河南省鄭州市鄭東新區(qū)玉溪初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023--2024學(xué)年下學(xué)期第一次月考八年級(jí)數(shù)學(xué)（時(shí)間：90分鐘分值：120分）一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的．1.下列說法不正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可解答；【詳解】A、兩邊同時(shí)加上2得，，不等號(hào)的方向不變，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；B、兩邊同時(shí)乘以得，，不等號(hào)的方向改變，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；C、若，當(dāng)時(shí)，，原說法不正確，故選項(xiàng)符合題意；D、，兩邊同時(shí)除以2，則，不等號(hào)的方向不變，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2.如圖，三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三個(gè)村莊的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建的位置是（）A.三條高線的交點(diǎn) B.三條中線的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn) D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】本題主要考查三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)．根據(jù)到三個(gè)村莊的距離相等，即確定一個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)都相等，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，可得這個(gè)點(diǎn)是三角形三個(gè)垂直平分線的交點(diǎn)．【詳解】解：∵由三條公路連接的A，B，C三個(gè)村莊所構(gòu)成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，且使集貿(mào)市場到三個(gè)村莊的距離相等，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)處．故選：D．3.不等式2x﹣6＞0的解集在數(shù)軸上表示正確的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】2x-6＞0，移項(xiàng)得：2x＞6，把x的系數(shù)化為1：x＞3，故選A．4.如圖，在中，過點(diǎn)作若則的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵AD∥BC，∠1=70°，

∴∠C=∠1=70°，

∴∠B=70°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠C的度數(shù)和得出∠B=∠C．5.某次知識(shí)競賽共有20道題，每一題答對(duì)得10分，答錯(cuò)或不答都扣5分，小明得分要超過120分，他至少要答對(duì)多少道題？如果設(shè)小明答對(duì)道題，則他答錯(cuò)或不答的題數(shù)為．根據(jù)題意得（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)規(guī)定每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)或不答都扣5分，可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，10x?5(20?x)>120，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的不等式．6.如圖，，垂足為C，且，若用“”證明，則需添加的條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“”的判定方法進(jìn)行判定即可．【詳解】解：，理由是：∵，∴，在和中，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)“”判定三角形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．7.下列說法中，正確的結(jié)論有（）個(gè)①在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；②三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；③“對(duì)頂角相等”的逆命題是真命題；④反證法證明“一個(gè)三角形中最小角不大于60°”應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中最小角大于60°A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)、命題及逆命題的判斷、反證法判斷即可．【詳解】解：①在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，說法正確；②三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，說法正確；③“對(duì)頂角相等”的逆命題是如果兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角為對(duì)頂角，此命題為假命題，本小題說法錯(cuò)誤；④反證法證明“一個(gè)三角形中最小角不大于60°”先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中最小角大于60°，說法正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)、命題及逆命題的判斷、反證法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．8.學(xué)完直角三角形的性質(zhì)后，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對(duì)岸公園B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，測量出，利用測量儀器測得，則學(xué)校與公園之間的直線距離AB等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題目主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理解三角形，根據(jù)題意得出，再利用勾股定理求解即可【詳解】解：∵，∴，∵，∴即，解得：，∴，故選：C9.如圖，已知的周長是，和的角平分線交于點(diǎn)O，于點(diǎn)D，若，則的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解．【詳解】解∶如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，∵和的角平分線交于點(diǎn)O，，∴OD=OE，OD=OF，∴OD=OE=OF=3cm，∵的周長是，∴AB+BC+AC=36cm，∵，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離是解題的關(guān)鍵．10.如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別在AB、BC邊上，且AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④，其中正確的結(jié)論是（）A.①② B.①③ C.①④ D.③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CD，判定①正確；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACD=∠BAE，求出∠CAF+∠ACD=60°，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFC=120°，判定②正確；求出∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°，判定△ADF不是等腰三角形；求出∠AFG=60°，再求出∠FAG=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得FG=AF，然后判斷④．【詳解】解：在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE=CD，故①正確；∵∠ACD=∠BAE，∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°，在△ACF中，∠AFC=180°﹣（∠CAF+∠ACD）=180°﹣60°=120°，故②正確；∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC=∠B=60°，∴∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°，∴△ADF不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤；∵∠AFG=180°﹣∠AFC=180°﹣120°=60°，AG⊥CD，∴∠FAG=90°﹣60°=30°，∴FG=AF，∴，故④錯(cuò)誤，綜上所述，正確的有①②．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11.不等式的解集中所有非負(fù)整數(shù)的和為_______．【答案】6【解析】【分析】本題主要考查了解不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)整數(shù)包含和正整數(shù)．先解不等式，然后根據(jù)非負(fù)整數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：，解得：，等式的非負(fù)整數(shù)解為，，，，∴不等式解集中所有非負(fù)整數(shù)的和為故答案為：6．12.“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的逆命題是_______________________________．【答案】對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等【解析】【分析】根據(jù)逆命題的概念，交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得出原命題的逆命題．【詳解】解：命題“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的題設(shè)是“兩個(gè)三角形是全等三角形”，結(jié)論是“它們的對(duì)應(yīng)角相等”，故其逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形．

