IB課程HL數(shù)學(xué)AI2024-2025年期末試卷：數(shù)據(jù)分析與建模難題挑戰(zhàn)與應(yīng)用

IB課程HL數(shù)學(xué)AI2024-2025年期末試卷：數(shù)據(jù)分析與建模難題挑戰(zhàn)與應(yīng)用一、數(shù)據(jù)分析與描述統(tǒng)計(jì)要求：運(yùn)用描述統(tǒng)計(jì)方法對(duì)給定數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析，并解釋分析結(jié)果。1.已知某班級(jí)30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?8，85，92，88，90，75，93，76，79，84，86，88，87，91，89，83，92，77，85，90，78，91，93，87，88，84，89，85，92，91，90，93。請(qǐng)完成以下要求：a.計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。b.描述數(shù)據(jù)的分布情況，并說(shuō)明分布的偏態(tài)。c.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和方差，分析數(shù)據(jù)的離散程度。2.某城市某月每天的平均氣溫如下（單位：℃）：-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24。請(qǐng)完成以下要求：a.計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。b.描述數(shù)據(jù)的分布情況，并說(shuō)明分布的偏態(tài)。c.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和方差，分析數(shù)據(jù)的離散程度。二、概率與統(tǒng)計(jì)推斷要求：運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)推斷方法對(duì)給定數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并解釋分析結(jié)果。1.某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為95%?，F(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件進(jìn)行檢查，求以下概率：a.恰有2件不合格。b.至少有3件不合格。c.全部合格。2.某地區(qū)某月每天的平均降水量如下（單位：mm）：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100，105，110，115，120。假設(shè)該地區(qū)該月平均降水量為100mm，求以下概率：a.某天降水量超過(guò)120mm。b.某天降水量在80mm至100mm之間。c.某天降水量在50mm至70mm之間。四、線(xiàn)性回歸與相關(guān)分析要求：運(yùn)用線(xiàn)性回歸分析給定數(shù)據(jù)集，并計(jì)算相關(guān)系數(shù)。1.某地某月降雨量（單位：mm）與該月降水量（單位：mm）的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：[20,35,50,65,80,95,110,125,140,155]。請(qǐng)完成以下要求：a.建立降雨量與降水量之間的線(xiàn)性回歸模型。b.計(jì)算回歸方程的斜率和截距。c.計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系。2.某產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程中的產(chǎn)量（單位：件）與所需原材料消耗量（單位：kg）的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：[10,15,20,25,30,35,40,45,50,55]。請(qǐng)完成以下要求：a.建立產(chǎn)量與原材料消耗量之間的線(xiàn)性回歸模型。b.計(jì)算回歸方程的斜率和截距。c.計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系。五、假設(shè)檢驗(yàn)與置信區(qū)間要求：運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)方法對(duì)給定數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并計(jì)算置信區(qū)間。1.某公司聲稱(chēng)其產(chǎn)品的使用壽命中位數(shù)為1200小時(shí)。為了驗(yàn)證這一說(shuō)法，隨機(jī)抽取了15件產(chǎn)品，測(cè)得其使用壽命如下（單位：小時(shí)）：1100，1200，1300，1400，1150，1250，1350，1450，1150，1250，1350，1450，1150，1250，1350。假設(shè)使用壽命服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為100小時(shí)。請(qǐng)完成以下要求：a.構(gòu)建假設(shè)檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)。b.計(jì)算樣本中位數(shù)，并判斷是否拒絕零假設(shè)。c.計(jì)算使用壽命的95%置信區(qū)間。2.某地區(qū)某月平均氣溫為12℃。為了驗(yàn)證這一說(shuō)法，隨機(jī)抽取了10天，測(cè)得其氣溫如下（單位：℃）：11，13，12，14，11，13，12，15，11，14。假設(shè)氣溫服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為2℃。請(qǐng)完成以下要求：a.構(gòu)建假設(shè)檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)。b.計(jì)算樣本均值，并判斷是否拒絕零假設(shè)。c.計(jì)算氣溫的95%置信區(qū)間。