【信號處理領(lǐng)域的小波變換分析3100字】

XII信號處理領(lǐng)域的小波變換分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u11549信號處理領(lǐng)域的小波變換分析綜述 -1-260761.1分辨率問題 -1-260291.2小波母函數(shù) -4-48631.3連續(xù)小波變換 -5-173841.4離散小波變換 -6-1.1分辨率問題關(guān)于分辨率可分為時域分辨率和頻域分辨率，這兩個分辨率關(guān)系到一個定理，名為海森堡測不準原理，不確定性原理由海森堡在1927年的論文中首次提出。首先海森堡測不準定理是指：（3-9）為信號的時間不確定度，為信號的頻率不確定度，總的來說就是我們無法同時確定一個信號的確切時間和確切頻率。頻率其實就是時域周期性。如果我只給你一個數(shù)據(jù)點，問你這個數(shù)據(jù)點的頻率是多少，這肯定是做不到的。要確定頻率，就需要一個時域區(qū)間（包含幾個時域周期）的信號。時域區(qū)間越寬，信號的時間定位越不準，時間不確定度越大，得到的頻率越準，頻率不確定度越小，稱這種情況為：低的時域分辨率，高的頻域分辨率；時域區(qū)間越窄，信號的時間定位越準，時間不確定度越小，但是得到的頻率越不準，頻率不確定度越大，就稱為高的時域分辨率，低的頻域分辨率。對于低頻信號，為了更好地確定頻率，我們希望，時域區(qū)間寬一些，即時間不確定度

大一些，根據(jù)海森堡測不準原理，頻率不確定度自然小一些；即低頻信號，我們希望寬窗子，低的時域分辨率，高的頻域分辨率；對于高頻信號，為了更好地在時域定位，我們希望，時域區(qū)間窄一些，即時間不確定度

小一些，根據(jù)海森堡測不準原理，頻率不確定度自然大一些；即高頻信號，我們希望窄窗子，高的時域分辨率，低的頻域分辨率。 圖3-16這是一張采集信號的分辨率圖，每個小矩形在時間軸的寬度很小，說明時間分辨率很好，可以確定每個采樣點的時間，再看每個小矩形在頻率軸的寬度非常大，說明頻率分辨率很差。 圖3-17這是一張傅里葉變換的分辨率圖，可以看到頻率軸方向的寬度很短，在時間軸方向的寬度很大，說明有良好的頻域分辨率，很差的時域分辨率，所以就正如之前在傅里葉變換時提到的缺點，傅里葉變換會導(dǎo)致信號在時域的信息完全丟失。圖3-18上圖是我們所想要的動態(tài)分辨率，每個小矩形的面積是相等的，這樣保證了時域分辨率乘頻域分辨率是定值，可以最大程度地滿足海森堡測不準原理。通過這個圖可以看出來，我們希望對于低頻信號有低的時域分辨率，高的頻率分辨率，對于高頻信號則需要高的時域分辨率，低的頻域分辨率。對于整體低頻，局部高頻的信號來說，這種動態(tài)調(diào)整分辨率規(guī)則很有用，在實際信號中，頻率非常高的高頻信號往往是一種噪聲。圖3-19上圖為短時傅里葉變換的分辨率圖，可以從圖中看出所有的矩形都是一樣的大小，也就是說無論高頻低頻，分辨率都是不可調(diào)的，這與之前所期望的動態(tài)分辨率不符，所以對于短時傅里葉變換來說，當對一個信號展開時頻分析時，當窗子的寬度選擇合適時，是可以得到時域分辨率和頻域分辨率都還不錯的情況的，但是在作分析之前我們無法知道窗子是否合適。短時傅里葉的缺點就就是無法隨著動態(tài)調(diào)整。1.2小波母函數(shù)為了解決動態(tài)分辨率的問題，引入了小波母函數(shù)，小波母函數(shù)不是一個特定的函數(shù)，是一種函數(shù)的集合，滿足了一定條件的函數(shù)均可以作為小波母函數(shù)。小波母函數(shù)需要滿足的有幾個條件：條件一，緊支撐性：，即僅在一小部分定義域里不為0，剩下部分均為0。條件二，波動性：即在定義域內(nèi)積分為0，可以證明母函數(shù)是一個波。條件三，容許條件：，這個條件便使變換可逆。條件四，正交性：這也是為了使變換可逆。圖3-20上圖是一個小波母函數(shù)的例圖，可以從圖中直觀地看到小波母函數(shù)是滿足前兩個條件的。小波母函數(shù)既然是一個波，說明也是具有頻率的，將小波母函數(shù)與采集到的信號相乘并且積分可以篩選出信號在小波母函數(shù)在非0部分相近的頻率成分。不同于傅里葉變換的是，小波變換的基函數(shù)并不是具有一個特定的頻率，而是有一個頻率范圍，去篩選一個范圍內(nèi)的頻率成分，類似于一個帶通濾波器。小波變換的公式：（3-10）從公式可以看出，不同于傅里葉變換，變量只有頻率，小波變換有兩個變量：尺度和平移量。尺度控制小波函數(shù)的伸縮，平移量控制小波函數(shù)的平移。尺度就對應(yīng)于頻率（反比），平移量

