湖北省宜昌市部分省級示范高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省宜昌市部分省級示范高中2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．3．已知，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則△ABC的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形5．下列各式的值為的是（

）A． B．C． D．6．如圖，在四邊形中，，，設(shè)，，則等于（

）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若在上無零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若、可以作為基底，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則D．若與的夾角為，則或10．函數(shù)的部分圖象如圖，圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對稱，則下列正確的是（

）

A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為偶函數(shù)11．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（

）A．，B．，若，則C．，D．不等式的解集為或三、填空題12．已知函數(shù)則．13．在中，分別為的中點(diǎn)，則.14．記的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知，，點(diǎn)在邊上，若，，則的值為.四、解答題15．已知向量滿足，且與的夾角為.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)求與的夾角的余弦值.16．（1）已知，均為銳角且，，求的值；（2）已知，，求的值.17．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，邊上的中線，求的面積及BC邊上的高.18．已知，，函數(shù)，的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的最值及取到最值時(shí)的值；(3)若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值.19．意大利著名畫家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家達(dá)芬奇在他創(chuàng)作《抱銀貂的女子》時(shí)思考過這樣一個(gè)問題：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的懸鏈線問題，懸鏈線在工程上有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類曲線的函數(shù)表達(dá)式可以為，其中、為非零實(shí)數(shù).(1)利用單調(diào)性定義證明：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若為奇函數(shù)，函數(shù)，，探究是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

湖北省宜昌市部分省級示范高中2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題參考答案題號12345678910答案ACBBCCDBACDBC題號11答案BCD1．A【詳解】.故選：A.2．C【詳解】因?yàn)?，且圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.3．B【詳解】依題意，，因此實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是.故選：B4．B【詳解】由余弦定理得：，則，所以，由此知△ABC為直角三角形.故選：B5．C【詳解】對于A選項(xiàng)，，A不滿足；對于B選項(xiàng)，，B不滿足；對于C選項(xiàng)，，C滿足；對于D選項(xiàng)，，D不滿足.故選：C.6．C【詳解】因?yàn)椋?故選：C.7．D【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，故，所以，函?shù)不是奇函數(shù)，A不滿足；對于B選項(xiàng)，對于函數(shù)，由可得，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，外層函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，B不滿足；對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為偶函數(shù)，C不滿足；對于D選項(xiàng)，對任意的，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，，即函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，?nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，在定義域上為增函數(shù)，D滿足.故選：D.8．B【詳解】因?yàn)?，因?yàn)榍遥瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)在上無零點(diǎn)，故，所以，，解得，由，解得，，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.9．ACD【詳解】已知向量，，易知、均為非零向量，對于A選項(xiàng)，若、可以作為基底，則、不共線，可得，解得，所以A對；對于B選項(xiàng)，，則，解得或，所以B錯；對于C選項(xiàng)，在上的投影向量為，即，解得，所以C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)榕c的夾角為，則，即，整理可得，解得或，所以D對.故選：ACD.10．BC【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，則點(diǎn)，結(jié)合圖形可知，函數(shù)的最小正周期為，A錯；對于B選項(xiàng)，，且函數(shù)在附近單調(diào)遞增，故，所以，又因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，C對；對于D選項(xiàng)，函數(shù)的圖象向右平移后，得到的圖象，則函數(shù)為奇函數(shù)，D錯.故選：BC.11．BCD【詳解】對于A，，則，故，故A不成立.對于B，，則，故，所以，故B成立.對于C，設(shè)，其中，則，，若，則，，故；若，則，，故，故C成立.對于D，由不等式可得或，故或，故D正確.故選：BCD12．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)椋?，即，故答案?13．－4【詳解】由已知，，．故答案為：．14．【詳解】如下圖所示：

由題意可知，則，所以，，所以，，即①，由余弦定理可得②，又因?yàn)?，?lián)立①②可得，代入②可得.故答案為：.15．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，即，所以，解?（2）因?yàn)?，，所以，即與的夾角的余弦值為.16．（1）；（2）【詳解】（1），，則，.（2），即又，即.17．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，兩邊同時(shí)平方得，因?yàn)?，，所以，得，所以，解得或（舍去），所以的面積，由余弦定理得，所以設(shè)BC邊上的高為，因?yàn)榈拿娣e，所以，得.18．(1)(2)答案見解析(3)的取值范圍是，【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，，，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，則，可得，故.由可得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）令，由可得，即，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.（3）函數(shù)所在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，由可得，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，由可得，所以，直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，因?yàn)椋渣c(diǎn)、關(guān)于直線對稱，所以，因此.19．(1)證明見解析(2)(3)存在，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，由，得，則，，于是，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則為偶函數(shù)，不等式，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則依題意，不等式對恒成立，當(dāng)時(shí)，，，因此對恒成立，令，而，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)