蘇科版2025年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假銜接講義第17講重難點(diǎn)04“垂徑定理”模型(學(xué)生版+解析)

/重難點(diǎn)04“垂徑定理”模型1.識(shí)別幾何模型。2.利用“垂徑定理”模型解決問(wèn)題垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理中的五個(gè)元素:過(guò)圓心;2垂直弦3平分弦(不是直徑);4平分優(yōu);平分劣弧這五個(gè)元素，知二推三一．選擇題（共3小題）1．（2022秋?南京期中）如圖，C是的中點(diǎn)，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．102．（2022秋?南通期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E．若AB＝10，CD＝8，則AE的長(zhǎng)是（）A．2 B．1 C． D．3．（2022秋?盱眙縣期中）把半徑長(zhǎng)為2.5的球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知CD＝4，則EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．5二．填空題（共6小題）4．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，凱凱在讀完《九章算術(shù)》卷九勾股定理篇記載的“圓材埋壁”問(wèn)題后，突發(fā)靈感，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)題如圖，CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，ED＝4，AB＝16，則直徑CD的長(zhǎng)是．5．（2023春?大豐區(qū)月考）如圖，⊙O的弦AB＝8，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)P，若OC：CP＝3：2，則⊙O的半徑為．6．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．7．（2023?常州模擬）對(duì)于⊙P及一個(gè)矩形給出如下定義：如果⊙P上存在到此矩形四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)，那么稱(chēng)⊙P是該矩形的“等距圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，6），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且OC＝OD．若矩形ABCD的“等距圓”⊙P始終在矩形內(nèi)部（含邊界），則⊙P的半徑r的取值范圍是．8．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在以O(shè)為圓心半徑不同的兩個(gè)圓中，大圓和小圓的半徑分別為6和4，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D．若AC＝3，則CD的長(zhǎng)為．9．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)P，∠BAC+∠ACD＝∠CAD+∠ACB，⊙O的半徑為1，當(dāng)5≤AC2+BD2≤6時(shí)，則OP的取值范圍．三．解答題（共8小題）10．（2022秋?儀征市校級(jí)月考）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點(diǎn)，若AB＝10，DE＝2，求CD的長(zhǎng)．11．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過(guò)圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．12．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)C、D．（1）若∠AOD＝50°，求∠DOB的度數(shù)；（2）若AB＝2，ED＝1，求⊙O的半徑長(zhǎng)；13．（2022秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的方程ax2+cx+b＝0，如果a、b、c滿(mǎn)足a2+b2＝c2且c≠0，那么我們把這樣的方程稱(chēng)為“顧神方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)“顧神方程”：；（2）求證：關(guān)于x的“顧神方程”ax2+cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；（3）如圖，已知AB、CD是半徑為6的⊙O的兩條平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且關(guān)于x的方程ax2+6x+b＝0是“顧神方程”，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BAC的度數(shù)．14．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：四邊形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半徑．15．（2021秋?海門(mén)市期末）已知：如圖，AM為⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，過(guò)⊙O上一點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為2cm，求∠ODB的正切值．16．（2022秋?鹽都區(qū)期中）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺作圖．（1）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)P在⊙O上一點(diǎn)，且＝．畫(huà)出△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)；（2）如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是BC的中點(diǎn)．畫(huà)出△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)；（3）如圖3，⊙O為△ABC的外接圓，BC是非直徑的弦，D是BC的中點(diǎn)，E是弦AB上一點(diǎn)，且DE∥AC，請(qǐng)畫(huà)出△ABC的內(nèi)心I．17．（2022秋?江陰市期末）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝m．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，以AB為直徑的⊙G交CD于M、N兩點(diǎn)，求此時(shí)MN的長(zhǎng)；（2）如圖2，若⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與CD相切，當(dāng)其半徑不大于時(shí)，求m的取值范圍．一．選擇題（共7小題）1．（2023?冀州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在⊙O中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：①分別以弦AB的端點(diǎn)A、B為圓心，適當(dāng)?shù)乳L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩弧相交于點(diǎn)M；②作直線(xiàn)OM交AB于點(diǎn)N．