【高考模擬】廣西欽州市2024屆高三年級第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣西欽州市2024屆高三年級第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)1．已知復(fù)數(shù)z滿足2?zi=1+i，則z=（）A．?1?i B．1?i C．1+i D．?1+i2．已知集合A=x∈Zx+1>0，B=xA．2,4 B．1,2 C．2,4 D．1,23．某學(xué)生通過計(jì)步儀器，記錄了自己最近30天每天走的步數(shù)，數(shù)據(jù)從小到大排序如下：5588605487999851990110111110291120712634129011300113092131271326813562136211376113801141011417214191142921442614468145621462115061156011590119972估計(jì)該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A．14292 B．14359 C．14426 D．144684．若函數(shù)y=fx?1是定義在R上的奇函數(shù)，則A．3 B．2 C．?2 D．?35．有4個(gè)外包裝相同的盒子，其中2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)白球，另外2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個(gè)盒子逐個(gè)拆開，則恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為（）A．12 B．13 C．14 D．6．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x24?y2b2=1A．y=±12x B．y=±2x 7．已知點(diǎn)P是邊長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1表面上的動點(diǎn)，若直線A．32 B．22+π C．28．已知Sn是公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則“S2,SA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)fxA．fx的最小正周期為B．fx的圖象關(guān)于直線x=?1C．若fx0D．將fx的圖象往右平移1個(gè)單位長度后可以得到函數(shù)y=sinx10．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，EF⊥AB，CF=EF=2DF=2，AE=3，EB=4，將四邊形AEFD沿EF進(jìn)行折疊，使AD到達(dá)A'D'位置，且平面A'D'FE⊥A．BE⊥B．平面A'EB//C．多面體A'D．直線A'D'與平面11．已知函數(shù)fx=ex+k，函數(shù)gx=1A．?x的最小值為B．若?x在0,ln2上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為C．若?x=mD．若?x=m有3個(gè)不同的解x1，x212．已知F為拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，點(diǎn)P1,?2在拋物線上，直線13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2sinA=6sinC，a+c14．已知某種有蓋的圓柱形容器的底面圓半徑為1+2，高為100，現(xiàn)有若干個(gè)半徑為的2實(shí)心球，則該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入15．某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了某班級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績和建立個(gè)性化錯(cuò)題本的情況，用來研究這兩者是否有關(guān).若從該班級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，設(shè)A=“抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績不及格”，B=“抽取的學(xué)生建立了個(gè)性化錯(cuò)題本”，且P(A|B)=23，（1）求PA和P（2）若該班級共有36名學(xué)生，請完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個(gè)性化錯(cuò)題本是否有關(guān)，個(gè)性化錯(cuò)題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計(jì)及格不及格建立未建立合計(jì)參考公式及數(shù)據(jù)：χ2=nα0.010.0050.001x6.6357.87910.82816．如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PCD內(nèi)存在一條直線EF與AB平行，PA⊥平面ABCD，直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為32，PA=BC=23，（1）證明：四邊形ABCD是直角梯形.（2）若點(diǎn)E滿足PE=2ED，求二面角17．已知函數(shù)fx（1）若a=0，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f（2）若a>?1，證明：fx在?π,π18．平面幾何中有一定理如下：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高所在直線的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對邊距離的2倍.已知△ABC的垂心為D，外心為E，D和E關(guān)于原點(diǎn)O對稱，A13,0（1）若E3,0，點(diǎn)B在第二象限，直線BC⊥x（2）若A，D，E三點(diǎn)共線，橢圓T：x2a219．對于平面向量ak=xk,ykxk,yk∈N,k=0,1,2,?，定義“F變換”：ak+1=F（1）若a0=1,9，求a（2）已知a1=2024,a1=2025，將a1經(jīng)過m次（3）證明：對任意a0，經(jīng)過若干次F變換后，必存在k∈N+

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可知，z=?1+i故選：A.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可求得z的值.2．【答案】B【解析】【解答】解：A=x∈Z因?yàn)锽=xx≤a，A∩B中只有2個(gè)元素，

所以A∩B=0,1故選：B.【分析】先對集合A進(jìn)行化簡，結(jié)合已知條件推得A∩B=0,13．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)?0×75%=22.5，所以樣本的第75百分位數(shù)為第23個(gè)數(shù)據(jù)，因此，估計(jì)該學(xué)生最近30天每天走的步數(shù)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14426.故選：C.【分析】利用百分位數(shù)的概念求解即可4．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)Fx=fx?1，

