2025屆江西省上饒市高三第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省上饒市2025屆高三第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，則.故選：D2.設(shè)，，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，若，則，即，解得或，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，可得，由.故選：D4.設(shè)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，當(dāng)時，，所以由得；當(dāng)時，，所以由得，無解.綜上，.故選：C.5.已知向量滿足，且，則與的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，，即，，解得，又，所以與的夾角為.故選：D.6.函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.令，，此時函數(shù)變?yōu)?對于二次函數(shù)，其對稱軸為.當(dāng)時，.當(dāng)時，.所以在上的值域是.故選：A.7.如圖，長方體中，，點(diǎn)為平面上一動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（）A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.圓【答案】C【解析】如圖，以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，.由題可設(shè)，則向量，向量，所以，即.將上式兩邊同時平方可得，即.則，即.所以.故軌跡為雙曲線的一支.故選：C.8.表示數(shù)集中最小的數(shù).已知，且，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】由已知可得，得則，又由，所以，解得：故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23.B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則C.一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和為60.D.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則【答案】BC【解析】對選項(xiàng)A：數(shù)據(jù)共10個數(shù)，從小到大排列為，由于，故選擇第7和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，故A錯誤；對選項(xiàng)B：.故B正確；對選項(xiàng)C：由方差的公式可知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，這組樣本數(shù)據(jù)的總和為，故C正確；對選項(xiàng)D：服從正態(tài)分布，所以，故D錯誤.故選：BC.10.除數(shù)函數(shù)的函數(shù)值等于的正因數(shù)的個數(shù)，例如.若則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.B.C.若，則的最小值為1011D.若，則【答案】ABD【解析】對選項(xiàng)A：由，即個2和個3的乘積，由分步計(jì)數(shù)原理可得.所以，所以A正確.對選項(xiàng)B：同理，即個2的乘積，所以.所以B正確.對選項(xiàng)C：又由，即個3的乘積，所以.若，則的最小值為1012，所以C不正確.對選項(xiàng)D：又，所以D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.的值域?yàn)镃.當(dāng)時，恒成立D.若在區(qū)間上有2024個不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是【答案】AC【解析】對選項(xiàng)A：因?yàn)樗訟正確；對選項(xiàng)B：設(shè)，則可表為，因?yàn)椋蕿樯系钠婧瘮?shù)，而時，均為增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，因?yàn)樵龊瘮?shù)，所以，所以的值域?yàn)?，所以B不正確；對選項(xiàng)C：設(shè)，則（不恒為零），所以hx在0,+∞上遞減，所以即，所以C正確；對選項(xiàng)D：因?yàn)椋躁P(guān)于對稱，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是周期函數(shù)且周期，而，所以在上遞增，可作出草圖，如下圖設(shè)，則，該方程兩根滿足，顯然均不為0且最多僅有一個屬于，不妨設(shè),若時，方程在區(qū)間[上有1013個實(shí)數(shù)根；若時，方程在區(qū)間[上有2026個實(shí)數(shù)根；若時，在區(qū)間上有2024個實(shí)數(shù)根；若時，方程在區(qū)間上有1012個實(shí)數(shù)根；所以方程在區(qū)間僅有一根，所以，所以，所以D不正確.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】【解析】，，又，.故答案為：.13.如圖，已知正方體的棱長為4，點(diǎn)是的側(cè)面上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等時，三棱錐的外接球的表面積為__________.【答案】【解析】點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，則正四面體外接球與正方體的外接球一樣，則，所以外接球表面積為.故答案為：.14.在中，為鈍角，，作交于.已知，則______.（其中表示不超過的最大整數(shù)）【答案】4【解析】由題意，且，由余弦定理可得：，所以，即.故答案為：4四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.足球運(yùn)動是一項(xiàng)古老的體育活動，源遠(yuǎn)流長，最早起源于我國古代的一種球類游戲蹴鞠，后來經(jīng)過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球.某校為了了解學(xué)生愛好足球是否與性別有關(guān)，對本校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，其中女生有20人愛好足球，男生有40人愛好足球.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生愛好足球與性別有關(guān)？