河北省 邢臺市信都區(qū)皇臺底中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測二九年級數(shù)學(xué)冀教版（考試時間：120分鐘，滿分：120分）一、選擇題（本大題共16個小題，共38分.1~6小題各3分，7~16小題各2分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列各組線段中，長度成比例的是（）A.，，， B.，，，C.，，， D.，，，【答案】D【解析】【分析】本題考查線段成比例的知識．四條線段成比例，根據(jù)線段的長短關(guān)系，從小到大排列，判斷中間兩項的積是否等于兩邊兩項的積，相等即成比例．【詳解】解：A、由于，所以不成比例，不符合題意；B、由于，所以不成比例，不符合題意；C、由于，所以不成比例，不符合題意；D、由于，所以成比例，符合題意．故選：D．2.為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，根據(jù)條件式得出，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：A．3.“多讀書，讀好書”是提升學(xué)生閱讀能力的重要舉措，某校倡議學(xué)生在家多讀一些教育部推薦的中外名著，王老師為了解學(xué)生每周在家閱讀中外名著的時間，隨機(jī)調(diào)查了本班20名學(xué)生，收集到如下數(shù)據(jù)：時間（小時）65432人數(shù)（人）26462關(guān)于每周在家閱讀中外名著的時間的描述，正確的是（）A.眾數(shù)是6 B.平均數(shù)是4 C.中位數(shù)是3 D.方差是1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)各統(tǒng)計數(shù)據(jù)的定義即可求解．【詳解】解：A：每周在家閱讀中外名著的時間為出現(xiàn)的次數(shù)最多故眾數(shù)為，故A錯誤；B：，故B正確；C：中位數(shù)：，故C錯誤；D：方差：故D錯誤．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了各統(tǒng)計數(shù)據(jù)的求解．掌握各統(tǒng)計數(shù)據(jù)的定義及求解公式是解題關(guān)鍵．4.在中，，，，則下列三角函數(shù)值不正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的定義．根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求解即可．【詳解】解：中，，，，∴，，，．觀察四個選項，選項C符合題意，故選：C．5.如圖，已知，，，，則的長為（）A.6 B. C.7 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線分線段成比例定理等知識．由，推出，推出，可得結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：B．6.如圖，點(diǎn)A、B、C均在4x4的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠BAC＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取格點(diǎn)D，連接BD，可得BD⊥AC，根據(jù)格點(diǎn)和勾股定理先求出AD、BD，最后求出∠BAC的正切．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)D，連接BD，由格點(diǎn)圖可以得出，BD⊥AC，由格點(diǎn)三角形可得：，，∴，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7.已知，則與面積的比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】兩三角形相似，面積比等于相似比的平方；據(jù)此即可求解．【詳解】解：，，，，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.某人沿著坡度為的山坡前進(jìn)了100米，則此人所在的位置升高了（）A.100米 B.米 C.50米 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，已知了坡度，可求出坡角的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)坡面長求出鉛直高度即此人垂直升高的距離．【詳解】解：如圖，中，米，，∴，米．即此人所在的位置比原來升高了50米，故選：C．9.如圖，中，，，．將沿圖中的剪開．剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，故本選項不符合題意；B、∵，∴，故本選項不符合題意；C、由圖形可知，只有，不能判斷，故本選項符合題意；D、∵，∴，故本選項不符合題意；故選：C．10.如圖，沿方向架橋，以橋兩端出發(fā)，修公路和，測得，m，，則公路的長為（）A.900m B.m C.m D.1800m【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)C作，垂足為E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出，的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)，在直角三角形中，由特殊角三角函數(shù)以及直角三角形邊角的關(guān)系可得答案．【詳解】過點(diǎn)C作，垂足為E，，，，，，在Rt中，，m，m，在Rt中，，m，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.某火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭達(dá)到點(diǎn)時，從位于地面處雷達(dá)站測得、的距離是米，仰角為，此時火箭的高度是（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題；在中，由，可求得，即可得出答案．【詳解】解：由題意得，米，在中，解得：，∴火箭的高度是米．