則即fx+f?x因?yàn)镕0=f0?1=0，

所以故答案為：A.【分析】利用函數(shù)y=fx?1是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)Fx=fx?1，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得fx5．【答案】B【解析】【解答】解：將4個(gè)盒子按順序拆開有A4若恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中，則前兩個(gè)盒子都是白球或都是黑球，有A2則恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為P=8故答案為：B.【分析】先將4個(gè)盒子進(jìn)行全排，若恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中，則前兩個(gè)盒子都是白球或都是黑球，再分別計(jì)算出排列數(shù)，最后由古典概率公式得出恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率.6．【答案】C【解析】【解答】解：法一：設(shè)F1?c,0，F(xiàn)2c,0，所以MF所以8c=86，解得c=6，b=2，

法二：M=44+2所以8c=86，解得c=6，b=2，

故選：C.【分析】法一：設(shè)F1?c,0，F(xiàn)2c,0，Mx0,y0，且x0≥2，利用點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式得到MF12?MF22=4cx0≥8c，進(jìn)而可知8c=87．【答案】D【解析】【解答】解：若點(diǎn)P在正方形A1B1C1D1內(nèi)，過點(diǎn)P作PP則∠PAP'為直線AP與平面ABCD所成的角，則又因?yàn)镻P'=1，則PA=則點(diǎn)P的軌跡為以A1若點(diǎn)P在正方形ABB1A1內(nèi)或ADD因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi)，所以，點(diǎn)P的軌跡如圖所示：故點(diǎn)P的軌跡長度為21+1故選：D.【分析】由題意，分析可得點(diǎn)P的軌跡，再分別計(jì)算各段軌跡的長度求和得出點(diǎn)P的軌跡長度.8．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)镾n是公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，

所以若S2所以2a11?q61?q=若am,amn,an成等差數(shù)列，

故當(dāng)nm?1=4m?n=1即“S2,S6,反之，滿足2qnm?1=qm?n+1不一定是2q4=q+1，

如即“存在不相等的正整數(shù)m,n，使得am,a所以“S2,S6,S3故答案為：A.【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，再根據(jù)充分條件、必要條件的判斷方法，從而找出正確的選項(xiàng).9．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A，因?yàn)閒x的最小正周期為2π,對于B，因?yàn)閒?1=0≠±1，所以fx的圖象不關(guān)于直線x=?1對于C，由fx0=sin所以f2對于D，將fx的圖象往右平移1個(gè)單位長度后可以得到函數(shù)y=sinx故答案為：AD.【分析】利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式，則判斷出選項(xiàng)A；利用換元法和正弦函數(shù)的圖象的對稱性，則判斷出正弦型函數(shù)fx的圖象的對稱性，從而判斷出選項(xiàng)B；由fx0=1求出x010．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因?yàn)槠矫鍭'D'FE⊥平面BCFE，平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，BE⊥EF，BE?平面BCFE，所以BE⊥平面B、因?yàn)锳'E//D'F，A'E?平面D'FC，D因?yàn)锽E//CF，BE?平面D'FC，CF?平面D'FC，所以又因?yàn)锳'E∩BE=E，A'E,BE?平面A'C、因?yàn)镈'FA'E=1D、延長A'D'，EF相交于點(diǎn)G，

因?yàn)槠矫鍭'D'FE⊥平面BCFE，平面A'D所以A'E⊥平面BCFE，所以∠A'GE因?yàn)锳'E//D解得GF=1，GE=3，tan∠所以∠A故選：ABD.【分析】由已知條件證得BE⊥平面A'D'FE，即可得BE⊥A'D'可判斷選項(xiàng)A；證得A'E//平面D'FC，11．【答案】A,C【解析】【解答】解：對于A，fx=令ex+k≥1當(dāng)?2ln23≤k<0時(shí)，作出函數(shù)f

此時(shí)，?x=gx，顯然當(dāng)x=k當(dāng)k<?2ln23時(shí)，作出函數(shù)