六、時(shí)間序列分析與預(yù)測(cè)要求：運(yùn)用時(shí)間序列分析方法對(duì)給定數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并預(yù)測(cè)未來(lái)值。1.某公司近五年的銷(xiāo)售額如下（單位：萬(wàn)元）：1000，1200，1500，1800，2000。請(qǐng)完成以下要求：a.對(duì)銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢(shì)分析和季節(jié)性分析。b.建立時(shí)間序列模型，并預(yù)測(cè)下一年度的銷(xiāo)售額。c.分析預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性。2.某地區(qū)近三年的平均降水量如下（單位：mm）：400，450，460，500，530，560，580，600，620，640。請(qǐng)完成以下要求：a.對(duì)降水量數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢(shì)分析和季節(jié)性分析。b.建立時(shí)間序列模型，并預(yù)測(cè)下一年度的平均降水量。c.分析預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性。本次試卷答案如下：一、數(shù)據(jù)分析與描述統(tǒng)計(jì)1.a.平均數(shù)：(78+85+92+88+90+75+93+76+79+84+86+88+87+91+89+83+92+77+85+90+78+91+93+87+88+84+89+85+92+91+90+93)/30=86.5中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序后，位于中間的數(shù)值，即第15和第16個(gè)數(shù)的平均值：(87+88)/2=87.5眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，即88和91，因?yàn)樗鼈兌汲霈F(xiàn)了3次。b.數(shù)據(jù)分布情況：數(shù)據(jù)集中在85到93之間，呈正偏態(tài)分布，即數(shù)據(jù)向右偏斜。c.標(biāo)準(zhǔn)差：使用計(jì)算器或統(tǒng)計(jì)軟件得到標(biāo)準(zhǔn)差約為6.71方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，約為45.622.a.平均數(shù)：(5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70+75+80+85+90+95+100+105+110+115+120)/24=55中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排序后，位于中間的數(shù)值，即第12和第13個(gè)數(shù)的平均值：(60+65)/2=62.5眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，即沒(méi)有重復(fù)的數(shù)值，所以沒(méi)有眾數(shù)。b.數(shù)據(jù)分布情況：數(shù)據(jù)集中在50到70之間，呈正偏態(tài)分布，即數(shù)據(jù)向右偏斜。c.標(biāo)準(zhǔn)差：使用計(jì)算器或統(tǒng)計(jì)軟件得到標(biāo)準(zhǔn)差約為14.96方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，約為222.85二、概率與統(tǒng)計(jì)推斷1.a.恰有2件不合格的概率：使用二項(xiàng)分布公式計(jì)算，P(X=2)=(10choose2)*(0.95)^2*(0.05)^8≈0.1615b.至少有3件不合格的概率：1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))≈0.6125c.全部合格的概率：P(X=10)=(10choose10)*(0.95)^10*(0.05)^0≈0.05632.a.某天降水量超過(guò)120mm的概率：P(X>120)=1-P(X≤120)=1-(P(X=5)+P(X=10)+...+P(X=120))≈0.0186b.某天降水量在80mm至100mm之間的概率：P(80≤X≤100)=P(X=80)+P(X=85)+...+P(X=100)≈0.4102c.某天降水量在50mm至70mm之間的概率：P(50≤X≤70)=P(X=50)+P(X=55)+...+P(X=70)≈0.3689三、線(xiàn)性回歸與相關(guān)分析1.a.線(xiàn)性回歸模型：y=1.5x+5b.斜率：1.5，截距：5c.相關(guān)系數(shù)：使用計(jì)算器或統(tǒng)計(jì)軟件得到相關(guān)系數(shù)約為0.9962.a.線(xiàn)性回歸模型：y=3.75x+25b.斜率：3.75，截距：25c.相關(guān)系數(shù)：使用計(jì)算器或統(tǒng)計(jì)軟件得到相關(guān)系數(shù)約為0.998四、假設(shè)檢驗(yàn)與置信區(qū)間1.a.零假設(shè)H0：使用壽命中位數(shù)為1200小時(shí)，備擇假設(shè)H1：使用壽命中位數(shù)不為1200小時(shí)。b.樣本中位數(shù)：1200，由于樣本中位數(shù)等于聲稱(chēng)的中位數(shù)，且沒(méi)有提供p值或z值，無(wú)法直接判斷是否拒絕零假設(shè)。c.置信區(qū)間：使用t分布計(jì)算，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差為100，自由度為14，置信水平為95%，得到置信區(qū)間為[1090.6,1309.4]。2.a.零假設(shè)H0：氣溫平均值為12℃，備擇假設(shè)H1：氣溫平均值不為12℃。b.樣本均值：12，由于樣本均值等于聲稱(chēng)的平均值，且沒(méi)有提供p值或z值，無(wú)法直接判斷是否拒絕零假設(shè)。c.置信區(qū)間：使用t分布計(jì)算，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差為2，自由度為9，置信水平為95%，得到置