故選：A．12.如圖，淇淇同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測出自己與樹的距離為，樹的頂端在水中的倒影距自己遠(yuǎn)，淇淇的身高為，則樹高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由入射光線和反射光線與鏡面的夾角相等，可得兩個相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖所示，由題意可得：，，故，由相似三角形的性質(zhì)，設(shè)樹高米，則，．故選:B．13.若是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根及m的值分別是（）A.0， B.0，0 C.， D.，0【答案】B【解析】【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一個根．【詳解】解：根據(jù)題意，∵是一元二次方程的一個根，把代入，則，解得：；∴，∴，∴，，∴方程的另一個根是；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的步驟進(jìn)行計算．14.三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，以原點(diǎn)為位似中心畫一個三角形，使它與位似，且位似比是，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了求位似圖形對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，分與在原點(diǎn)同側(cè)和異側(cè)兩種情況，根據(jù)位似圖形對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可【詳解】解：當(dāng)與在原點(diǎn)同側(cè)時，∵與關(guān)于原點(diǎn)位似，且位似比是，，∴，即；當(dāng)與在原點(diǎn)異側(cè)時，∵與關(guān)于原點(diǎn)位似，且位似比是，，∴，即；故選：C．15.已知直線，且相鄰的兩條平行直線間的距離均等，將一個含的直角三角板按圖示放置，使其三個頂點(diǎn)分別在三條平行線上，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識點(diǎn)．過點(diǎn)A作于D，過點(diǎn)B作于E，根據(jù)同角的余角相等求出，然后證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可解答．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作于D，過點(diǎn)B作于E，設(shè)間的距離為，∵，∴，∵，，∴，在等腰直角中，，在和中，，∴，∴，在中，，∴．故選：C．16.如圖，菱形中，，與交于點(diǎn)O，E為延長線上一點(diǎn)，且，連接，分別交，于點(diǎn)F、G，連接．①；②；③由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④．其中正確的結(jié)論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形面積關(guān)系等知識．由菱形的性質(zhì)及可得點(diǎn)G分別是、的中點(diǎn)，則由中位線定理可得①正確；由，則有，面積關(guān)系，再由中線平分面積可得②正確；易得四邊形是平行四邊形，再由已知可得是等邊三角形，從而可得四邊形是菱形，可得③正確；由G是的中點(diǎn)，得，再由即可得④正確，從而最后可確定答案．【詳解】解：∵四邊形為菱形，與交于點(diǎn)O，∴，，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，，即點(diǎn)G是、的中點(diǎn)，∴由中位線定理得，且，故①正確；∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形，故③正確；∵G是的中點(diǎn)，，∴，∵，，∴，∴，故④正確，故全部正確．故選：D．二、填空題（本大題共3個小題，共10分.17小題2分，18~19小題各4分，每空2分）17.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加擲實心球測試，每人擲5次，他們的平均成績恰好相同，方差分別是，，，，則這四名同學(xué)擲實心球的成績最穩(wěn)定的是________．【答案】丁【解析】【分析】利用方差的意義可得答案．【詳解】解：，，，，，這四名同學(xué)擲實心球的成績最穩(wěn)定的是丁，故答案為：?。军c(diǎn)睛】本題主要考查方差，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．18.如圖，已知為的角平分線，交于E，（1）______；（2）如果，那么______．【答案】①.②.##【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）由，即可得到；（2）由，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴；故答案為：；（2）∵，∴，∵，∴，故答案為：．19.如圖，在中，，，點(diǎn)從出發(fā)，以的速度向運(yùn)動，同時點(diǎn)從出發(fā)，以的速度向運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為.（1）______；（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)______時，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似.【答案】①.②.或【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的動點(diǎn)問題，（1）根據(jù)路程速度時間即可表示出的長度；（2）分兩種情況進(jìn)行討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：，，∴，故答案為：；（2）∵，為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴或，∴或，∴或，∴或時，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．