高中數(shù)學(xué)《任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)線》教案

《任意角的三角函數(shù)——三角函數(shù)線》教學(xué)背景：

1．教材地位分析：三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而三角函數(shù)線的概念及其應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又貫穿整個三角函數(shù)的教學(xué).借助三角函數(shù)線可以推出三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，求解三角函數(shù)不等式，探索三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以說,三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的有利工具.2．學(xué)生現(xiàn)實分析：學(xué)習(xí)本節(jié)前,學(xué)生已經(jīng)掌握任意角三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值在各象限的符號,以及誘導(dǎo)公式一,為三角函數(shù)線的尋找做好了知識準(zhǔn)備.教學(xué)目標(biāo)：1．知識目標(biāo):使學(xué)生掌握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值,并能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題.2．能力目標(biāo):通過尺規(guī)作圖讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力；充分發(fā)揮學(xué)生的自主探究性，讓學(xué)生借助所學(xué)知識自己去發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境.教學(xué)重點難點：1．重點：三角函數(shù)線的作法及其簡單應(yīng)用.2．難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來.教學(xué)方法與教學(xué)手段：1．教法選擇：“設(shè)置問題，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”——科研式教學(xué).2．學(xué)法指導(dǎo)：類比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識遷移；觀察、實驗，體驗知識的形成過程；猜想、求證，達到知識的延展.教學(xué)過程：一、設(shè)置疑問,實驗探索（17分鐘）(一)設(shè)置疑問，點明主題前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制，角弧度數(shù)的絕對值，其中是以角作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑.特別地,當(dāng)r=1時，，此時的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數(shù)的絕對值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問題.設(shè)計意圖：既可以引出單位圓，又可以使學(xué)生通過類比聯(lián)想主動、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式.（二）概念學(xué)習(xí)，分散難點有向線段：帶有方向的線段.（1）方向：按書寫順序，前者為起點，后者為終點，由起點指向終點.如：有向線段OM，O為起點，M為終點，由O點指向M點.（動態(tài)演示）(2)數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線段）絕對值等于線段的長度，若方向與坐標(biāo)軸同向，取正值;與坐標(biāo)軸反向，取負(fù)值.如：OM=1，ON=-1，AP=設(shè)計意圖：相關(guān)概念的學(xué)習(xí)分散了教學(xué)難點,使學(xué)生能夠更多的圍繞重點展開探索和研究.（三）試驗探索角的終邊上任意一點P(除端點外)的坐標(biāo)是（），它與原點的距離是r,比值叫做的正弦.思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢?學(xué)生聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長的轉(zhuǎn)化,類比猜測:若令r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點為P,過點P作軸的垂線，設(shè)垂足為M，則有向線段MP=.(學(xué)生分析的同時,教師用幾何畫板演示)請學(xué)生利用幾何畫板作出垂線段MP,并改變角的終邊位置,觀察終邊在各個位置的情形,注意有向線段的方向和正弦值正負(fù)的對應(yīng).特別地,當(dāng)角的終邊在軸上時,有向線段MP變成一個點,記數(shù)值為0.這條與單位圓有關(guān)的有向線段MP叫做角的正弦線.2.思考:用哪條有向線段表示角的余弦比較合適?并說明理由.請學(xué)生推導(dǎo)說明,老師用圖形演示.有向線段OM叫做角的余弦線.3.如何用有向線段表示？討論焦點：若令=1,則=AT，但是第二、三象限角的終邊上沒有橫坐標(biāo)為1的點，若此時取=-1的點T‘，tan=-=T‘A‘,有向線段的表示方法又不能統(tǒng)一.引導(dǎo)觀察：當(dāng)角的終邊互為反向延長線時，它們的正切值有什么關(guān)系？統(tǒng)一認(rèn)識：方案1：在象限角的終邊或其反向延長線上取=1的點T，則=AT；方案2：借助正弦線、余弦線以及相似三角形知識得到.動畫演示驗證:當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時，tan與有向線段AT的對應(yīng).這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT叫做角的正切線.二、作法總結(jié),變式演練（13分鐘）（一）作法總結(jié)正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.請大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法,并用幾何畫板演示(一學(xué)生描述,同時用電腦演示)：第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點P；第二步：過點P作軸的垂線，設(shè)垂足為M，得正弦線MP、余弦線OM；第三步：過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線的交點設(shè)為T，得角的正切線AT.特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意它們的方向，分清起點和終點，書寫順序不能顛倒.余弦線以原點為起點，正弦線和正切線以此線段與坐標(biāo)軸的公共點為起點，其中點A為定點（1，0）.設(shè)計意圖：及時歸納總結(jié)，加深知識的理解和記憶.三、變式演練,提高能力：練習(xí).利用幾何畫板畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：

