08　第二章　第2課時　函數(shù)的單調(diào)性與最值

第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第2課時函數(shù)的單調(diào)性與最值[考試要求]

1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實際意義．鏈接教材·夯基固本1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當(dāng)x1<x2時，都有___________，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增．特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有____________，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減．特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上____________或____________，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，_______叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．提醒：若函數(shù)有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“逗號”或“和”聯(lián)結(jié)．單調(diào)遞增單調(diào)遞減區(qū)間I2．函數(shù)的最值前提一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件①?x∈D，都有___________；②?x0∈D，使____________①?x∈D，都有___________；②?x0∈D，使得___________結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M[常用結(jié)論]1．函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論設(shè)?x1，x2∈D(x1≠x2)，則2．若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：(1)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)；(2)若k＞0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同，若k＜0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；(4)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)，簡記為“同增異減”．3．最值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值，最值產(chǎn)生于區(qū)間端點或極值點處．(2)若函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(

)(3)如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是單調(diào)遞增的，那么這個函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．(

)(4)若函數(shù)在閉區(qū)間上具有單調(diào)性，則其最值一定在區(qū)間端點取到．(

)×××√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P85習(xí)題3.2T1改編)如圖是函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,3]的圖象，則下列說法正確的是(

)A．f(x)在[－4，－1]上單調(diào)遞減，在[－1,3]上單調(diào)遞增B．f(x)在區(qū)間(－1,3)上的最大值為3，最小值為－2C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3D．當(dāng)直線y＝t與f(x)的圖象有三個交點時，－1<t<2√2．(人教A版必修第一冊P78例1改編)若函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是________.3．(人教A版必修第一冊P100復(fù)習(xí)參考題3T4改編)若函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是________.(－∞，2]

[由題意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，所以m≤2.]典例精研·核心考點考點一確定函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)

圖象法、性質(zhì)法確定函數(shù)的單調(diào)性√(2)函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為________.畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[0,1]．][拓展變式]本例(2)的函數(shù)換成“y＝|－x2＋2x＋1|”，其單調(diào)遞增區(qū)間是________.

定義法、導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當(dāng)a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．當(dāng)a>0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．

確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法：取值、作差、變形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定號、下結(jié)論．(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)、外函數(shù)的單調(diào)性相同時為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象直觀地判斷函數(shù)單調(diào)性．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性．提醒：定義域先行，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．[跟進訓(xùn)練]1．(1)函數(shù)f(x)＝3－x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)(2)(2023·北京高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(

)√√(1)B

(2)C

[(1)f(x)＝3－x2－2x分解為y＝3u和u＝－x2－2x兩個函數(shù)，y＝3u在R上單調(diào)遞增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上單調(diào)遞增，在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f(x)＝3－x2－2x在(－∞，－1]上單調(diào)遞增．(2)對于A，y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝－lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，A選項錯誤；√考點二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

比較函數(shù)值的大小A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>a>c

解抽象不等式√√

求參數(shù)的取值范圍[典例5]

(1)已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)A．(－∞，0] B．[－1,0]C．[－1,1] D．[0，＋∞)√(1)D

(2)B

[(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函數(shù)y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a≥5.故選D.(2)因為f(x)在R上單調(diào)遞增，且x≥0時，f(x)＝ex＋ln(x＋1)單調(diào)遞增，

函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的解題策略(1)比較函數(shù)值的大小時，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為不等式組，應(yīng)注意等價轉(zhuǎn)化和函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可以直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(或不等式(組))，也可以先得到函數(shù)圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值，在銜接點處需建立一個不等式．√√(2)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)√(2)因為函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，考點三求函數(shù)的值域或最值[典例6]

(1)(2025·濱州模擬)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1,2,3}＝3，若函數(shù)f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，則f(x)的最小值為(

)A．2.5 B．3C．4 D．5√A．[－1,2] B．[－1,0]C．[1,2] D．[0,2]√(1)B

(2)D

[(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的圖象，因為f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，所以f(x)的圖象如圖實線所示，因為f(x)的最小值為f(0)，所以當(dāng)x≤0時，f(x