愛好不愛好合計(jì)男生女生合計(jì)（2）現(xiàn)從該樣本愛好足球的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）填寫列聯(lián)表為：愛好不愛好合計(jì)男生401050女生203050合計(jì)6040100零假設(shè)愛好足球與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為該校學(xué)生愛好足球與性別有關(guān).（2）由（1）知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取6名學(xué)生，其中男生人數(shù)為（人）；女生人數(shù)為（人）由題意可得，隨機(jī)變量所有可能取值為.，隨機(jī)變量的分布列如下：123則.16.已知雙曲線的焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率為.（1）求雙曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.解：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，所以雙曲線中，雙曲線的離心率為，即雙曲線方程為（2）顯然直線斜率不能為0，設(shè)直線的方程為，所以原點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立，得，所以且，所以，且，所以，所以，所以，解得，所以，所以直線的方程為或.17.如圖1，在矩形中，，連接，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2，若點(diǎn)在線段上且.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且使得平面與平面夾角的余弦值為，求.（1）證明：在中，，在中，，.又平面平面，平面平面平面，平面.（2）解：如圖，過點(diǎn)作，則兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量，平面與平面夾角的余弦值為，，解得，.18.已知數(shù)列，設(shè)分別為與空間直角坐標(biāo)系中軸，軸，軸正方向相同的單位向量，.（1），求的值.（2）定義：若，且，則，根據(jù)上述定義，若，設(shè)，求.（3）若數(shù)列均為正項(xiàng)數(shù)列，且為常數(shù)，且，求證：.（1）解：由題設(shè)知，（2）解：，設(shè)，則則，可得：，同理可得：，故.（3）證明：（i）當(dāng)時，，，則，，故成立；（ii）當(dāng)時，令因?yàn)?，所以，即，所以?綜上可得：.19.已知常數(shù)，定義在的函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值：（2）若函數(shù)且的最小值等于的取小值.（i）求實(shí)數(shù)的值；（ii）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.（1）解：由題意可知：，由f'x>0得；由f'可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；所以函數(shù)的最小值為.（2）（i）由題意可知：，①當(dāng)時，在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，無最小值，不符；②當(dāng)時，由得；由得；可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；故因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，則，即，所以；（ii）證明：因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；且.①當(dāng)時，與均無交點(diǎn)，不符；②當(dāng)時，與均只有1個點(diǎn)，共2個交點(diǎn)，不符；③當(dāng)時，在區(qū)間遞減，所以時，，所以與y=fx最多1個交點(diǎn)；同理與y=gx最多1個交點(diǎn)；故與一共最多2個交點(diǎn)，不符；④當(dāng)時，與各有2個交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)分別為且，因?yàn)榕c共有3個交點(diǎn)，所以中必存在兩個相等，不妨設(shè)，則即，所以下面證明存在使得.設(shè)，因?yàn)榍?，所以在區(qū)間至少有1個零點(diǎn).結(jié)合與各有2個交點(diǎn)及它們的單調(diào)性知，所以存在，使得直線與共有3個交點(diǎn).因?yàn)?，所以，所以，所以即，所?所以存在直線，其與兩條曲線y=fx和y=gx共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列江西省上饒市2025屆高三第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，則.故選：D2.設(shè)，，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)椋?，則，即，解得或，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，可得，由.故選：D4.設(shè)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，當(dāng)時，，所以由得；當(dāng)時，，所以由得，無解.綜上，.故選：C.5.已知向量滿足，且，則與的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，，即，，解得，又，所以與的夾角為.故選：D.6.函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.令，，此時函數(shù)變?yōu)?對于二次函數(shù)，其對稱軸為.當(dāng)時，.當(dāng)時，.所以在上的值域是.故選：A.7.如圖，長方體中，，點(diǎn)為平面上一動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（）A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.圓【答案】C【解析】如圖，以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，.由題可設(shè)，則向量，向量，所以，即.將上式兩邊同時平方可得，即.則，即.所以.故軌跡為雙曲線的一支.故選：C.8.表示數(shù)集中最小的數(shù).已知，且，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】由已知可得，得則，又由，所以，解得：故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23.B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則C.