若OB＝10，AB＝16，則tanB等于（）A． B． C． D．2．（2023?梁園區(qū)校級(jí)四模）如圖，點(diǎn)C為圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC，若OA＝1，則陰影部分面積的最小值為（）?A． B． C． D．3．（2023?仁懷市模擬）如圖，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，AB＝8cm，CD＝6cm，則OD＝（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．（2023?大同模擬）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝3，將扇形AOB沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D處，折痕為BC，則陰影部分的面積為（）A． B．﹣3 C． D．5．（2023?玉州區(qū)一模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，AE，CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．若OD＝6，AB＝16，則FC的長(zhǎng)是（）A．8 B．12 C．16 D．206．（2023?瑤海區(qū)校級(jí)一模）如圖，直線(xiàn)AB與⊙O相切于點(diǎn)A，CD是⊙O的一條弦，且CD∥AB，連接AC．若⊙O的半徑為2，，則陰影部分的面積為（）A． B．4π C． D．7．（2023?寶雞模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，則∠OEB的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°二．填空題（共5小題）8．（2023?安徽模擬）如圖，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)B在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，若AD＝2，AB＝4，AE垂直于BC，CD垂直于AB，則CD＝．9．（2023?杭州一模）如圖是以點(diǎn)O為圓心的圓形紙片，AB是⊙O的弦，將該圓形紙片沿直線(xiàn)AB折疊，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O．若AB＝6，則圖中陰影部分的面積為．10．（2022秋?香坊區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB是圓O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，CD＝6，則⊙O的半徑為．11．（2023?昌邑市校級(jí)二模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)O在AB上，⊙O的半徑為3，AC＝2，若點(diǎn)D是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)D到BC距離的最大值為．12．（2023?岳陽(yáng)縣一模）如圖，在⊙O中，已知AB是直徑，P為AB上一點(diǎn)（P不與A、B兩點(diǎn)重合），弦MN過(guò)P點(diǎn)，∠NPB＝45°．（1）若AP＝2，BP＝6，則MN的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（保持∠NPB＝45°不變），則＝．三．解答題（共8小題）13．（2022秋?臨平區(qū)期末）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．14．（2022秋?白云區(qū)期末）如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．比較CE和AF的大小，并證明你的結(jié)論．15．（2022秋?中山區(qū)期末）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，AC＝2．求BD的長(zhǎng)．16．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC并延長(zhǎng)交劣弧AB于點(diǎn)D，連接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面積．17．（2022秋?蘭山區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)，且BC∥OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若BC＝6，DE＝4，求⊙O的半徑．18．（2023?前郭縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，OD⊥BC于E，∠D＝∠B．（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AB＝CD＝2，求BC的長(zhǎng)．19．（2023?青島三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，＝，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，連接CE，∠D＝∠E．（1）求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半徑的長(zhǎng)．20．（2022秋?自貢期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)的定義如下：若P′為直線(xiàn)PC與⊙C的一個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足r＜PP'≤2r，則稱(chēng)P'為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)，如圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P'的示意圖．（1）當(dāng)⊙O的半徑為時(shí)．①分別判斷點(diǎn)M（3，4），N（3，0），關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），DE，DF分別切⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P在△DEF的邊上．若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的限距點(diǎn)P'存在，求點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)的取值范圍．（2）保持（1）中D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不變，點(diǎn)P在△DEF的邊DE，DF上沿F→D→E的方向運(yùn)動(dòng)，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為（1，0），半徑為r，若點(diǎn)P關(guān)于⊙C的限距點(diǎn)P'不存在，則r的取值范圍為．

