直角三角形中的一些數(shù)量關(guān)系

7/9直角三角形中的一些數(shù)量關(guān)系明確直角三角形中的一系列有趣的數(shù)量關(guān)系，掌握直角三角形的特征性質(zhì)，可以加深我們對(duì)這類(lèi)特殊圖形的認(rèn)識(shí)．這樣既可以使我們能靈活運(yùn)用這些特征性質(zhì)去解決有關(guān)問(wèn)題，又可以使我們以這些特征性質(zhì)為背景材料構(gòu)作新的教學(xué)問(wèn)題．本文從兩個(gè)方面介紹直角三角形中的一些有趣的數(shù)量關(guān)系．1．幾個(gè)充分必要條件命題1(勾股定理及逆定理)一個(gè)三角形為直角三角形的充分必要條件是：兩條邊長(zhǎng)的平方和等于第三條邊長(zhǎng)的平方．命題2一個(gè)三角形為直角三角形的充分必要條件是：一邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)等于該邊長(zhǎng)的一半．命題3△ABC為直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)的充分必要條件是：當(dāng)C在AB邊上的射影為D時(shí)，BC2∶CD2＝AB∶AD或AC2∶CD2＝AB∶DB．略證只證前一式．必要性由BC2＝AB·DB及CD2＝AD·DB·即得．即CD2＝AD·DB，由此即可證．命題4非等腰△ABC為直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)的充分必要條件是：當(dāng)C在AB邊上的射影為D時(shí)AC2∶BC2＝AD∶DB．略證必要性顯然．充分性由AD∶DB＝AC2∶BC2＝(AD2+CD2)∶(CD2+DB2)有(CD2-AD·DB)(AD-DB)＝0，而AD≠DB，即有CD2＝AD·DB，由此即可證．命題5△ABC為直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)的充分必要條件是：當(dāng)C在AB邊上的射影為D點(diǎn)，過(guò)CD中點(diǎn)P的直線(xiàn)AP(或BP)交BC(或AC)于E，E在AB上的射影為F時(shí)，EF2＝CE·EB(或EF2＝CE·EA)．證明必要性過(guò)D作DG∥AE交BC于G，則CE＝EG，且AD∶DB＝EG∶GB，即有AD∶(AD+DB)＝EG∶(EG+GB)，亦即AD∶AB＝CE∶EB．①又EF∥CD，有EF∶CD＝EB∶CB．②又在Rt△ABC中，CD2＝AD·DB，BC2＝DB·AB．③將①代入④得EF2＝CE·EB．充分性由EF2＝CE·EB，注意到②及①，有BC2∶CD2＝AB∶AD，由命題3即可證得．對(duì)于EF2＝CE·EA的情形也可類(lèi)似證得．命題6△ABC為直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)的充分必要條件是：當(dāng)D為邊AB上異于端點(diǎn)的任一點(diǎn)時(shí)，(AB·CD)2＝(AC·BD)2+(BC·AD)2．由BK2＝CK2+BC2，將上述式子代入化簡(jiǎn)即證得．充分性令BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝l，AD＝n，DB＝m，在△BDC與△ADC中應(yīng)用余弦定理注意到m+n＝c，化簡(jiǎn)得cl2+cmn＝na2+mb2，∴C2l2+C2mn＝(na2+mb2)(m+＝mn(a2+b2)+b2m2+a2而已知有c2l2＝b2m2+a2從而有c2＝a2+b2．充分性獲證．命題7設(shè)mx、hx分別表三角形內(nèi)角X所對(duì)邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)，高線(xiàn)長(zhǎng)．△ABC為直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)的充分必要條件是：下列二式之一成立．命題8△ABC為直角三角形，且C為直角頂點(diǎn)的充分必要條件是：下列兩條件之一成立：（1）C角的平分線(xiàn)平分AB邊上的中線(xiàn)與高線(xiàn)所夾的角；（2）設(shè)mc,hc,tc分別為C角所對(duì)邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)，高線(xiàn)長(zhǎng)及C角的平分線(xiàn)長(zhǎng)時(shí)，證明（1）必要性由∠B＝∠ACH＝∠MCB及∠ACT＝∠TCB即證．充分性作△ABC的外接圓，延長(zhǎng)CT交圓于D，連AD、BD，如圖4．由∠ACT＝∠TCB，有AD＝DB，從而DM⊥AB，又CH⊥AB，故DM∥HC，則由∠MCT＝∠TCH＝∠TDM，有MD＝MC．即知M為△ABC外接圓圓心，即有MA＝MB＝MC，由此即證．（2）在Rt△CMH中，由角平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)知，CT平分∠MCH的充要條件是2．幾條特殊性質(zhì)命題9在Rt△ABC中，∠C為直角，S△ABC＝p(p-c)＝(p-a)(p-b)；（2）設(shè)AB邊被內(nèi)切圓切點(diǎn)D分為兩段，則S△ABC＝AD·DB．