2024北京東直門中學(xué)高二12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京東直門中學(xué)高二12月月考數(shù)學(xué)2024.12考試時間：120分鐘總分150分班級________________姓名________________學(xué)號________________第一部分選擇題：（共10小題，每題4分）1.拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B. C. D.2.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.3.已知橢圓方程為：，則該橢圓的長軸長為（）A.4 B.2 C. D.4.高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級1000名學(xué)生的高考成績，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（）A.100名學(xué)生是個體B.樣本容量是100C.每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本D.1000名學(xué)生是樣本5.某單位為了解該單位黨員開展學(xué)習(xí)黨史知識活動情況，隨機(jī)抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：黨史學(xué)習(xí)時間(小時)7891011黨員人數(shù)610987則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（）A.8，8.5 B.8，8 C.9，8 D.8，96.已知某4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為3，現(xiàn)又加入一個數(shù)據(jù)6，此時這5個數(shù)據(jù)的方差為（）A. B. C. D.7.已知直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知圓：與圓：的公切線條數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.49.如圖所示，正方體棱長為1,分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱、交于，設(shè)，，給出以下四個命題：①四邊形為平行四邊形；②若四邊形面積,則有最小值；③若四棱錐的體積，，則常函數(shù)；④若多面體的體積，，則為單調(diào)函數(shù)．其中假命題為（）A.① B.② C.③ D.④10.已知曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的圖象不關(guān)于原點對稱B.曲線經(jīng)過個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)點）C.曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過D.若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為第二部分填空題：（共6小題，每題5分）11.若點，，則以為直徑的圓C的方程是________________．12.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則該雙曲線的離心率為______．13.如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點，則直線和BN的夾角的余弦值為______14.已知長方體中，，，則平面與平面所成的角的余弦值為____________.15.若點M在直線l：上，則點M到點，的距離之和的最小值為________________．16.已知曲線的方程，給出下列個結(jié)論：①曲線是以點和為焦點的橢圓的一部分；②曲線關(guān)于軸、軸、坐標(biāo)原點對稱；③若點在曲線上，則，；④曲線圍成的圖形的面積是．其中，所有正確結(jié)論的序號是__________．問答題：（共6小題，共80分）17.已知，，分別為的三個內(nèi)角，，的對邊，且.（1）求角；（2）若，的面積.18.為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會進(jìn)行了居民對社區(qū)工作滿意度的問卷調(diào)查．隨機(jī)抽取了100戶居民的問卷進(jìn)行評分統(tǒng)計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，．（1）求的值；（2）求這100戶居民問卷評分的中位數(shù)；（3）若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評分在和內(nèi)的居民中共抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這6戶居民中選取2戶進(jìn)行專項調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評分在內(nèi)的概率．19.已知圓，直線過點.（1）求圓的圓心坐標(biāo)及半徑長；（2）若直線與圓相切，求直線的方程；（3）設(shè)直線與圓相切于點，求.20.如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,,且,為的中點．（1）求證:⊥平面;（2）求與平面所成角的正弦值;（3）在線段上是否存在點,使得點到平面的距離為？若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由．21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：（）的離心率為，直線：與橢圓C相交于A、B兩點，且．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于直線的直線l交橢圓C于E，F(xiàn)兩點，且，求直線l的方程．（3）直線：與橢圓C相交于M、N兩點，點P為橢圓C上不同于M、N的一動點，直線MP的斜率記作，直線NP的斜率記作，當(dāng)與存在時，求證：與的乘積為定值．22.已知集合（）對于，，定義A與B的差為；A與B之間的距離為．（1）當(dāng)時，設(shè)，，求，；（2）證明：，有，且；（3）證明：，，，三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．