τ就對應(yīng)于時間。下圖是我們對圖3-20進行一個放縮。圖3-21可以通過對小波函數(shù)進行放縮來解釋它為什么擁有動態(tài)分辨率，如上圖，中間的圖，受到了擠壓，尺度較小，頻率就相應(yīng)提高，右側(cè)的圖被拉伸，尺度較大，頻率相應(yīng)減小，這不正是所需要的“低頻，寬窗，差的時間分辨率，好的頻域分辨率；高頻，窄窗，好的時間分辨率，差的頻域分辨率”。有很多種類小波母函數(shù)，比如Haar小波，db系列小波，sym系列小波，coif系列小波等等，如何使用這些小波要看具體情況，各有不同。1.3連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換公式為：（3-11）接下來我們對一個信號進行連續(xù)小波變換來解釋這個公式，下圖藍色部分為小波函數(shù)，黃色部分為信號。

圖3-22如上圖，選擇較小的對小波母函數(shù)進行縮放，此時小波函數(shù)頻率較高，窗子較窄，用來篩選高頻部分，小波函數(shù)在時間軸上平移，每一次平移就相乘再積分，在該母函數(shù)下，時間分辨率較好，頻率分辨率較差。圖3-23如上圖，將增大，此時小波函數(shù)頻率降低，窗子變寬，用來篩選中頻部分。小波函數(shù)在時間軸上平移，每一次平移就相乘再積分，時間分辨率變差，頻率分辨率變好。圖3-24如上圖，將進一步增大，此時小波函數(shù)頻率進一步降低，窗子更寬，用來篩選低頻部分，此時窗子很寬，時間分辨率很差，頻率分辨率很好。這樣就可以很好的解釋連續(xù)小波變換是如何完成我們所需要的動態(tài)分辨率，通過改變小波母函數(shù)的尺度來改變窗子大小。1.4離散小波變換盡管已經(jīng)能夠在電腦上計算離散形式的連續(xù)小波變換，但它還不是真正意義上的離散變換。因為小波級數(shù)只是連續(xù)小波變換的采樣版，就信號重構(gòu)而言，由它提供的信息是高度冗余的，而這種冗余性又需要大量的計算資源。離散小波變換對于信號的分析和重構(gòu)來說可以提供充足的信息，并且計算時間極大地減少了。與連續(xù)小波變換相比，離散小波變換要更容易實現(xiàn)。離散小波變換稱為DWT，DWT有很多種實現(xiàn)方式，這里講的主要是Mallat算法來實現(xiàn)對小波的離散變換，之前在連續(xù)小波變換時我們是通過控制窗長，也就是控制時間分辨率來達到動態(tài)分辨率。小波母函數(shù)本質(zhì)上是一個帶通濾波器，可以通過小波母函數(shù)構(gòu)造一個高通濾波器和一個低通濾波器。比如一個信號中最高頻率為，高通濾波器就是篩選出（）的部分，低通濾波器就是篩選出（）的部分，如下圖：圖3-25這個過程可以稱為一次半子帶濾波。這里還要提出一個下采樣的概念，N倍下采樣的過程就是將采樣點進行N倍稀釋，下圖是一個2倍下采樣的例子：圖3-26離散小波分解的過程可以簡單描述為一層一層地進行小波分解，一層小波分解就是進行一次半子帶濾波和一次2倍下采樣。假設(shè)有原采樣信號N個點，信號最高頻率為，經(jīng)過一次高通濾波后，得到了的部分，再經(jīng)過一次2倍下采樣就變成了個點，我們將這個點稱為小波分解的高頻系數(shù)。經(jīng)過一次低通濾波后，我們得到的是部分，同樣經(jīng)過一次下采樣會得到小波分解的低頻系數(shù)，也就是說經(jīng)過一次小波分解后，總長度還是N。當經(jīng)過第一次小波分解后，我們可以得到的第一層小波分解的高頻系數(shù)和的第一層小波分解的低頻系數(shù)。第二層小波分解就是保持第一層小波分解高頻系數(shù)不變，把，個點的低頻系數(shù)當做信號，再進行一次小波分解，就可以得到個點的第二層高頻系數(shù)和個點的第二層低頻小波分解系數(shù)。當經(jīng)過第二層小波分解，所有的加起來還是N個點，長度還是不變的。依次類推，當在不斷地小波分解下，直到層小波分解時，低頻系數(shù)和高頻系數(shù)都只剩下一個點了，下圖可以很清楚地演示出小波分解的過程。圖3-27是指采樣信號的