清華大學(xué)2022年強(qiáng)基校測數(shù)學(xué)試題

2022年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間2022年6月28日1.x&y2.a2+b3.已知復(fù)數(shù)z滿足z=1,求4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1終點(diǎn)在1+i和1+ai表示兩點(diǎn)連成的線段上移動(dòng),z2=5.已知一個(gè)空間幾何體三視圖如下,都為中點(diǎn)最大邊長為2,求這個(gè)幾何體可能的體積A.23B.13C.3D.46.對(duì)于x∈R,fx滿足fx+f7.用藍(lán)色和紅色給一排10個(gè)方格染色,則不超過(忘記是不超過還是不少于)三個(gè)相鄰塊顏色相同的方法種數(shù)為A.504B.505C.506D.5078.對(duì)于三個(gè)正整數(shù)a,b,c,有a+9.已知a2+ab+b10.limn→∞11.曲線CA.曲線C僅過0,B.曲線C上的點(diǎn)距原點(diǎn)最大距離為2C.曲線C圍成的圖形面積大于4πD.曲線C為軸對(duì)稱圖形12.任意四邊形ABCD,AC=a,BD=13.已知ax+by=12022年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃校測數(shù)學(xué)試題答案1.若x&y【解析】新定義題型由于變量的任意性,不妨帶入x2000即2000再代入x2000即2000由1.1,2000因此,2000&2.a2+b【解析】不等式問題袁逸凡解答對(duì)于a?b≤a+b,其取等條件為a當(dāng)以上不等式都取等時(shí),則有a令a≥a因?yàn)閍+2因此,a?b+3.已知復(fù)數(shù)z=1,求【解析】復(fù)數(shù)的性質(zhì)已知z1z設(shè)T令z+z≤=當(dāng)且僅當(dāng)t=4.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1終點(diǎn)在1+i和1z=z1+z2在復(fù)平面上表示的點(diǎn)圍成的面積為【解析】復(fù)數(shù)的軌跡設(shè)z1=z因此有x如下圖所示,則z在復(fù)平面上圍成的面積即為粉色區(qū)域,即S解得a=同理當(dāng)a<1時(shí),則有6.對(duì)于x∈R,fx有fx1≤f【解析】復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由條件知:f設(shè)0≤x02f當(dāng)x0=0時(shí),則有∴當(dāng)1因此f17.用藍(lán)色和紅色給一排10個(gè)方格涂色,則至多2個(gè)藍(lán)色相鄰的方法數(shù)為__504_.【解析】揷空法+?郁法8.對(duì)于三個(gè)正整數(shù)a,b,c,有a+【解析】數(shù)論不妨設(shè)a>b>c,令a9.已知a2+ab【解析】不等式a110.lim【解析】定積分放縮求極限,單調(diào)有界性準(zhǔn)側(cè)利用定積分定義求和式的極限公式lim11.曲線C:A.曲線C僅過0,B.曲線C上的點(diǎn)距原點(diǎn)最大距離為2C.曲線C圍成的圖形面積大于4πD.曲線C為軸對(duì)稱圖形【解析】四葉玫瑰線設(shè)曲線C:fxx2x故B正確,C錯(cuò)誤;聯(lián)立x2+y23=1612.任意四邊形ABCD,AC=a,結(jié)果用a,【解析】向量的回路恒等式AB證明:AB+因此:AD或者AC13.已知ax+by答案:163解:由題意可知x聯(lián)立上述兩式可得x此時(shí)x將(1)代入(2)可得a2023年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題有六面旗，兩面藍(lán)，兩面紅，兩面黃，除顏色外完全相同，從這些旗子中去除若干面（至少一面），從上到下懸掛在同一個(gè)旗桿上，可以組成一個(gè)信號(hào)序列，則不同的信號(hào)序列共有多少種？已知a，x，k∈3、11個(gè)黑球，9個(gè)紅球，依次取出，剩下全是一種顏色就結(jié)束，求最后只剩下紅球的概率。4、三個(gè)復(fù)數(shù)的模分別為1，5，52，且這三個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部虛部均為整數(shù)，則這三個(gè)復(fù)數(shù)的積有多少個(gè)可能值。橢圓x24+y23=1，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A數(shù)列an滿足a1=32，a4x+1已知點(diǎn)M8，1，過點(diǎn)N1，0的直線L上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，則PN+2PM兩個(gè)人甲和乙，數(shù)字為2～30之間的共29個(gè)自然數(shù)，現(xiàn)找出兩個(gè)不同的數(shù)，把其和告訴甲，把其和告訴乙。甲說：“雖然我不知道是哪兩個(gè)數(shù)，但是肯定乙也不知道”，再問乙，乙說：“本來我不知道，但是聽到甲說這句話，現(xiàn)在為我知道了”，甲聽到乙說他知道了，然后就說：“現(xiàn)在我也知道了”，那么這兩個(gè)數(shù)是多