則fxmin=f?k=1，gx綜上所述，函數(shù)?x的最小值為1對于B，令e?x0?k=若?x在0,ln2上單調(diào)遞增，

則x因?yàn)楫?dāng)?2ln23≤k<0所以k的取值范圍為?∞對于C、D，若方程?x=m有3個(gè)不同的解x1，x2，x3，

則結(jié)合圖象可得若方程?x=m有4個(gè)不同的解，則故答案為：AC.【分析】對k進(jìn)行分類討論，再作出分段函數(shù)的圖象，從而求出分段函數(shù)的最小值，則判斷出選項(xiàng)A；令e?x0?k=12ex0?k2，求出x0的值，再根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，從而解不等式得出實(shí)數(shù)k的取值范圍，則判斷出選項(xiàng)B；利用已知條件，將方程12．【答案】2【解析】【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)P1,?2在拋物線上，所以?22=2p×1，解得p=2所以直線PF與x軸垂直，所以A1,2，所以AF故答案為：2.【分析】將P1,?2代入拋物線方程，求出p的值，已知直線PF13．【答案】3【解析】【解答】解：因?yàn)閏2sinA=6sinC，由正弦定理可得ac又a+c2=18+b由余弦定理可得cosB=a2+c2?b所以S△ABC故答案為：33【分析】由正弦定理角化邊可得ac=6，再利用余弦定理可得cosB，進(jìn)而求出sinB，最后根據(jù)三角形面積公式S△ABC=14．【答案】49【解析】【解答】解：如圖所示，將第1個(gè)實(shí)心球O1球O1上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為2將第2個(gè)實(shí)心球O2過點(diǎn)O1作O1A過點(diǎn)O2作O2B設(shè)O1A∩O2B=C，則AC=BC=球O2上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為2+2同理可得球O3上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為4+2由此規(guī)律可得，每多放一個(gè)球，最上面的球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離加2.因?yàn)?8×2+22所以該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入49個(gè)這種實(shí)心球.故答案為：49【分析】將實(shí)心球都靠近該圓柱形容器側(cè)面放置，分析第1個(gè)實(shí)心球O1上的點(diǎn)與第2個(gè)實(shí)心球O15．【答案】（1）解：因?yàn)镻(A|B)=2所以P(A|B)=1?P(A|B)=13因?yàn)镻(A|B)?P(B)=P(B|A因?yàn)镻(A)=P(B)?P(A|B)+P(B)?P(A|B)，即13=23P(A|B)+（2）解：個(gè)性化錯(cuò)題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計(jì)及格不及格建立20424未建立4812合計(jì)241236零假設(shè)為H0：期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績與建立個(gè)性化錯(cuò)題本無關(guān).因?yàn)棣?根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率計(jì)算求出PA和PAB（1）因?yàn)镻(A|B)=2所以P(A|B由于P(A|B)?P(BP(A)=P(B)?P(A|B)+P(B)?P(A|B（2）個(gè)性化錯(cuò)題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計(jì)及格不及格建立20424未建立4812合計(jì)241236零假設(shè)為H0根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.16．【答案】（1）證明：因?yàn)锳B//EF，EF?平面PCD，AB?平面PCD，所以AB//平面PCD，因?yàn)锳B?平面ABCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，所以AB//CD，連接AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠PCA是PC與平面ABCD的夾角，所以tan∠PCA=PAAC=因?yàn)锳B=2，BC=23，所以AB2又因?yàn)锳B≠CD，所以四邊形ABCD是直角梯形.（2）解：取CD的中點(diǎn)M，連接AM，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,23，D23,?2,0，C23,2,0，由PE=2ED，得E4設(shè)平面PCD的法向量為n=則23x+2y?23z=023x?2y?2設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為m=則2y=0433x?103y+設(shè)二面角P?EF?B的平面角為θ，則cosθ=cosn,m因此，二面角P?EF?B的正弦值為310【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理可得到AB//平面PCD，再利用線面平行的性質(zhì)可得AB//CD，根據(jù)直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為32求得AC=4，結(jié)合AB=2，BC=23，根據(jù)勾股定理證得AB⊥BC，即可證得四邊形（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD和平面ABE的法向量，利用面面角的向量法求出二面角P?EF?B的余弦值，進(jìn)而求出二面角P?EF?B的正弦值即可.（1）因?yàn)锳B//EF，EF?平面PCD，AB?平面PCD，所以AB//平面PCD，因?yàn)锳B?平面ABCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，所以AB//CD，連接AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠PCA是PC與平面ABCD的夾角，則tan∠PCA=PAAC=因?yàn)锳B=2，BC=23，所以AB2又AB≠CD，所以四邊形ABCD是直角梯形.（2）取CD的中點(diǎn)M，連接AM，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,23，D23,?2,0，C23,2,0，由PE=2ED，得E4設(shè)平面PCD的法向量為n=則n?PC=23x+2y?23z=0設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為m=則由m?AB=0m?BE=0所以平面ABE的一個(gè)法向量為m設(shè)二面角P?EF?B的平面角為θ，則cosθ=cosn故二面角P?EF?B的正弦值為31017．【答案】（1）解：當(dāng)a=0時(shí)，fx又∵f'∴曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線方程為??????（2）解：∵f0=0，∴0是fx的一個(gè)零點(diǎn)，