重難點(diǎn)04“垂徑定理”模型1.識(shí)別幾何模型。2.利用“垂徑定理”模型解決問(wèn)題垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理中的五個(gè)元素:過(guò)圓心;2垂直弦3平分弦(不是直徑);4平分優(yōu);平分劣弧這五個(gè)元素，知二推三一．選擇題（共3小題）1．（2022秋?南京期中）如圖，C是的中點(diǎn)，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．10【分析】由垂徑定理，勾股定理，可以求解．【解答】解：設(shè)所在圓的圓心為點(diǎn)O，⊙O的半徑為r，連接OD，OA，∵CD⊥AB，點(diǎn)C是中點(diǎn)，∴O，D，C三點(diǎn)共線(xiàn)，AD＝BD＝4，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣2）2+42，∴r＝5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是定出圓心，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于半徑的方程．2．（2022秋?南通期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E．若AB＝10，CD＝8，則AE的長(zhǎng)是（）A．2 B．1 C． D．【分析】由垂徑定理求出CE的長(zhǎng)，由勾股定理求出OE的長(zhǎng)，即可得到AE的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE＝＝，∵圓的半徑CO長(zhǎng)是×10＝5，∴OE＝＝＝3，∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握勾股定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?盱眙縣期中）把半徑長(zhǎng)為2.5的球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知CD＝4，則EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．5【分析】設(shè)球的平面投影圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，延長(zhǎng)NO交BC于點(diǎn)M，連接OF，MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，再利用勾股定理可得NF，進(jìn)而可得EF的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)球的平面投影圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，延長(zhǎng)NO交BC于點(diǎn)M，連接OF，如圖所示：則NF＝EN＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）4．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，凱凱在讀完《九章算術(shù)》卷九勾股定理篇記載的“圓材埋壁”問(wèn)題后，突發(fā)靈感，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)題如圖，CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，ED＝4，AB＝16，則直徑CD的長(zhǎng)是20．【分析】由垂徑定理，勾股定理，即可求解．【解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r，∵OD⊥AB，∴AE＝BE＝8，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣4）2+82，∴r＝10，∴CD＝2r＝20，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】.本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于⊙O的半徑的方程．5．（2023春?大豐區(qū)月考）如圖，⊙O的弦AB＝8，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)P，若OC：CP＝3：2，則⊙O的半徑為5．【分析】令OC＝3x，PC＝2x，由垂徑定理，勾股定理得到關(guān)于x的方程，求出x，即可得到圓的半徑長(zhǎng)．【解答】解：連接OC，∵OC：CP＝3：2，∴令OC＝3x，PC＝2x，∴OA＝5x，∵OP⊥AB，∴AC＝BC＝4，∵OA2＝AC2+OC2，∴（5x）2＝42+（3x）2，∴x＝1或x＝﹣1（舍去），∴OA＝5x＝5，∴⊙O的半徑是5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是令OC＝3x，PC＝2x，由垂徑定理，勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出x的值．6．（2022秋?江都區(qū)月考）如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為π．【分析】連接AC，AG，由題意可得F點(diǎn)在以AC為直徑的圓上，則F點(diǎn)的路徑長(zhǎng)是以AC為直徑的圓的周長(zhǎng)的一半．【解答】解：連接AC，AG，∵AF⊥CF，∴F點(diǎn)在以AC為直徑的圓上，∵G（0，1），圓G半徑為2，∴C（0，3），D（0，﹣1），∴GO＝DO＝1，在Rt△AOG中，AO＝，∴AC＝2，∵E點(diǎn)從D點(diǎn)到C點(diǎn)，∴F點(diǎn)從A點(diǎn)到C點(diǎn)，∴F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π，故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，從而確定F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．7．（2023?常州模擬）對(duì)于⊙P及一個(gè)矩形給出如下定義：如果⊙P上存在到此矩形四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)，那么稱(chēng)⊙P是該矩形的“等距圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，6），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且OC＝OD．若矩形ABCD的“等距圓”⊙P始終在矩形內(nèi)部（含邊界），則⊙P的半徑r的取值范圍是0＜r≤．?【分析】先確定最大圓的位置，再根據(jù)垂徑定理列方程求解即可．【解答】解：∵矩形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，6），頂點(diǎn)C、D在x軸上，且OC＝OD．∴它的中心E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），如圖，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且在矩形內(nèi)部（含邊界）的最大圓為過(guò)點(diǎn)E且和AD，CD相切的圓P，設(shè)切點(diǎn)分別為G，H，如圖，連接PG，PH，PE，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)⊙P的半徑為r，則PG＝PH＝PE＝r，PF＝4﹣r，EF＝3﹣r，在Rt△PEF中，∵PE2＝EF2+PF2，∴r2＝（3﹣r）2+（4﹣r）2，解得r1＝，r2＝，由題意，r＜3，而＞3，∴r2＝應(yīng)舍去，故答案為：0＜r≤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是確定出最大圓的位置，利用垂徑定理和勾股定理解答．8．