2025年南京市玄武區(qū)八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷：函數(shù)專(zhuān)題解析與深度解析

2025年南京市玄武區(qū)八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷：函數(shù)專(zhuān)題解析與深度解析一、選擇題要求：請(qǐng)從每題的四個(gè)選項(xiàng)中選出一個(gè)正確答案。1.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)，則該函數(shù)的圖像是（）A.頂點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)B.頂點(diǎn)在y軸上的拋物線(xiàn)C.頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)D.頂點(diǎn)在第一象限的拋物線(xiàn)2.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)的定義域是（）A.\(x\neq-1\)B.\(x\neq0\)C.\(x\neq1\)D.\(x\neq2\)二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.函數(shù)\(f(x)=2x^2-6x+4\)的對(duì)稱(chēng)軸方程是_________。4.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-2}+3\)的最小值是_________。三、解答題要求：寫(xiě)出完整的解題步驟，并計(jì)算答案。5.（1）已知函數(shù)\(f(x)=3x-2\)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)\(f(x)=-2x^2+4x+1\)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍。6.（1）設(shè)函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)的圖像開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((-2,1)\)，求a、b、c的值；（2）若函數(shù)\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)的圖像與y軸相交于點(diǎn)\(A\)，且函數(shù)在\(x=2\)處取得最小值，求該函數(shù)的解析式。四、應(yīng)用題要求：根據(jù)題目要求，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行計(jì)算和推導(dǎo)。7.（1）某商品原價(jià)為\(P\)元，打折后售價(jià)為\(0.8P\)元，求打折后的售價(jià)與原價(jià)的比例；（2）若原價(jià)\(P\)為100元，打折后的售價(jià)為80元，求商品打折的折扣率。五、證明題要求：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，證明以下等式成立。8.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(x\)，有\(zhòng)((x+1)^2=x^2+2x+1\)。六、探究題要求：根據(jù)題目要求，分析問(wèn)題，提出假設(shè)，并進(jìn)行驗(yàn)證。9.（1）觀(guān)察函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的圖像，探究函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）根據(jù)探究結(jié)果，寫(xiě)出函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在其定義域內(nèi)的極值點(diǎn)坐標(biāo)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)是一個(gè)二次函數(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)形式為\(ax^2+bx+c\)，其中\(zhòng)(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。因?yàn)閈(a>0\)，所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{-b}{2a},f(\frac{-b}{2a}))\)，即\((2,-1)\)。頂點(diǎn)在第一象限。2.A解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)的定義域是所有使分母不為零的實(shí)數(shù)。因此，\(x+1\neq0\)時(shí)，函數(shù)有定義，即\(x\neq-1\)。二、填空題3.\(x=3\)解析：函數(shù)\(f(x)=2x^2-6x+4\)是一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸方程為\(x=-\frac{2a}\)，其中\(zhòng)(a=2\)，\(b=-6\)。代入得\(x=3\)。4.3解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-2}+3\)的最小值出現(xiàn)在分母\(x-2\)最大時(shí)，即當(dāng)\(x\)趨近于2時(shí)。此時(shí)，\(f(x)\)趨近于\(\frac{1}{0}+3\)，即無(wú)窮大。因此，最小值為3。三、解答題5.（1）值域?yàn)閈((-\infty,+\infty)\)解析：一次函數(shù)\(f(x)=3x-2\)的圖像是一條直線(xiàn)，其斜率\(k=3\)，截距\(b=-2\)。由于斜率\(k>0\)，函數(shù)是增函數(shù)，因此值域?yàn)閈((-\infty,+\infty)\)。（2）\(a\)的取值范圍為\((-\infty,2]\)解析：二次函數(shù)\(f(x)=-2x^2+4x+1\)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明判別式\(\Delta=b^2-4ac\)大于0。代入\(a=-2\)，\(b=4\)，\(c=1\)得\(\Delta=16-4(-2)\times1=24\)。因此，\(a\)的取值范圍為\((-\infty,2]\)。6.（1）\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)解析：函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((-2,1)\)，代入得\(1=a(-2)^2+b(-2)+c\)，即\(1=4a-2b+c\)。因?yàn)閳D像開(kāi)口向上，所以\(a>0\)。又因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)已知，代入\(x=-2\)，\(f(x)=1\)得\(1=4a-2b+c\)。聯(lián)立方程組解得\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。（2）函數(shù)的解析式為\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)解析：函數(shù)\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)的圖像與y軸相交于點(diǎn)\(A\)，即\(x=0\)時(shí)，\(f(x)=1\)。函數(shù)在\(x=2\)處取得最小值，即\(f(2)=-\frac{1}{2}(2)^2+3(2)+1=3\)。因此，函數(shù)的解析式為\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)。四、應(yīng)用題7.（1）比例為0.8解析：打折后的售價(jià)與原價(jià)的比例為\(\frac{0.8P}{P}=0.8\)。（2）折扣率為20%解析：折扣率\(R\)為\(\frac{原價(jià)-打折后售價(jià)}{原價(jià)}\times100\%\)。代入\(原價(jià)=100\)，\(打折后售價(jià)=80\)得\(R=\frac{100-80}{100}\times100\%=20\%\)。五、證明題8.證明：\((x+1)^2=x^2+2x+1\)解析：展開(kāi)左邊的平方得\((x+1)^2=x^2+2x+1\)。因此，左邊等于右邊，等式成立。六、探究題9.（1）極值點(diǎn)為\((0,0)\)，\((1,-2)\)解析：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=3x^2-3\)。令導(dǎo)數(shù)等于0，得\(3x^2-3=0\)，解得\(x