x∈R，f?x要證fx在?π,π上有3個(gè)零點(diǎn)，只需要證明fx在∵f'令函數(shù)gx∵當(dāng)x∈0,π2時(shí)，g'x<0，∵a>?1，∴f'0=a+1>0

而f'π2=?∴當(dāng)x∈0,x0時(shí)，f'x∴fx在0,x0又∵f0=0,fx0>0,fπ因此，fx在?π,π【解析】【分析】（1）當(dāng)a=0時(shí)求出函數(shù)f(x)的解析式，并對其進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而可求導(dǎo)f0、f'0，再由直線的點(diǎn)斜式方程可求得曲線y=f（2）由f0=0可得0是fx的一個(gè)零點(diǎn)，判斷出fx為奇函數(shù)，要證fx在?π,π上有3個(gè)零點(diǎn)只需要證明fx在0,π上有1個(gè)零點(diǎn)即可，利用導(dǎo)數(shù)判斷出fx在0,π（1）當(dāng)a=0時(shí)，fxf'故曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線方程為（2）因?yàn)閒0=0，所以0是fxf?x=?asinx?xcosx=?fx要證fx在?π,π上有3個(gè)零點(diǎn)，只需要證明fx在f'令函數(shù)gx當(dāng)x∈π2,π當(dāng)x∈0,π2時(shí)，g'x因?yàn)閒'0=a+1>0,f'當(dāng)x∈0,x0時(shí)，f'x所以fx在0,x0因?yàn)閒0=0,fx0>0,f故fx在?π,π18．【答案】（1）解：因?yàn)镋3,0，所以D設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為F?m,0，由題意可得AD即13+3=2m+3，解得m=5設(shè)B?5,n，

因?yàn)辄c(diǎn)E為△ABC的外心，所以BE=AE即3+52+n所以B?5,6（2）證明：因?yàn)镈和E關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且A，D，E三點(diǎn)共線，所以A，D，E，O四點(diǎn)共線，即點(diǎn)A，D，E，O都在x軸上.因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC，即BC⊥x軸.因?yàn)椤鰽BC的外心為E，所以BE=設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為F?m,0，B?m,n，C?m,?n，D由題意可得AD=2EF，即13+s=2m+s因?yàn)橹本€CD的斜率為n?s+m=n3m?13，直線所以n3m?13??而直線AB的方程為y=?n橢圓T:x2a2+聯(lián)立y=?消y，整理得b2所以Δ=即169n因?yàn)?3+m2≠0，所以即13+m13?mn2結(jié)合①可得b設(shè)橢圓T的焦距為2c，則c2所以D，E為橢圓T的兩個(gè)焦點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可求出E的坐標(biāo)，進(jìn)而利用外心滿足的等量關(guān)系可得BE=AE，（2）根據(jù)共線以及AD=2EF可得s=13?2m，進(jìn)而求出直線CD和AB的斜率，根據(jù)AB,CD滿足的垂直關(guān)系可得n2=3m?13m+13及利用點(diǎn)斜式寫出直線AB的方程，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，根據(jù)橢圓T：x2a2（1）因?yàn)镋3,0，所以D設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為F?m,0，由題意可得AD即13+3=2m+3，解得m=5設(shè)B?5,n，因?yàn)锽E=AE則3+52+n所以B?5,6（2）證明：因?yàn)镈和E關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且A，D，E三點(diǎn)共線，所以A，D，E，O四點(diǎn)共線，即點(diǎn)A，D，E，O都在x軸上.因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC，即BC⊥x軸.因?yàn)椤鰽BC的外心為E，所以BE=設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為F?m,0，B?m,n，C?m,?n，D由題意可得AD=2EF，即13+s=2m+s直線CD的斜率為n?s+m=n3m?13，直線所以n3m?13??直線AB的方程為y=?n橢圓T:x2a2+聯(lián)立y=?得b2Δ=即169n因?yàn)?3+m2≠0，所以即13+m13?