一組樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和為60.D.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則【答案】BC【解析】對選項(xiàng)A：數(shù)據(jù)共10個數(shù)，從小到大排列為，由于，故選擇第7和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，故A錯誤；對選項(xiàng)B：.故B正確；對選項(xiàng)C：由方差的公式可知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，這組樣本數(shù)據(jù)的總和為，故C正確；對選項(xiàng)D：服從正態(tài)分布，所以，故D錯誤.故選：BC.10.除數(shù)函數(shù)的函數(shù)值等于的正因數(shù)的個數(shù)，例如.若則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.B.C.若，則的最小值為1011D.若，則【答案】ABD【解析】對選項(xiàng)A：由，即個2和個3的乘積，由分步計(jì)數(shù)原理可得.所以，所以A正確.對選項(xiàng)B：同理，即個2的乘積，所以.所以B正確.對選項(xiàng)C：又由，即個3的乘積，所以.若，則的最小值為1012，所以C不正確.對選項(xiàng)D：又，所以D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.的值域?yàn)镃.當(dāng)時，恒成立D.若在區(qū)間上有2024個不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是【答案】AC【解析】對選項(xiàng)A：因?yàn)樗訟正確；對選項(xiàng)B：設(shè)，則可表為，因?yàn)?，故為上的奇函?shù)，而時，均為增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，因?yàn)樵龊瘮?shù)，所以，所以的值域?yàn)?，所以B不正確；對選項(xiàng)C：設(shè)，則（不恒為零），所以hx在0,+∞上遞減，所以即，所以C正確；對選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以關(guān)于對稱，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是周期函數(shù)且周期，而，所以在上遞增，可作出草圖，如下圖設(shè)，則，該方程兩根滿足，顯然均不為0且最多僅有一個屬于，不妨設(shè),若時，方程在區(qū)間[上有1013個實(shí)數(shù)根；若時，方程在區(qū)間[上有2026個實(shí)數(shù)根；若時，在區(qū)間上有2024個實(shí)數(shù)根；若時，方程在區(qū)間上有1012個實(shí)數(shù)根；所以方程在區(qū)間僅有一根，所以，所以，所以D不正確.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】【解析】，，又，.故答案為：.13.如圖，已知正方體的棱長為4，點(diǎn)是的側(cè)面上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等時，三棱錐的外接球的表面積為__________.【答案】【解析】點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，則正四面體外接球與正方體的外接球一樣，則，所以外接球表面積為.故答案為：.14.在中，為鈍角，，作交于.已知，則______.（其中表示不超過的最大整數(shù)）【答案】4【解析】由題意，且，由余弦定理可得：，所以，即.故答案為：4四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.足球運(yùn)動是一項(xiàng)古老的體育活動，源遠(yuǎn)流長，最早起源于我國古代的一種球類游戲蹴鞠，后來經(jīng)過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球.某校為了了解學(xué)生愛好足球是否與性別有關(guān)，對本校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，其中女生有20人愛好足球，男生有40人愛好足球.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生愛好足球與性別有關(guān)？愛好不愛好合計(jì)男生女生合計(jì)（2）現(xiàn)從該樣本愛好足球的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）填寫列聯(lián)表為：愛好不愛好合計(jì)男生401050女生203050合計(jì)6040100零假設(shè)愛好足球與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為該校學(xué)生愛好足球與性別有關(guān).（2）由（1）知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取6名學(xué)生，其中男生人數(shù)為（人）；女生人數(shù)為（人）由題意可得，隨機(jī)變量所有可能取值為.，隨機(jī)變量的分布列如下：123則.16.已知雙曲線的焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率為.（1）求雙曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.解：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，所以雙曲線中，雙曲線的離心率為，即雙曲線方程為（2）顯然直線斜率不能為0，設(shè)直線的方程為，所以原點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立，得，所以且，所以，且，所以，所以，所以，解得，所以，所以直線的方程為或.17.如圖1，在矩形中，，連接，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2，若點(diǎn)在線段上且.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且使得平面與平面夾角的余弦值為，求.（1）證明：在中，，在中，，.又平面平面，平面平面平面，平面.（2）解：如圖，過點(diǎn)作，則兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量，平面與平面夾角的余弦值為