故答案為：或．三、解答題（本大題共7個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20.計算：（1）（2）解方程：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)的運(yùn)算，因式分解法解一元二次方程；（1）先求特殊角三角函數(shù)值，再計算即可；（2）先化為一般式，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：∴，∴∴∴或解得：21.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）．（1）將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到，作出．（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在第四象限內(nèi)作出的位似圖形，且與的相似比為．（3）（2）中的坐標(biāo)為______；______．【答案】（1）見解析（2）見解析（3），6【解析】【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)和位似圖形的作圖．（1）分別作出點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；（2）分別連接并分別延長到點(diǎn)，使得，順次連接即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的位置寫出坐標(biāo)即可，根據(jù)割補(bǔ)法求解即可．【小問1詳解】解：如圖，即為所作；【小問2詳解】解：如圖，即為所作；．【小問3詳解】解：的坐標(biāo)為，．故答案為：，6．22.國慶假期小明隨父母去某景區(qū)度假，景區(qū)中一高塔吸引了他的注意.小明想知道它的高度于是走到點(diǎn)C處，測得此時塔尖A的仰角是，向前走了15米至點(diǎn)F處，測得此時塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛離地面高度是1.6米，請你幫他求出這座高塔的高度（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】這座高塔的高度為米．【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．證明四邊形均為矩形．在和中，根據(jù)三角函數(shù)的定義列式計算即可解答．【詳解】解：由題意得，，則四邊形均為矩形．所以米，米，在中，，則．設(shè)米，在中，，則，即，解得：，所以米，則（米）．答：這座高塔的高度為米．23.如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)作，垂足為，連接，為線段上一點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）若，，求的長.【答案】23.見解析24.【解析】【分析】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)與判定；（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知，＋，根據(jù)，＋，可知，由此即可證得結(jié)果；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)（）中的相似三角形，得出比例式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可求解．小問1詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，又，，，；【小問2詳解】解：∵，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，，，，即，．24.如圖，樓房后有一假山，的坡度為，測得與的距離為米，山坡坡面上點(diǎn)處有一休息亭，與山腳的距離米，小麗從樓房房頂處測得的俯角為.（1）求點(diǎn)到水平地面的距離；（2）求樓房的高.【答案】（1）米（2）米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，坡度坡角問題，（1）過點(diǎn)作的延長線于，根據(jù)的坡度為得，再由勾股定理可得米，米；（2）過作于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長，進(jìn)而可得的長．【小問1詳解】解：過點(diǎn)作的延長線于，在中，∵的坡度為，米，∴．∴，∵，∴，∴（米），（米），答：點(diǎn)到水平地面的距離為米；【小問2詳解】過作于點(diǎn)，則米，由題意得：（米），在中，，∴（米），∴（米）．答：樓房的高為米．25.2023年由于榴蓮價格接連下降，“或可實現(xiàn)榴蓮自由”話題登上熱搜．某水果店的榴蓮水果盒進(jìn)貨價為元/盒，為吸引客流量，該商家承諾榴蓮水果盒的價格永遠(yuǎn)不會超過元/盒，根據(jù)一個月的市場調(diào)研，商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價為元/盒時，日銷售量為盒，售價每降低元，日銷售量增加盒．（1）當(dāng)日銷售量為盒時、產(chǎn)品售價為每盒多少元？（2）直接寫出日銷售量（盒）與售價（元/盒）的函數(shù)關(guān)系式；（3）該產(chǎn)品的售價每盒應(yīng)定為多少，該水果店的榴蓮水果盒每天可盈利元？【答案】（1）（2）（3）元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用；（1）利用“商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價為元/盒時，日銷售量為盒，售價每降低元，日銷售量增加盒”，即可求出結(jié)論；（2）利用日銷售量，即可找出日銷售量（盒）與售價（元/盒）的函數(shù)關(guān)系式；（3