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在以O(shè)為圓心半徑不同的兩個(gè)圓中，大圓和小圓的半徑分別為6和4，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D．若AC＝3，則CD的長(zhǎng)為．【分析】由垂徑定理得到CH＝DH，由勾股定理列出關(guān)于CH的方程，求出CH長(zhǎng)，即可求出CD的長(zhǎng)．【解答】解：作OH⊥AB于H，連接OC，OA，設(shè)CH＝x，∴CH＝DH，AH＝x+3，∵OH2＝OC2﹣CH2＝OA2﹣AH2，∴42﹣x2＝62﹣（x+3）2，∴x＝，∴CD＝2CH＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是掌握垂徑定理，勾股定理．9．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)P，∠BAC+∠ACD＝∠CAD+∠ACB，⊙O的半徑為1，當(dāng)5≤AC2+BD2≤6時(shí)，則OP的取值范圍≤OP≤．【分析】作OM⊥AC于M．ON⊥BD于N，連接OA，OD，應(yīng)用勾股定理，垂徑定理，由5≤AC2+BD2≤6，求出OP2的范圍，即可解決問(wèn)題．【解答】解：作OM⊥AC于M．ON⊥BD于N，連接OA，OD，∴AM＝AC，DN＝BD，∵∠BAC＝∠CDP，∠CAD＝∠CBP，又∵∠BAC+∠ACD＝∠CAD+∠ACB，∴∠CDP+∠ACD＝∠CBP+∠ACB，∴∠BPC＝∠DPC，∴∠BPC+∠DPC＝180°，∴∠BPC＝90°，∴AC⊥BD，∴四邊形OMPN是矩形，∴OM＝PN，∵ON2＝OD2﹣DN2＝1﹣BD2，PN2＝OM2＝OA2﹣AM2＝1﹣AC2，∴ON2+PN2＝2﹣（BD2+AC2），∴OP2＝2﹣（BD2+AC2），∵5≤AC2+BD2≤6，∴≤OP2≤，∴≤OP≤．故答案為：≤OP≤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，圓周角定理的推論，關(guān)鍵是作OM⊥AC于M．ON⊥BD于N，連接OA，OD，構(gòu)造直角三角形．三．解答題（共8小題）10．（2022秋?儀征市校級(jí)月考）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點(diǎn)，若AB＝10，DE＝2，求CD的長(zhǎng)．【分析】連接OA，由垂徑定理，勾股定理列出關(guān)于半徑的方程，即可求解．【解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r，∵CD⊥AB，∴AE＝AB＝5，∵AO2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣2）2+52，∴r＝，∴CD＝2r＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是連接OA，構(gòu)造直角三角形．11．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過(guò)圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；（2）連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：∵OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC；（2）解：連接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC＝×8×8＝32．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)C、D．（1）若∠AOD＝50°，求∠DOB的度數(shù)；（2）若AB＝2，ED＝1，求⊙O的半徑長(zhǎng)；【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得＝，從而可得∠AOD＝∠BOD＝50°，即可解答；（2）根據(jù)垂徑定理可得AE＝AB＝，然后設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為r，再在Rt△AOE中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝∠BOD＝50°，∴∠DOB的度數(shù)是50°；（2）∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，∴AE＝AB＝，設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為r，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+（）2，∴r＝3，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的方程ax2+cx+b＝0，如果a、b、c滿(mǎn)足a2+b2＝c2且c≠0，那么我們把這樣的方程稱(chēng)為“顧神方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)“顧神方程”：6x2+10x+8＝0（答案不唯一）；（2）求證：關(guān)于x的“顧神方程”ax2+cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；（3）如圖，已知AB、CD是半徑為6的⊙O的兩條平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且關(guān)于x的方程ax2+6x+b＝0是“顧神方程”，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）由“顧神方程”滿(mǎn)足的條件，即可寫(xiě)出一個(gè)“顧神方程”；（2）由一元二次方程根的判別式，即可判斷；（3）由勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，即可求解．【解答】（1）解：寫(xiě)出一個(gè)“顧神方程”：6x2+10x+8＝0（答案不唯一），故答案為：6x2+10x+8＝0（答案不唯一）；（2）證明：∵關(guān)于x的方程ax2+cx+b＝0是“顧神方程”，∴a2+b2＝c2且c≠0，①當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝（c）2﹣4ab，＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab，＝2（a2+b2﹣2ab），＝2（a﹣b）2≥0，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，②當(dāng)a＝0時(shí)，方程為cx+b＝0，c≠0，∴該方程有實(shí)數(shù)根，∴“顧神方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）解：∠BAC＝45°，理由如下：作OE⊥AB于E，延長(zhǎng)EO交CD于F，連接OB，OC，∵DC∥AB，∴EF⊥CD，∴AE＝BE＝a，CF＝DF＝b，∵BE2+OE2＝OB2，∴a2+OE2＝62，∵ax2+6x+b＝0是“顧神方程，∴a2+b2＝62，∴OE＝b＝CF，∵OB＝OC，∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL），∴∠FOC＝∠OBE，∵∠OBE+∠EOB＝90°，∴∠FOC+EOB＝90°，∴∠COB＝90°，∴∠A＝∠BOC＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查“顧神方程”的概念，一元二次方程根的判別式，勾股定理，關(guān)鍵是明白“顧神方程”的定義．14．