參考答案第一部分選擇題：（共10小題，每題4分）1.【答案】D【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)焦點坐標(biāo)公式即可解出．【詳解】得到，則焦點坐標(biāo)為．故選：D.2.【答案】A【分析】求出，，求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】根據(jù)題意，.故選：A.3.【答案】A【分析】把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即可得到長軸長.【詳解】橢圓方程可化為，故，長軸長為4.故選：A.4.【答案】B【分析】根據(jù)有關(guān)的概念可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，再結(jié)合題中選項即可得到答案．【詳解】根據(jù)有關(guān)的概念并且結(jié)合題意可得總體、個體、樣本這三個概念考查的對象都是學(xué)生成績，而不是學(xué)生，根據(jù)選項可得選項A、D表達(dá)的對象都是學(xué)生，而不是成績，所以A、D都錯誤．C每名學(xué)生的成績是所抽取的一個樣本也是錯的，應(yīng)是每名學(xué)生的成績是一個個體．B：樣本的容量是100正確．故選:B．5.【答案】A【分析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，根據(jù)眾數(shù)的概念可得結(jié)果.把樣本數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)取第16個數(shù)和第17個數(shù)的平均數(shù)即是第40百分位數(shù).【詳解】黨員人數(shù)一共有，學(xué)習(xí)黨史時間為8小時的人數(shù)最多，故學(xué)習(xí)黨史時間的眾數(shù)為8，因為，所以第40百分位數(shù)是第16和17個數(shù)的平均數(shù)，把學(xué)習(xí)黨史時間從小到大進(jìn)行排序，根據(jù)所給數(shù)據(jù)可知第16，17個數(shù)分別為8，9，所以第40百分位數(shù)是故選：A.6.【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差定義直接代入化簡計算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)這四個數(shù)為，根據(jù)題意可得，即；且，即；加入數(shù)據(jù)6以后5個數(shù)據(jù)平均數(shù)為，所以方差為.故選：D7.【答案】A【分析】由垂直關(guān)系求出a的值，再結(jié)合充分、必要條件的概念即可得答案.【詳解】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.8.【答案】C【分析】求出圓心和半徑，判斷兩圓位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，圓的圓心為，半徑，因為，所以兩圓外切，所以圓與圓的公切線有3條.故選：C9.【答案】D【分析】由平面平行的性質(zhì)判斷①；由題意可得四邊形的面積，因為為定值，所以當(dāng)有最小值時，面積有最小值，從而判斷②；由題意可得，因為為定值，，到平面的距離為定值，從而判斷③；過作平面平面，則面體的體積為=，從而判斷④.【詳解】解：對①，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，正確；對②，因為平面，，所以平面，平面，所以，所以四邊形的面積，因為為定值，所以當(dāng)，分別為，的中點時有最小值，正確；對③，，因為為定值，，到平面的距離為定值，所以的體積為定值，即為常函數(shù)，正確對④，如圖過作平面平面，分別交，，于，，，則多面體的體積為，而，，，所以，常數(shù)，錯.所以錯誤命題的序號為④.故選:D．10.【答案】C【分析】將代入曲線的方程驗證可知A錯誤；根據(jù)曲線圖象的對稱性可知B錯誤；利用可知C正確；將直線與曲線方程聯(lián)立可確定不等關(guān)系求得D錯誤.【詳解】對于A，將關(guān)于原點對稱的點代入曲線的方程可得：，即，滿足曲線方程，在曲線上，即曲線的圖象關(guān)于原點對稱，A錯誤；對于B，將代入曲線方程知：曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點，，由A知：曲線的圖象關(guān)于原點對稱，曲線經(jīng)過整點關(guān)于原點對稱，又曲線經(jīng)過整點，曲線經(jīng)過的整點個數(shù)必為奇數(shù)個，B錯誤；對于C，當(dāng)時，由得：，曲線上的點到原點的距離（時也成立），曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過，C正確；對于D，由得：，必為與曲線的一個交點，有且僅有一個實根或無實根，，解得：或，即實數(shù)的取值范圍為，D錯誤.故選：C.第二部分填空題：（共6小題，每題5分）11.