證明（1）顯然；（2）設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由即有AD·DB＝(AD+DB+r)·r＝S△ABC．命題10在Rt△ABC中，∠C為直角，CD⊥AB于D；△ACB、△ADC、△CDB的內(nèi)心分別為O、O1、O2：⊙O1；與⊙O2的另一條外公切線(xiàn)交CD于G，交AC于E，交BC于F；O1、O2所在直線(xiàn)交CD于K，交AC于M，交BC于N；設(shè)⊙O、⊙O1；⊙O2的半徑分別為r、r1、r2．則（1）O1G＝O2（2）△O1DO2∽△ACB；（4）設(shè)△ABC、△ADC、△CDB的半周長(zhǎng)分別為p，p1，p2時(shí)，(p1±r1)2+(p2±r2)2＝(p+r)2（5）CO＝O1O2；（6）CM＝CN＝CD；（7）△CEF∽△CBA；A、B、F、E四點(diǎn)共圓；（8）CG＝p-c＝r；r1+r2+r3+r＝CD；（9）△OO1O2的外接圓半徑等于r；（10）∠AO2C＝∠BO1（11）設(shè)△DO1O2的內(nèi)心為O3，則OO1O3O2為平行四邊形；證明（1）由∠O1DG＝∠O2DG＝45°，∠O1GO2＝90°知O1、D、O2、G四點(diǎn)共圓，從而∠O1O2G＝∠O1DG＝45°＝∠O2DG＝∠O2O1G，故O1G＝（2）由Rt△ADC∽R(shí)t△BDC，知O1D∶O2D＝AC∶BC，故Rt△O1DO2∽R(shí)t△ACB．（3）、（4）由Rt△ACB∽R(shí)t△ADC∽R(shí)t△BDC，而S△ADC+S△BDC＝S△ACB，從而有前兩式之和加、減第三式的2倍即證得（4）式．（6）由（2）知，∠O1O2D＝∠B，從而知D、B、N、O2四點(diǎn)共圓，即有∠CNO2＝∠O2DB＝45°＝∠O2DG，而CO2平分∠DCN，從而△DCO2≌△NCO2，故CN＝CD．同理，CM＝CD．故CM＝CN＝CD．（7）由（1）中證明，知∠O1O2G＝45°＝∠O2NC從而O2G∥NC故∠CFE＝∠FGO2＝∠O2GD＝∠O2O1D＝∠A．同理，∠CEF＝∠B，故△CEF∽△CBA．由上易推知A、B、F、E四點(diǎn)共圓，（8）利用切線(xiàn)長(zhǎng)關(guān)系即可推得前式；后式由內(nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)關(guān)系推之．又∠O1OO2＝∠AOB＝135°，由正弦定理有知∠AO1O2+∠ABO2＝(∠AO1D+∠DO1O2)+∠ABO2＝90°+∠ABC+∠BAC＝180°，從而知A、B、O2、O1四點(diǎn)共圓，則有∠AO2B＝∠AO1B．故∠AO2C＝360°-∠AO2B-∠BO＝360°-∠AO1B-∠AO1＝∠BO1C（11）由（6）式知AO2∥DN，則有∠NDB＝∠DBO2＝∠DAO1，故DN∥AO1，即DN∥O1O．又由（2）可推知，∠DO2O3＝∠NBO2＝∠NDO2，故DN∥O3O2，由此有O1O∥O3O2．同理O3O1∥O2O，由此即證．(12)以D為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C(0，1)，B(m，0)，由此即證得結(jié)論成立．命題11在Rt△ABC中，∠C為直角，CH1(CK1)⊥AB，當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，HnHn+1⊥AC，KnKn+1⊥BC，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，HnHn+1⊥AB，KnKn+1⊥AB．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，CH1＝CK1＝h，AHn＝qn，BKn＝pn，HnHn+1＝rn，KnKn+1＝Sn，如圖6，則：（1）pn∶qn＝an+1∶bn+1，（2）Sn∶rn＝an∶bn，（3）

命題12在Rt△ABC中，∠C為直角，三角形內(nèi)任一點(diǎn)P在三邊AB、BC、AC上的射影分別為D、E、F，設(shè)BE＝a1，EC＝a2，CF＝b1，F(xiàn)A＝b2，AD＝c1，DB＝c2，則（1）aa1+bb1+cc1＝c2；（2）a(a1-a2)+b(b1-b2)+c(c1-c2)＝0．證明（1）由圖7，知PE＝b1，PF＝a-a1，則由（2）由（1）aa1+bb1+cc1＝c2，有a(a-a2)+b(b-b2)+c(c-c2)＝c2＝aa1+bb1+cc1即可證得．命題13在Rt△ABC中，∠C為直角，過(guò)AB上的一點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)交BC或其延長(zhǎng)線(xiàn)于K，交其外接圓于E，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)或AC于F，則DE2＝DK·DF．略證連AE、BE，則DE2＝AD·DB＝DK·DF．命題14在Rt△ABC中，∠C為直角，CD⊥AB于D，⊙O1、⊙O2分別與AD、DB、CD、△ABC的外接圓相切，如圖8．設(shè)⊙O1、的半在分別為r1，r2，r，則r1+r2＝2r．證明設(shè)⊙O1切AD于E，⊙O2切DB于F，令A(yù)M＝MB＝MG＝R，AD＝m，DB＝n，則m+n＝2R，在