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：四邊形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)三個(gè)直角可得矩形，再利用垂徑定理可得一組鄰邊相等，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理可得半徑．【解答】（1）證明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四邊形ADOE是正方形；（2）解：連接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半徑是cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的判定，運(yùn)用垂徑定理得到AD＝AE是解題關(guān)鍵．15．（2022秋?鹽都區(qū)期中）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺作圖．（1）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)P在⊙O上一點(diǎn)，且＝．畫(huà)出△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)；（2）如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是BC的中點(diǎn)．畫(huà)出△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)；（3）如圖3，⊙O為△ABC的外接圓，BC是非直徑的弦，D是BC的中點(diǎn)，E是弦AB上一點(diǎn)，且DE∥AC，請(qǐng)畫(huà)出△ABC的內(nèi)心I．【分析】（1）連接AP，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等即可知AP是∠BAC的平分線(xiàn)；（2）連接OD并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)垂徑定理可得＝，再由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等即可知AE是∠BAC的平分線(xiàn)；（3）連接OD并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)F，連接CF、AG相交于點(diǎn)J，由（2）可知CF是∠ACB的平分線(xiàn)，AG是∠BAC的平分線(xiàn)，即J點(diǎn)即為所求點(diǎn)．【解答】解：（1）連接AP，∵＝，∴∠BAP＝∠CAP，∴AP是∠BAC的角平分線(xiàn)；（2）連接OD并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)E，連接AE，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE，∴AE是∠BAC的平分線(xiàn)；（3）連接OD并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)F，連接CF、AG相交于點(diǎn)J，∵D是BC的中點(diǎn)，DE∥AC，∴E是AB的中點(diǎn)，由（2）可知，CF是∠ACB的平分線(xiàn)，AG是∠BAC的平分線(xiàn)，∴J點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A的垂徑定理，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)心的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?江陰市期末）已知：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝m．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，以AB為直徑的⊙G交CD于M、N兩點(diǎn)，求此時(shí)MN的長(zhǎng)；（2）如圖2，若⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與CD相切，當(dāng)其半徑不大于時(shí)，求m的取值范圍．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)G作GE⊥MN于點(diǎn)E，連接GM，利用矩形的性質(zhì)，勾股定理和垂徑定理解答即可；（2）利用分類(lèi)討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)點(diǎn)O在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，反向延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F，利用切線(xiàn)的性質(zhì)定理和勾股定理求得m的最大值；②當(dāng)點(diǎn)O在矩形ABCD外部時(shí)，設(shè)⊙O與CD切于點(diǎn)E，連接OE交AB于點(diǎn)F，利用切線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合圖形求得m＞0，綜上即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)G作GE⊥MN于點(diǎn)E，連接GM，如圖，則ME＝NE＝MN，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵GE⊥MN，∴四邊形DAGE為矩形，∴GE＝AD＝BC＝，∵AB為⊙G的直徑，∴GM＝AB＝3，∴EM＝＝＝，∴MN＝2FM＝2；（2）①當(dāng)點(diǎn)O在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，反向延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F，如圖，∵⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與CD相切，∴OE＝⊙O的半徑，AF＝BF＝AB＝3．∵⊙O的半徑不大于，∴令OE＝⊙O的半徑＝，∴OA＝，∴，∴m的最大值＝OE+OF＝＝4；②當(dāng)點(diǎn)O在矩形ABCD外部時(shí)，設(shè)⊙O與CD切于點(diǎn)E，連接OE交AB于點(diǎn)F，如圖，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥CD．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴四邊形ADEF為矩形，∴EF＝AD＝BC＝m，∵⊙O的半徑不大于，∴令OE＝⊙O的半徑＝，∴OA＝，∵OE⊥CD，AB∥CD，∴OF⊥AB，∴AF＝AB＝3．∴，∴m的最小值＝OE﹣OF＝＝；綜上，m的取值范圍為≤m≤4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的性質(zhì)，勾股定理，利用垂徑定理添加恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共7小題）1．（2023?冀州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在⊙O中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：①分別以弦AB的端點(diǎn)A、B為圓心，適當(dāng)?shù)乳L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使兩弧相交于點(diǎn)M；②作直線(xiàn)OM交AB于點(diǎn)N．