【答案】【分析】由兩點間距離公式求得半徑為，再由中點坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，即可得出圓的方程.【詳解】易知，所以圓C的半徑為，圓心為的中點，坐標(biāo)為；因此圓C的方程為.故答案為：12.【答案】【分析】由雙曲線的漸近線方程可以確定與的等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化解出離心率．【詳解】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，，，故答案為：．13.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，求出各點坐標(biāo)，利用異面直線空間向量夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.故答案為：14.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成的角為，則平面與平面所成角的余弦值．故答案為：．15.【答案】【分析】求出點關(guān)于直線對稱的點為，則，由兩點間距離公式計算，可得答案.【詳解】由已知，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則解得，即，所以．故答案為：.16.【答案】②④【分析】化簡方程為，畫出圖像，結(jié)合圖像逐個分析可判定正誤．【詳解】①根據(jù)題意，方程，即，表示四條線段，其圖形如圖所示，故①錯誤；②由圖可知，曲線關(guān)于軸，軸，坐標(biāo)原點對稱，故②正確；③若點在曲線上，則，，故③錯誤；④曲線圍成的面積，故④正確．綜上所述，正確結(jié)論的序號是②④．填②④【點睛】本題綜合考查對曲線方程的分析能力，對學(xué)生遷移應(yīng)用能力要求較強(qiáng)，需要數(shù)形結(jié)合思想，利用圖形解題．問答題：（共6小題，共80分）17.【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知根據(jù)余弦定理求解，然后根據(jù)特殊角的函數(shù)值求解即可；（2）結(jié)合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】由余弦定理，所以，又，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，由已知得，故，故，所以.18.【答案】（1）0.02（2）77.5（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件,由頻率分布直方圖中各組矩形面積之和等于1,即可求出的值;（2）結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì),以及中位數(shù)的定義,即可求解;（3）根據(jù)已知條件,結(jié)合分層抽樣的定義,列舉法,以及古典概型的概率公式,即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得,,解得;【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得,，則中位數(shù)在之間,設(shè)為,則,解得,故中位數(shù)為77.5分;【小問3詳解】評分在對應(yīng)的頻率為0.1,0.2,從評分在和內(nèi)的居民中共抽取6人,則評分在占2人,設(shè)為,評分在占4人,,從6人中選取2人的情況為:,共15種,其中這2人中恰有1人的評分在的情況為:,共8種,故這2人中恰有1人的評分在內(nèi)的概率為:.19.【答案】（1）圓心坐標(biāo)為3,4，半徑長為.（2）或.（3）.【分析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出圓心坐標(biāo)以及半徑長；（2）討論直線的斜率不存在與存在兩種情況，不存在時設(shè)出直線方程根據(jù)點到直線距離公式求解即可；（3）根據(jù)兩點間距離公式求出長，再根據(jù)勾股定理求解即可.【小問1詳解】圓方程可化為:，圓心坐標(biāo)為3,4，半徑長為.【小問2詳解】①當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為x=1，圓心3,4到直線距離為，滿足題意．②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程是y=kx?1，即.由圓心到直線的距離等于半徑得，，解得，此時直線的方程為.綜上，直線的方程為x=1或.【小問3詳解】∵圓的圓心坐標(biāo)為3,4，，∴.如圖，由相切得，，，∴.20.【答案】（1）證明見解析（2）;（3）存在,且點為線段的中點．【分析】(1)分別證明⊥平面,⊥平面,可得出,利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;(2)以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得結(jié)果;(3)設(shè)點,利用空間向量法可得出關(guān)于的方程,解出的值,即可得出結(jié)論．【小問1詳解】因為四邊形為正方形,則,,因為,,,且兩直線在平面內(nèi)，∴⊥平面∵平面,∴,因為,,,且兩直線在平面內(nèi)∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且兩直線在平面內(nèi)∴⊥平面.【小問2詳解】因為⊥平面,,不妨以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,設(shè)平面的法向量為,則,,,由,取,可得,,所以,與平面所成角的正弦值為;【小問3詳解】設(shè)點,設(shè)平面的法向量為,,,由,取,則,所以,點到平面的距離為,∵,∴．因此,當(dāng)點為線段的中點時,點到平面的