等比數(shù)列的概念(第1課時)課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

4.3.1等比數(shù)列的概念（第1課時）第四章數(shù)列

新課引入問題1：類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以下數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

取值規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于9．共同規(guī)律：從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù).問題引入新知探究1.等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.

問題2：類差等差數(shù)列的概念，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？

注意：連等式出現(xiàn)分式結(jié)構(gòu)問：數(shù)列a,a,a,a,…(a∈R)是否為等比數(shù)列？如果是,a必須滿足什么條件？(1)a＝0;它只是等差數(shù)列。(2)a≠0;它既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列。辨析1：等差數(shù)列的項、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？辨析2：常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？辨析3：是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？常數(shù)列一定是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.等差數(shù)列的項、公差均可以是0，但等比數(shù)列的每一項和公比都不為0.新知探究如：1,1,1,1,…；0,0,0,0,…；是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列；是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列；注：對定義的認(rèn)識1.等比數(shù)列的首項不為0,即a1≠0。2.等比數(shù)列的每一項都不為0，即an≠0。3.公比不為0，即q≠0。數(shù)學(xué)語言：an+1:an=q(q≠0的常數(shù))。學(xué)習(xí)新知q>10<q<1q=1q<0遞增遞減常數(shù)列遞增遞減常數(shù)列a1<0a1>0擺動數(shù)列擺動數(shù)列4.單調(diào)性：1.判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果是，寫出它的公比.

a≠0時，是等比數(shù)列，公比為aa=0時，不是等比數(shù)列練習(xí)鞏固問題3：類比等差中項的概念，你能抽象出等比中項的概念嗎？等差中項

如果三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，

那么A叫做a和b的等差中項.

等比中項

如果三個數(shù)a,G,b組成

，

那么G叫做a和b的

.等比數(shù)列等比中項追問：任意兩個實數(shù)a，b都有等比中項嗎？

若a，b異號則無等比中項.若a，b同號(且均不為0)則有兩個等比中項.

一個等比數(shù)列從第2項起，每一項an是它的前一項an－1與后一項an+1的等比中項.2.等比中項:注意：若a,b同號,則有兩個等比中項;若a,b異號,則無等比中項.a,G,b成等比數(shù)列等比數(shù)列的常用判定方法：例：

若a,G,b組成等比數(shù)列，則必有G2=ab；而G2=ab并不能說明a,G,b組成等比數(shù)列，如a=G=0,b=5時不成等比.新知探究等差數(shù)列的常用判定方法：問題4：根據(jù)等比數(shù)列的定義及推導(dǎo)它的通項公式嗎？

∴a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，??????∴an=a1qn-1

(n≥2).又a1=a1q1-1，這就是說，當(dāng)n=1時上式也成立.因此，首項為a1,公差為q的等比數(shù)列{an}的通項公式為新知探究不完全歸納法累乘法累加法等差數(shù)列

等比數(shù)列

探究新知探究3：類比等差數(shù)列的通項公式，你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？回顧學(xué)習(xí)：累加法、

累乘法問題4：根據(jù)等比數(shù)列的定義及推導(dǎo)它的通項公式嗎？

新知探究累乘法……n-1個又a1=a1q0=a1q1-1，即當(dāng)n=1時上式也成立.

精細(xì)化推導(dǎo)過程

等比數(shù)列{an}的通項公式：新知探究3.等比數(shù)列的通項公式：an=a1qn-1(n∈

N*)a1

、an、n、q知三求一典型例題例1.若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12,求{an}的第5項分析：等比數(shù)列{an}由a1,q唯一確定,可利用條件列出關(guān)于a1,q的方程（組）,進行求解

1.的等比中項是2.如果三角形的三邊成等比數(shù)列，則公比q的取值范圍是3.已知正數(shù)等比數(shù)列中，對所有的自然數(shù)n都成立，則公比q=4.已知等差數(shù)列的公差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則鞏固練習(xí)典型例題例2已知等比數(shù)列{an}的公比為q,試用{an}的第m項am表示an.

例3.數(shù)列{an}共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80,第2項與第4項的和等于136,第1項與第5項的和等于132.求這個數(shù)列.

如果{an}{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么{an·bn}也是等比數(shù)列

證明：設(shè)數(shù)列的公比為p，的公比為q，那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為與，即與．因為它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以pq為公比的