若OB＝10，AB＝16，則tanB等于（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)尺規(guī)作圖得出OM是AB的垂線(xiàn)，然后根據(jù)垂徑定理求出BN的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出ON的長(zhǎng)，從而求出∠B的正切值．【解答】解：由作圖可知OM⊥AB，由垂徑定理得：，在Rt△ONB中，由勾股定理得：，∴，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟知垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．（2023?梁園區(qū)校級(jí)四模）如圖，點(diǎn)C為圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC，若OA＝1，則陰影部分面積的最小值為（）?A． B． C． D．【分析】連接AB、連接OC'，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OD，進(jìn)而得到C′D的長(zhǎng)，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接AB，OC'，AC'，BC'，要使陰影部分的面積最小，需要滿(mǎn)足四邊形AOBC的面積最大，只需滿(mǎn)足△ABC的面積最大即可，從而可得當(dāng)點(diǎn)C位于弧AB的中點(diǎn)C′時(shí)，△ABC的面積最大，連接OC'，則OC'⊥AB于D，∴OD＝AB＝＝，∴DC'＝OC'﹣OD＝1﹣，∴S四邊形AOBC′＝S△AOB+S△ABC′＝×1×1+××（1﹣）＝，∵扇形AOB的面積＝＝，∴陰影部分面積的最小值＝﹣，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積計(jì)算、垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023?仁懷市模擬）如圖，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，AB＝8cm，CD＝6cm，則OD＝（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】連接OA，設(shè)OA＝r（cm），根據(jù)CD的長(zhǎng)計(jì)算出OD的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，O為圓心得到OD⊥AB，從而求出AD的長(zhǎng)，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r的值，即可求出OD的長(zhǎng)．【解答】解：連接OA，設(shè)OA＝r（cm），則OC＝OA＝r（cm），∵點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，O為圓心，∴OD⊥AB，∵AB＝8（cm），∴AD＝BD＝4（cm），∵CD＝6（cm），∴OD＝CD﹣OC＝（6﹣r）（cm），在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（6﹣r）2+42，解得，∴（cm），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理及推論，熟知：垂直于弦的直徑平分這條弦，熟練掌握勾股定理的計(jì)算．4．（2023?大同模擬）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝3，將扇形AOB沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D處，折痕為BC，則陰影部分的面積為（）A． B．﹣3 C． D．【分析】連接OD，可得△OBD為等邊三角形，再求出∠COD以及OC，得到三角形BOC的面積，又因?yàn)椤鰾OC與△BDC面積相等，最后利用S陰影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC求解即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接OD，根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，∴OB＝BD＝OD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠DBO＝60°．∵∠CBO＝∠DBO＝30°，∵∠AOB＝90°，∴OC＝OB?tan∠CBO＝3×＝，∴S△BOC＝OB?OC＝，∵△BOC與△BDC面積相等，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC＝π×32﹣﹣＝﹣3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積求法，掌握割補(bǔ)法求面積是解題的關(guān)鍵．5．（2023?玉州區(qū)一模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，AE，CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．若OD＝6，AB＝16，則FC的長(zhǎng)是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由OE⊥AB，得AD＝BD，且OD為△ABC的中位線(xiàn)，再推出OE是△ACF的中位線(xiàn)，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑即可．【解答】解：∵OE⊥AB，∴，∵OA＝OC，∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，∴OD∥BC，又∵OD＝6，∴，∴OE＝OA＝10，∵OE∥FC，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，∴AE：EF＝AO：OC＝1，即E為AF中點(diǎn)，∴OE是△ACF的中位線(xiàn)，∴CF＝2OE＝2×10＝20，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、三角形中位線(xiàn)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理和三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?瑤海區(qū)校級(jí)一模）如圖，直線(xiàn)AB與⊙O相切于點(diǎn)A，CD是⊙O的一條弦，且CD∥AB，連接AC．若⊙O的半徑為2，，則陰影部分的面積為（）A． B．4π C． D．【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，可得∠OCH＝30°，∠AOC＝120°，結(jié)合圖形可求出扇形OAC的面積，△OAC的面積，由此即可求解．【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，則點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，∵直線(xiàn)AB與⊙O相切于點(diǎn)A，CD∥AB，∴A，O，H在同一條直線(xiàn)上，且AB∥EF∥CD，∴，在Rt△COH中，CO＝2，∴，∴∠OCH＝30°，∵AB∥EF∥CD，∴∠HCO＝∠COF＝30°，∠FOA＝∠OAB＝90°，∴∠AOC＝120°，∴，，，∴，∴陰影部分的面積為，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握垂徑定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，特殊角的直角三角形，扇形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023?