高中數(shù)學(xué)事件的相互獨(dú)立性+課件-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

10.2事件的相互獨(dú)立性學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；2．探究事件A和事件B相互獨(dú)立的性質(zhì)；3.通過對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.復(fù)習(xí)回顧：事件與概率隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)事件隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算隨機(jī)事件的概率概率的基本性質(zhì)古典概型性質(zhì)6設(shè)A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)性質(zhì)3

如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4

如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即P(A)+P(B)=1.并事件（和事件）：A與B至少一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示：AUB或A+B復(fù)習(xí)回顧：互斥事件概率加法公式交事件（積事件）：符號(hào)表示：A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB思考1：類比并事件AUB的概率性質(zhì)，你認(rèn)為積事件AB發(fā)生的概率是否也與事件A、B發(fā)生的概率有關(guān)呢？這種關(guān)系會(huì)是怎樣的呢?下面我們來討論一類與積事件有關(guān)的特殊問題。探究1：下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)各定義了一對(duì)隨機(jī)事件A和B，你覺得事件A發(fā)生與否會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎?

試驗(yàn)1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗(yàn)2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1,2,3,4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”,B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”.

對(duì)于試驗(yàn)1，因?yàn)閮擅队矌欧謩e拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率.對(duì)于試驗(yàn)2，因?yàn)槭怯蟹呕孛?，第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率.思考2：

以上試驗(yàn)中事件AB與A和B的概率有何聯(lián)系?試驗(yàn)1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4個(gè)等可能的樣本點(diǎn).而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率計(jì)算公式，得P(A)=P(B)=0.5,P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.

從上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的共性中得到啟發(fā)，我們引入這種事件關(guān)系的一般

定義：試驗(yàn)2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1,2,3,4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”,B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”.樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16個(gè)等可能的樣本點(diǎn).而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},

B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},于是也有P(AB)=P(A)P(B).積事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘積.

通俗地說，對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨(dú)立事件．

反之、若事件A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)．相互獨(dú)立事件的定義：

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.獨(dú)立事件概率乘法公式判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法：1.直接法：直接判斷一個(gè)事件發(fā)生與否是否影響另一事件發(fā)生的概率.2.定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.

一方面，我們知道必然事件一定發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響；

同樣，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響，

當(dāng)然，他們也不影響其他事件的發(fā)生，所以它們與任意事件相互獨(dú)立。

思考3:

必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨(dú)立嗎？另一方面，我們也可以利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)證：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A?)=P(?)=P(A)P(?)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨(dú)立．

思考4

我們知道，如果三個(gè)事件A,B,C兩兩互斥，那么概率加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但當(dāng)三個(gè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立時(shí)，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立.一般不成立2.設(shè)樣本空間Ω={a,b,c,d}含有等可能的樣本點(diǎn)，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.請(qǐng)驗(yàn)證A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解:A={a,b},B={a,c},C={a,d},AB={a},AC={a},BC={a},ABC={a}.∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.

P(A)P(B)P(C)=1/8,P(ABC)=1/4.∴P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立,但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).

練習(xí)－－－－－－－

－－－教材249頁想一想：若等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，三個(gè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立嗎？（習(xí)題10.2第5題）教材253頁第5題答案例1一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)球,除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”,事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”,那么事件A與事件B是否相互獨(dú)立?B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12個(gè)樣本點(diǎn).A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，AB={(1,2),(2,1)}.因此，事件A與事件B不獨(dú)立.想一想：導(dǎo)致事件A和事件B不獨(dú)立的原因是什么？在取球問題中放回和不放回的對(duì)結(jié)果產(chǎn)生了哪些影響？1.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？

練習(xí)－－－－－－－

－－－教材249頁例2

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.解：例2

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.解：想一想：第（4）問以下解法對(duì)嗎？

方法總結(jié)：由簡(jiǎn)單事件通過運(yùn)算得到復(fù)雜事件,進(jìn)而利用互斥、對(duì)立、獨(dú)立等關(guān)系計(jì)算概率.解題時(shí)要注意:

1.對(duì)事件進(jìn)行分解，一方面分解為互斥的幾類簡(jiǎn)單事件求概率；另一方面分解為獨(dú)立的事件，利用事件同時(shí)發(fā)生(乘法)求出概率.已知兩個(gè)事件A,B,那么:

(1)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A+B.2.對(duì)事件分解時(shí)，要明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”

“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”等詞語的意義.(2)A,B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件?

.(3)A,B恰好有一個(gè)發(fā)生為事件.(5)A,B都不發(fā)生為事件?

.?(4)A,B都發(fā)生為事件AB.

例3

甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為

.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語的概率.解：3.天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi):

(1)甲、乙兩地都降雨的概率;

(2)甲、乙兩地都不降雨的概率;(3)至少一個(gè)地方降雨的概率.解：(1)甲、乙兩地都降雨的概率為0.2×0.3=0.06.

(2)甲、乙兩地都不降雨的概率為(1-0.2)×(1-0.3)=0.8×0.7=0.56.

(3)解法一:至少一個(gè)地方降雨的概率為

0.2×0.3+(1-0.2)×0.3+0.2×(1-0.3)=0.44.

解法二:由(2)知,甲、乙兩地都不降雨的概率為0.56,所以至少一個(gè)地方降雨的概率為1-0.56=0.44.

練習(xí)－－－－－－－

－－－教材249頁4.拋擲一枚均勻的骰子一次,記事件A=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,B=“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,則事件A與B的關(guān)系是

(

)A.互斥B.相互獨(dú)立C.既相互互斥又相互獨(dú)立事件D.既不互斥又不相互獨(dú)立事件答案:B解析:因?yàn)锳={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以注：互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同概念:兩個(gè)事件互斥是指這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生;兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響。教材250頁3.若P(A)>0,P(B)>0,證明：