（1）;

（2）.學(xué)生先做,然后投影展示一學(xué)生的作品,并強調(diào)三角函數(shù)線的位置和方向.設(shè)計意圖：鞏固練習(xí),準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)線的作法.例1在單位圓中畫出滿足的角的終邊.共同分析：設(shè)角的終邊與單位圓交于P(),則,所以要作出滿足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點P，則射線OP即為的終邊.（幻燈片動態(tài)演示）設(shè)計意圖：逆向思維,靈活運用三角函數(shù)線,并為利用三角函數(shù)線求解三角函數(shù)不等式(組)作鋪墊.例2在單位圓中畫出滿足的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：分析：先作出滿足的角的終邊(例1已做)，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幻燈片演示）答案：（1）練習(xí)：1.在單位圓中畫出滿足的角的終邊.2.在單位圓中畫出滿足的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合.3.求函數(shù)的定義域.答案：.設(shè)計意圖：數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；借助三角函數(shù)線求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用.四、思維拓展，論壇交流觀察角的終邊在各位置的情形,結(jié)合三角函數(shù)線和已學(xué)知識，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,得出哪些結(jié)論？引導(dǎo)學(xué)生進行發(fā)散式思維，自主探究三角函數(shù)線在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種：(1)；(2)│sin│+│cos│≥1;(3)-1≤sin≤1,-1≤cos≤1,tan∈R;(4)若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相反數(shù);(5)當(dāng)角的終邊在第一象限逆時針旋轉(zhuǎn)時，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;(6)當(dāng)角的終邊在直線的右下方時,sin＜cos;當(dāng)角的終邊在直線的左上方時,sin＞cos;……設(shè)計意圖：給學(xué)生建設(shè)一個開放的、有活力、有個性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.論壇交流既能展示個人才華,又能照顧到各個層次的學(xué)生.來自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識又被他人的視點喚起，產(chǎn)生新的思想.這樣的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生在輕松達成一個個階段目標(biāo)之后，順利到達數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界.五、歸納小結(jié),課堂延展（一）歸納小結(jié)1.回顧三角函數(shù)線作法.2.三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的重要工具，自從著名數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線的對應(yīng)關(guān)系，使得對三角函數(shù)的研究大為簡化，現(xiàn)在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ).設(shè)計意圖：回顧三角函數(shù)線作法,再次加深理解和記憶.點明三角函數(shù)線在其他方面的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合思想,便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中更深入的思考,更廣泛的研究.（二）鞏固創(chuàng)新，課堂延展鞏固作業(yè):習(xí)題4.3

1,2提升練習(xí)：1.已知：，那么下列命題成立的是（

）A．若、是第一象限的角，則cos>cos.B.若、是第二象限的角，則tan>tan.C.若、是第三象限的角，則cos>cos.D.若、是第四象限的角，則tan>tan.2．求下列函數(shù)的定義域：（1）y=;

(2)y=lg(3－4sin2x).設(shè)計意圖：既能保證全體學(xué)生的鞏固應(yīng)用，又兼顧學(xué)有余力的學(xué)生，同時將探究的空間由課堂延伸到課外.六、板書設(shè)計和教學(xué)反思七、作業(yè)布置：教學(xué)設(shè)計說明：1.積極響應(yīng)新課標(biāo)教學(xué)理念，把課堂教給學(xué)生，提倡學(xué)生自主學(xué)習(xí).在新課標(biāo)教學(xué)理念指導(dǎo)下，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，既豐富三角函數(shù)線的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的探索精神、創(chuàng)新意識.2.不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法.課堂教學(xué)最終是為了讓學(xué)生擺脫課堂,獨立學(xué)習(xí),所以不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法.本節(jié)課所采用的科研式教學(xué)法體現(xiàn)了研究新問題的一般思路,讓學(xué)生逐步領(lǐng)