寶雞模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，則∠OEB的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】連接OB、OC，則∠BOC＝2∠BAC＝140°，可得∠OBC＝20°，再證EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，由三角形內(nèi)角和定理求∠OEB即可．【解答】解：連接OB、OC，則∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE＝55°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）8．（2023?安徽模擬）如圖，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)B在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，若AD＝2，AB＝4，AE垂直于BC，CD垂直于AB，則CD＝．?【分析】根據(jù)AE垂直于BC，得出AC＝AB＝4，在Rt△CDA中，利用勾股定理CD＝代入數(shù)據(jù)解答即可．【解答】解：如圖，∵AE垂直于BC，∴AC＝AB＝4，∵CD垂直于AB，∴∠CDA＝90°，在Rt△CDA中，CD＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查了垂徑定理、勾股定理，正確得出AC＝AB是解題的關(guān)鍵．9．（2023?杭州一模）如圖是以點(diǎn)O為圓心的圓形紙片，AB是⊙O的弦，將該圓形紙片沿直線(xiàn)AB折疊，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O．若AB＝6，則圖中陰影部分的面積為．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，連接OA，OB，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OA＝2OD，根據(jù)勾股定理求得AO，∠AOB＝120°，根據(jù)陰影部分面積等比空白弓形部分面積，即S扇形OAB﹣S△OAB，即可求解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，連接OA，OB，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OA＝2OD，∴，∴∠OAD＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝120°，∵AB＝6，∴，∴，則，∴陰影部分面積＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算、垂徑定理以及翻折變換（折疊問(wèn)題），掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?香坊區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB是圓O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，CD＝6，則⊙O的半徑為2．【分析】連接OC，設(shè)圓的半徑是r，由垂徑定理，勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出r即可．【解答】解：連接OC，設(shè)圓的半徑是r，∵E是CD的中點(diǎn)，∴OE＝r，∵直徑AB⊥CD，∴CE＝CD＝×6＝3，∵OC2﹣OE2＝CE2，∴r2﹣＝32，∴r＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是掌握垂徑定理，勾股定理．11．（2023?昌邑市校級(jí)二模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)O在AB上，⊙O的半徑為3，AC＝2，若點(diǎn)D是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)D到BC距離的最大值為4．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC，垂足為M，延長(zhǎng)MO交⊙O于點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)D到BC距離最大，且點(diǎn)D到BC的距離最大值＝DM，根據(jù)垂徑定理可得CM＝BM，從而可得OM是△ABC的中位線(xiàn)，然后利用三角形的中位線(xiàn)定理求出OM的長(zhǎng)，從而利用線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC，垂足為M，延長(zhǎng)MO交⊙O于點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)D到BC距離最大，且點(diǎn)D到BC的距離最大值＝DM，∴CM＝BM，∵OA＝OB，∴OM是△ABC的中位線(xiàn)，∴OM＝AC＝1，∵OD＝3，∴DM＝OD+OM＝4，∴點(diǎn)D到BC距離的最大值為4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．12．（2023?岳陽(yáng)縣一模）如圖，在⊙O中，已知AB是直徑，P為AB上一點(diǎn)（P不與A、B兩點(diǎn)重合），弦MN過(guò)P點(diǎn)，∠NPB＝45°．（1）若AP＝2，BP＝6，則MN的長(zhǎng)為2；（2）當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（保持∠NPB＝45°不變），則＝．【分析】（1）作OH⊥MN于H，得到HN＝MH，由AP＝2，BP＝6，得到圓的半徑長(zhǎng)，由△POH是等腰直角三角形，得到OH的長(zhǎng)，由勾股定理求出NH的長(zhǎng)，即可得到MN的長(zhǎng)．（2）由PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，得到PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），因此OH2+NH2＝ON2＝OA2，得到PM2+PN2＝2OA2，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）作OH⊥MN于H，∴HN＝MH，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝AP+PB＝8，∴ON＝4，PO＝OA﹣AP＝4﹣2＝2，∵∠NPB＝45°，∴△POH是等腰直角三角形，∴OH＝PO＝，∴NH＝＝，∴MN＝2NH＝2．故答案為：2．（2）由（1）知MH＝NH，OH＝PH，∴PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，∴PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），∵OH2+NH2＝ON2＝OA2，∴PM2+PN2＝2OA2，∵BA2＝（2OA）2＝4OA2，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，完全平方公式，關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用垂徑定理，勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．三．解答題（共8小題）13．（2022秋?