大一高數(shù)試題及答案

大一高數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.函數(shù)$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)為（）A.$2x$B.$x$C.$3x^2$D.$2$3.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$4.下列函數(shù)在$x=0$處連續(xù)的是（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\begin{cases}1,x\neq0\\0,x=0\end{cases}$C.$y=x$D.$y=\lnx$5.曲線$y=x^3$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.46.已知$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x^3$D.$2$7.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞8.函數(shù)$y=\cosx$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$\sinx$B.$-\sinx$C.$\cosx$D.$-\cosx$9.定積分$\int_{0}^{1}xdx=$（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.010.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在$x=a$處（）A.有定義B.連續(xù)C.極限值等于函數(shù)值D.不一定有定義二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列屬于基本初等函數(shù)的有（）A.$y=x^n$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\log_ax$2.函數(shù)極限存在的條件有（）A.左極限存在B.右極限存在C.左、右極限都存在且相等D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義3.下列求導(dǎo)公式正確的是（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(e^x)^\prime=e^x$D.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$4.關(guān)于不定積分，下列說(shuō)法正確的是（）A.是求導(dǎo)的逆運(yùn)算B.結(jié)果不唯一C.任意兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)D.積分號(hào)與導(dǎo)數(shù)號(hào)可直接抵消5.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)的條件是（）A.$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在B.$f(x_0)$有定義C.$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$D.$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)6.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\cosx$D.$y=x+1$7.定積分的性質(zhì)包括（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx$（$a\ltc\ltb$）8.以下哪些是無(wú)窮小量（）A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\infty}e^x$9.函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積的充分條件有（）A.$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)B.$f(x)$在$[a,b]$上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)C.$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)D.$f(x)$在$[a,b]$上無(wú)界10.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是該點(diǎn)切線的斜率B.導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增C.導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減D.導(dǎo)數(shù)為0時(shí)函數(shù)取得極值三、判斷題（每題2分，共20分）1.無(wú)窮小量乘以無(wú)窮大量結(jié)果一定是1。（）2.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是連續(xù)的。（）3.若$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，則一定在$x_0$處連續(xù)。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)。（）5.兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)。（）6.函數(shù)$y=x^2$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞增。（）7.$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$。（）8.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（）9.若$f^\prime(x)=g^\prime(x)$，則$f(x)=g(x)$。（）10.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)的。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)$y=x^3+2x^2-3x+1$的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，對(duì)函數(shù)各項(xiàng)分別求導(dǎo)，$y^\prime=3x^2+4x-3$。2.計(jì)算$\int(2x+1)dx$。答案：根據(jù)積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），$\int(2x+1)dx=2\intxdx+\int1dx=x^2+x+C$。3.求$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$。答案：對(duì)分子因式分解得$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$，$x\to1$時(shí)$x\neq1$可約去$x-1$，則原式$=\lim_{x\to1}(x+1)=2$。4.簡(jiǎn)述函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義。答案：設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某鄰域內(nèi)有定義，如果$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$，則稱函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$y=x^3-3x$的單調(diào)性與極值。答案：求導(dǎo)得$y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$y^\prime=0$，得$x=\pm1$。當(dāng)$x\lt-1$或$x\gt1$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$-1\ltx\lt1$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)遞減。極大值為$y(-1)=2$，極小值為$y(1)=-2$。2.定積分與不定積分有什么聯(lián)系和區(qū)別？答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常通過(guò)求不定積分得到原函數(shù)再利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果帶常數(shù)$C$；定積分是一個(gè)數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)，無(wú)常數(shù)項(xiàng)。3.舉例說(shuō)明無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的關(guān)系。答案：例如函數(shù)$y=\frac{1}{x}$，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$y$是無(wú)窮大量；當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，$y$是無(wú)窮小量。即同一個(gè)函數(shù)在不同的極限過(guò)程中，可能是無(wú)窮小量也可能是無(wú)窮大量，無(wú)窮小量（非零）的倒數(shù)是無(wú)窮大量，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。4.如何判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的凹凸性？答案：先求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)$f^{\prime\prime}(x)$。若在某區(qū)間內(nèi)$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，則函數(shù)在該區(qū)間是凹的；若$f^{\prime\prime}(x)\lt0$，則函數(shù)在該區(qū)間是凸的。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.A4.C