列出所有對(duì)角線的情況（如：AC，AF，AE），分別設(shè)出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，點(diǎn)F）的坐標(biāo)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出每一種情況下，兩條對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo).因?yàn)閮蓷l對(duì)角線的中點(diǎn)重合，所以?xún)蓚€(gè)中點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，列出方程組，求解即可

圖Z2-7

圖Z2-7

圖Z2-7類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與線段的和差（最值問(wèn)題）（7）如圖Z2-8，試在x軸上找一點(diǎn)P，使PC+PD的值最小，并求出其最小值以及點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖Z2-8在兩定點(diǎn)中任選一個(gè)點(diǎn)（為了方便計(jì)算，常常選擇軸上的點(diǎn)），求出該點(diǎn)關(guān)于題中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的那條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再把此對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)相連，連線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)

答圖Z2-1

答圖Z2-1類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與周長(zhǎng)（最值問(wèn)題）

（8）如圖Z2-9，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAD的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖Z2-9注意到AD是定線段，其長(zhǎng)度是個(gè)定值，因此只需求PA+PD的最小值，再加上定值A(chǔ)D即可

答圖Z2-2

答圖Z2-2類(lèi)型常考問(wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與面積（最值問(wèn)題）（9）如圖Z2-10，P為直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APC的面積最大時(shí)，求出其最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo).圖Z2-10

答圖Z2-3

答圖Z2-3類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與面積（最值問(wèn)題）（10）如圖Z2-11，P為直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形AOCP的面積最大時(shí)，求出其最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo).圖Z2-11四邊形AOCP是不規(guī)則圖形，通常用割補(bǔ)法求解，則S四邊形AOCP=S△AOC+S△ACP或S四邊形AOCP=S△COP+S△AOP

圖Z2-11類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與距離（最值問(wèn)題）（11）如圖Z2-12，P為直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到直線AC的距離最大時(shí)，求出最大距離及點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖Z2-12已知AC是定線段，當(dāng)△ACP的面積最大時(shí)，也就是點(diǎn)P到直線AC的距離最大

圖Z2-12類(lèi)型?？紗?wèn)題設(shè)計(jì)解題通用技法二次函數(shù)與面積（12）如圖Z2-13，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△PBC=2S△ACD？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖Z2-13

圖Z2-13

答圖Z2-4

圖Z2-14

答圖Z2-5（2）若△OAB的內(nèi)切圓半徑為1，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

答圖Z2-6（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POB是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答圖Z2-7

題型二：二次函數(shù)與特殊四邊形、面積例2.如果一條拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以這兩個(gè)交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形稱(chēng)為這條拋物線的“拋物四邊形”.如圖Z2-15①，拋物線y=ax2+bx+c（a<0）與x軸交于A，C兩點(diǎn)，B為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，則四邊形ABCD為“拋物四邊形”，已知A（-1，0），C（3，0）.（1）若圖Z2-15①中的“拋物四邊形”ABCD為菱形，且∠ABC=60°，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為

；

圖Z2-15（2）如圖Z2-15②，若“拋物四邊形”ABCD為正方形，邊AB與y軸交于點(diǎn)E，連接CE.①求這條拋物線的函數(shù)解析式；

圖Z2-15②P為第一象限拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△PEC的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；圖Z2-15

答圖Z2-8③如圖Z2-15③，連接OB，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由.圖Z2-15

圖Z2-16

圖Z2-16（1）求拋物線的解析式；（2）求證：OE⊥AB；

答圖Z2-9

答圖Z2-9（3）P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線PO交AD于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以A，O，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖Z2-16

答圖Z2-10

答圖Z2-111.

（2024·海南）如圖Z2-17①，拋物線y=-x2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4），P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；圖Z2-17解：（1）由題意，得y=-（x+4）（x-1）=-（x2+3x-4）=-x2-3x+4.（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，6）時(shí)，求四邊形AOCP的面積；

答圖Z2-12（3）當(dāng)∠PBA=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)∠PBA=45°時(shí)，則直線BP的表達(dá)式為y=±（x-1）.聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式，得-x2-3x+4=x-1或-x+1=-x2-3x+4.解得x=-5或-3或1（舍去）.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，-6）或（-3，4）.圖Z2-17（4）過(guò)點(diǎn)A，O，C的圓交拋物線于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖Z2-17②.連接AE，AF，EF，判斷△AEF的形狀，并說(shuō)明理由.（4）△AEF為等邊三角形.理由如下：如答圖Z2-12②，連接AC，由于∠AOC=90°，則AC為圓的直徑.連接EC，EA，則∠AEC=90°.過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)N，交過(guò)點(diǎn)A和y軸的平行線于點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)E（m，-m2-3m+4），則EN=-m，ME=m+4，AM=-m2-3m+4，CN=-m2-3m+4-4=-m2-3m.答圖Z2-12

答圖Z2-12

圖Z2-18

圖Z2-18（2）P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，與直線AB交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.①m為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；

答圖Z2-13②是否存在點(diǎn)P，使得△BPD與△AOC相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.②存在.∵∠PDB=∠ADE，∠ADE=∠ACO，∴∠BDP=∠ACO.∵△AOC是直角三角形，∴要使△BPD與△AOC相似，只有保證△BPD是直角三角形就可以.答圖Z2-13（Ⅰ）當(dāng)△BPD∽△AOC時(shí)，如答圖Z2-14.∴∠BPD=∠AOC=90°.此時(shí)BP∥x軸，B，P關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴P（3，3）；答圖Z2-14

答圖Z2-15

3.

（2024·濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2），B（2，2），頂點(diǎn)為D；拋物線C2：y=x2-2mx+m2-m+2（m≠1），頂點(diǎn)為Q.（1）求拋物線C1的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

圖