臨平區(qū)期末）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）由垂徑定理得到CF＝DF，由等腰三角形的性質(zhì)得到AF＝BF，從而證明AC＝BD；（2）設(shè)⊙O的半徑是r，由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于r的方程，即可求出⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵OE⊥AB，∴CF＝DF，∵OA＝OB，∴AF＝BF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD；（2）解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵CO2＝CF2+OF2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴⊙O的半徑是5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于半徑的方程．14．（2022秋?白云區(qū)期末）如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．比較CE和AF的大小，并證明你的結(jié)論．【分析】由OE⊥CD，得到CE＝CD，同理：AF＝，而AB＝CD，即可證明問(wèn)題．【解答】解：CE＝AF，理由如下：∵OE⊥CD，∴CE＝CD，∵OF⊥AB，∴AF＝，∵AB＝CD，∴CE＝AF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?中山區(qū)期末）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，AC＝2．求BD的長(zhǎng)．【分析】作OH⊥AB于H，應(yīng)用垂徑定理，即可求解．【解答】解：作OH⊥AB于H，∴AH＝BH，CH＝DH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴BD＝AC＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，關(guān)鍵是作OH⊥AB于H，應(yīng)用垂徑定理，得到AH＝BH，CH＝DH．16．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC并延長(zhǎng)交劣弧AB于點(diǎn)D，連接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面積．【分析】設(shè)⊙O的半徑是r，由勾股定理，垂徑定理求出圓的半徑，由三角形的面積公式即可計(jì)算．【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，OC過(guò)圓心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面積＝OD?BC＝××2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是應(yīng)用勾股定理求出圓的半徑長(zhǎng)．17．（2022秋?蘭山區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點(diǎn)，且BC∥OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若BC＝6，DE＝4，求⊙O的半徑．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODB＝∠OBD，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ODB＝∠CBD，然后利用等量代換可得∠CBD＝∠OBD，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC，垂足為F，根據(jù)垂徑定理可得BF＝3，再根據(jù)垂直定義可得∠DEO＝∠OFB＝90°，然后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠DOE＝∠FBO，從而利用AAS證明△DEO≌△OFB，進(jìn)而可得OE＝BF＝3，最后在Rt△DEO中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BC∥OD，∴∠ODB＝∠CBD，∴∠CBD＝∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC，垂足為F，∴∠OFB＝90°，BF＝CF＝BC＝3，∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°，∴∠DEO＝∠OFB＝90°，∵BC∥OD，∴∠DOE＝∠FBO，∵OD＝OB，∴△DEO≌△OFB（AAS），∴OE＝BF＝3，∵DE＝4，∴OD＝＝＝5，∴⊙O的半徑為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．18．（2023?前郭縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，OD⊥BC于E，∠D＝∠B．（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AB＝CD＝2，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂直定義可得∠DEC＝90°，從而可得∠D+∠DCE＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠OCB，從而可得∠D＝∠OCB，然后利用等量代換可得∠OCB+∠DCE＝90°，從而可得∠OCD＝90°，即可解答；（2）根據(jù)已知可得OC＝AB＝1，然后在Rt△OCD中，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，再利用面積法求出CE的長(zhǎng)，最后根據(jù)垂徑定理可得BC＝2CE＝，即可解答．【解答】（1）證明：連接OC，∵OD⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠OCB，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵AB＝CD＝2，∴OC＝AB＝1，在Rt△OCD中，OD＝＝＝，∵，∴OC?CD＝OD?CE，∴，∵OD⊥BC，∴BC＝2CE＝，∴BC的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．19．（2023?青島三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，＝，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，連接CE，∠D＝∠E．（1）求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半徑的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，同圓的半徑相等，平行線(xiàn)的判定和圓的切線(xiàn)的判定定理解答即可；（2）連接OC，OB，OC交AB于點(diǎn)F，利用（1）的結(jié)論判定四邊形ABCE為平行四邊形，利用垂徑定理和勾股定理求得CF，設(shè)⊙O半徑的長(zhǎng)為r，則OF＝OC﹣CF＝r﹣3，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵AD∥BC，∴∠B＝∠DAB．∵∠B＝∠D，∴∠DAB＝∠D．∵∠D＝∠E，∴∠DAB＝∠E，∴AB∥EC．∵＝，∴OC⊥AB，∴OC⊥EC．∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：連接OC，OB，OC交AB于點(diǎn)F，如圖，由（1）知：AB∥EC，∵A