故答案為：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．13.若關(guān)于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，則實(shí)數(shù)m的值為_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)解不等式，可得不等式3m﹣2x＜5的解集，根據(jù)不等式的解集，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m=．14.如圖，P是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA于點(diǎn)C，延長CP交OB于點(diǎn)D，以點(diǎn)P為圓心PD為半徑作圓弧交OB于點(diǎn)E，連接PE，若PC＝6，PD＝10，則DE的長為_____．【答案】16【解析】【分析】過點(diǎn)P作PF⊥OB，由角平分線的性質(zhì)求得PF的長，在直角三角形中，由直角三角形的性質(zhì)得出EF的長，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)P作PF⊥OB，∵P是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA于點(diǎn)C，PF⊥OB，∴PC=PF=6，∵PE=PD=10，∴Rt△PEF中，∴ED=2EF=16，故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線，勾股定理和等腰三角形的判定及計(jì)算技巧．借助于角平分線和直角三角形求解邊長從而求得最后結(jié)果．15.如圖，中，，，，若點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊時(shí)，為______秒時(shí)，為等腰三角形．【答案】5或4.75或5.3【解析】【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并注意等腰三角形的定義分類討論是解題關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出．再分，，三種情況分類討論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在中，∵，∴．①如圖1，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，，秒；②如圖2，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，秒；③如圖3，當(dāng)時(shí)，作于，則，∴，在中，由勾股定理得，，，，∴秒．綜上所述，為5秒或4.75秒或5.3秒時(shí)，為等腰三角形．故答案為：5或4.75或5.3三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共75分）16.解不等式，并在數(shù)軸上表示解集．【答案】，在數(shù)軸上表示解集見解析【解析】【分析】通過去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，系數(shù)化為1求得，在數(shù)軸上表示解集即可．詳解】解：去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化為1，得，在數(shù)軸上表示解集如圖：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式及在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是正確的解一元一次不等式，解集為“”時(shí)要用實(shí)心點(diǎn)表示．17.如圖，，，與交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）已知：，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】（1）利用定理得出；（2）即可得出，再利用含30度角的直角三角形得出即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴，在和中，，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．18.如圖，在中，，，邊垂直平分線與邊交于點(diǎn)E，與邊交于點(diǎn)D．（1）求的度數(shù)；（2）求證：為等腰三角形．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出；（2）求出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】證明：∵，∴，∴為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．19.如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且．（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）若（1）中所作的角平分線與邊交于點(diǎn)E，連接．求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）證明，即可得到結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求，【小問2詳解】證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的作圖、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線的作圖和全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．20.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義關(guān)于的一種運(yùn)算如下：，例如，．（1）比較與的大小，并說明理由．（2）若，求的取值范圍．【答案】（1），理由見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了新定義運(yùn)算、有理數(shù)比較大小、解一元一次不等式等知識(shí)，理解新定義運(yùn)算解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義運(yùn)算分別計(jì)算與的值，比較即可獲得答案；（2）根據(jù)新定義運(yùn)算可得關(guān)于的一元一次不等式，求解即可獲得答案．【小問1詳解】解：，理由如下，∵，∴，，∴；【小問2詳解】∵，∴不等式可轉(zhuǎn)化為，∴．21.圍棋起源于中國，古代稱為“弈”，是棋類鼻祖，圍棋距今已有4000多年的歷史，中國象棋也是中華民族的文化瑰寶，它源遠(yuǎn)流長，趣味濃厚，基本規(guī)則簡明易懂．某學(xué)校為活躍學(xué)生課余生活，欲購買一批象棋和圍棋，已知購買3副象棋和1副圍棋共需125元，購買2副象棋和3副圍棋共需165元．（1）求每副象棋和圍棋的價(jià)格；（2）若學(xué)校準(zhǔn)備購買象棋和圍棋總共100副，且總費(fèi)用不超過3200元，則最多能購買多少副圍棋？【答案】（1）每副象棋的價(jià)格為30元，每副圍棋的價(jià)格為35元（2）最多能購買40副圍棋【解析】【分析】（1）設(shè)每副象棋的價(jià)格為元，每副圍棋的價(jià)格為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，即可求解．（2）設(shè)購買副圍棋，則購買副象棋，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)每副象棋的價(jià)格為元，每副圍棋的價(jià)格為元．依題意得，解得．答：每副象棋的價(jià)格為30元，每副圍棋的價(jià)格為35元．【小問2詳解】設(shè)購買副圍棋，則購買副象棋．依題意得：，解得．答：最多能購買40副圍棋．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組與不等式是解題的關(guān)鍵．22.如圖，燈塔C在海島A的北偏東方向，某天上午8點(diǎn)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度由西向東方向航行，10時(shí)整到達(dá)B處，此時(shí)，測得燈塔C在B處的北偏東方向．（1）求B處到燈塔C的距離；（2）已知在以燈塔C為中心，周圍16海里的范圍內(nèi)均有暗礁，若該船繼續(xù)由西向東航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)你說明理由．【答案】（1）30海里（2）有