53　第七章　第1課時(shí)　基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

第七章立體幾何與空間向量第1課時(shí)基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積[考試要求]

1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖．鏈接教材·夯基固本1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形名稱棱柱棱錐棱臺(tái)底面互相______且______多邊形互相______且______側(cè)棱_______________相交于______但不一定相等延長(zhǎng)線交于______側(cè)面形狀______________________________平行全等平行相似平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形(2)特殊的棱柱①側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做_________.②側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做_________.③底面是正多邊形的直棱柱叫做_________.④底面是平行四邊形的四棱柱叫做_______________.(3)正棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．直棱柱斜棱柱正棱柱平行六面體(4)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，______于底面相交于______延長(zhǎng)線交于______

軸截面__________________________________側(cè)面展開圖__________________

垂直垂直垂直矩形等腰三角形等腰梯形圓面矩形扇形扇環(huán)2．立體圖形的直觀圖(1)畫法：常用_______________.(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面______.②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍__________________，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度______，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的______.斜二測(cè)畫法垂直分別平行于坐標(biāo)軸不變一半3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝________S圓錐側(cè)＝__________S圓臺(tái)側(cè)＝_________2πrlπrlπ(r1＋r2)l4．柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積Sh4πR2[常用結(jié)論]1．與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(

)(2)菱形的直觀圖仍是菱形．(

)(3)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方．(

)(4)底面是正多邊形的棱錐是正棱錐．(

)××××二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊(cè)P119練習(xí)T2改編)若一個(gè)球的表面積是16π，則這個(gè)球的體積為(

)√2．(人教A版必修第二冊(cè)P106習(xí)題8.1T8改編)如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是(

)A．棱臺(tái)

B．四棱柱

C．五棱柱

D．簡(jiǎn)單組合體C

[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．]√3．(人教A版必修第二冊(cè)P119練習(xí)T1改編)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(

)√B

[設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l.因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.]4．(人教A版必修第二冊(cè)P120習(xí)題8.3T3改編)如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1＝16.若側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為________.典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一基本立體圖形

結(jié)構(gòu)特征[典例1]下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是________.①②

[①正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個(gè)平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐；③錯(cuò)誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．]

直觀圖[典例2]

(多選)如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，則以下說(shuō)法正確的是(

)A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍C．△ABC是等腰直角三角形√√CD

[根據(jù)斜二測(cè)畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點(diǎn)，AC⊥OB，因?yàn)镺′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，則△ABC是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示，

展開圖[典例3](1)如果圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是(

)A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．頂角為30°的等腰三角形D．其他等腰三角形√(2)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為a，底面邊長(zhǎng)為b，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿每個(gè)側(cè)面爬到點(diǎn)A1，路線為A→M→N→A1，則這只螞蟻爬行的最短路程是(

)√故選A．]

(1)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧：緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)在斜二測(cè)畫法中，平行于x軸或在x軸上的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸或在y軸上的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．(3)在解決空間幾何體最短距離問題時(shí)，一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(多選)下列說(shuō)法中正確的是(

)A．長(zhǎng)方體是直四棱柱B．兩個(gè)面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．平行六面體不是棱柱√√(2)(2025·廣東模擬)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問題：“今有木長(zhǎng)二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長(zhǎng)幾何？”意思是“圓木長(zhǎng)2丈4尺，圓周長(zhǎng)為5尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長(zhǎng)多少尺？”(注：1丈等于10尺)則這個(gè)問題中，葛藤長(zhǎng)的最小值為(

)A．2丈4尺

B．2丈5尺C．2丈6尺

D．2丈8尺√(3)用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，則原平面圖形的面積為________.

考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積

表面積[典例4](1)(2020·全國(guó)Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為(

)A．64π B．48πC．36π D．32π√(2)為了給熱愛朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為2∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為(

)√

體積√√

求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積，特別是三棱錐的體積(即利用三棱錐的任意一個(gè)面都可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換)[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則(

)A．該圓錐的體積為π√√(2)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五章“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈．問積幾何？”數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長(zhǎng)AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF